C.IIVlMTnE M
|-0.\C.T1(I>S m: VAKIAItl-KS IMAiiINAlIlKS
conliniic Arc lir.vqui satisfasse toujours à l'éciualioa L^' \vclgx^=x. Lo lecteur n'a qu'à se reporter à ce qu'on a dit sur les logarithmes. Su [«posons le lien dcMlni pour les valeurs de la variable réelle / qui ,ip[)artiennrnt à l'inlervallc Z^, /, , le point x„ correspondant à la \aleur initiale /„; le lien peut traverser les coupures mais ne doit passer ni par le point /, ni par le point — / ; supposons qu'on prenne, pour / = /o
Arc Ig .r„ = arc tg x^ ;
r»'galité entre les deux fonctions Arc Igx, arc tg X subsistera tant qu'on n'a pas une valeur de / à laquelle correspond un point d'une coupure ' ; si pour t <C v, on n'a pas atteint une coupure, et si on en traverse une pour / = 5, on aura pour les valeurs de t un pou plus grandes que S
Vrc tg .r == arc tg x àz ~,
en prenant le signe + ou le signe — suivant qu'on traverse la coupure en allant du bord droit au bord gaucho, ou du bord
gauche au bord droit. L'égalité subsiste ensuite tant qu'on n'a pas atteint les coupures, etc.
Fig. /,6.
372. — Résolvons de même, pour définir la fonction arc sin x, 'équation
sin V = — . — = X,
om
e'-"J — 2 ix e"-! — I = o ;
si on se donne le nombre x, le nombre iy devra être le logarithme de l'une des racines de l'équation en u
(') De UKiiic si l'on voulait «lérmir la fonction Arc t{ simple ([iii ne contiendrait aucun jioinl des coupures.
dans un domaine
3G^| IMr.iini t.TKiN a la TIIKOUIK IiES iosctions
Considérons en [>artlcnlicr la fonction
j = = Ig ix H- v/i — x'^),
en adoptant pour [/ 1 —^x' la même détermination qu'au n 341 ; celle pour laquelle la partie réelle est positive. Je rappelle qu'on a dû introduire deux coupures sur l'axe réel ; l'une allant de i à -+T X ; l'autre de — i à — x . Lorsque x est sur une des coupures,
est imairinaire : les signes placés près des coupures indiquent quel signe on doit prendre suivant qu'on est sur un bord ou sur un autre; lorsque x est sur l'une des coupures, ix -+- {'i — x'^ est purement imaginaire, ainsi que l'autre racine ix — v^i — x' <^lc l'équation en ii : inversement, l'une ou l'autre de ces deux racines ne peut être purement imaginaire que si x est situé sur l'une ou l'autre de ces deux coupures; en elïet, de l'équation en ii on tire
et l'on voit immédiatement que x est réel et plus grand que i en valeur absolue si on suppose a purement imaginaire.
Par conséquent, dans le continuum oblenu en supprimant du plan les points qui appartiennent aux deux coupures, les parties réelles de ix -+- \/i — x^, ix — v^i — ^' "e s'annulent pas; elles gardent le même signe; la première est toujours positive, comme on le voit on prenant x = o ; la seconde est toujours négative. En siq)posant que x, n'appartienne à aucune coupure, on peut
prendre l'argument de ix H- v'i — x- entre — et -^ ", l'argument de — ix -h /r — x- entre et ".
Si donc X n'appartient pas à l'une des coupures . Ig [ix -t- v^i — x^)
aura sa partie réelle comprise entre — et " ; cette dernière condition et l'équation sin y = x suffisent à définir le nombre y,
(llU'ITUi: XI. lONCTKt.NS I)K \ Alil AKLKS l.M A(;i.N AI Ki:s 3G5
puisque la parlie récllr lIo ^. log ix — \ i — .r- n'est jamais comprise entre — '^" et ^" . quelle que soit soit la détermination adoptée pour le logarithme. D"aileurs, lorsque x est réel, compris entre
— I et I, la fonction • Ig i /> + \^fZ^r^ est la fonction arc sinx
Fig. /17.
du n" i99 : en ellet, si on pose x =^ sin çj, -p étant compris entre
— 3 *^'^ 2 ' ^^^ '^ ^^^ positif et par conséquent égal au nombre positif /i — x- ; on a alors
ix -k- s,' i — X- = cos '-p -+- / sin cp ;
par conséquent la valeur absolue du premier membre est i et son argument principal est 'j : on a bien
. Ig (ix H- v^i — X-) = 0.
D'après cela, je prendrai la fonction • Ig {ix + \/i — x'-) comme la définition de arc sin x:.
D'ailleurs en se reportant aux diverses valeurs du logarithme et en se rappelant (pie le produit des deux racines de l'équation en a est — I, on voit que toutes les valeurs de y sont données par les formules
2 n~ H- arc sin x, (an -f- i)~ — arc sin x
où /; est un entier quelconque.
Le schéma ci-dessous donne la valeur de la fonction arc sin x sur les différents bord des coupures
— ■■ — £ Ig ,— X — \fx- — I
Ig x -
ig ..-,
En deux points confondus de la coupure de droite, mais appartenant à des bords opposés, la somme des valeurs de la fonction
366 J.NTISOI>LCriO.\ A LA TllKOUlE l»ES lOCTUt.NS
ainsi définie est z ; la somme cinaloguo, pour l'aulic coupure, est
Ici encore, il sera facile de définir par conlinuilc, le long d\\n lien ne passant par aucun dos points i et — i, une lonclion Arc sin a* vérifiant pour toutes les valeurs de a; l'égalité
sin (Arc sin x) = x.
Si l'on suppose le lien défini pour les valeurs de la variable réelle / qui appartiennent à l'intervalle 'Jq, tj et si l'on a à l'origine Xq du lien
Arc sin x^ = arc sin rr,,,
l'égalité entre les fonctions Arc sin x et arc sin x subsistera tant qu'on n'aura pas atteint une coupure ; si Ion atteint et si l'on tra-
verse une première fois, pour / = 0, l'une des coupures, on aura pour les valeurs de t un peu plus grandes que 0
Arc sin x = zh - — arc sin x,
suivant que l'on traverse la coupure de droite ou la coupure de gaucbe; l'égalité subsistera tant qu'on n'aura })as atteint une coupure, etc.
Supposons, par exemple, que le point x se meuve, dans le sens direct, à partir du point x^, sur un cercle décrit du point o comme centre avec un rayon plus grand que i et traversant les coupures de droite et de gaucbe aux points a, fj ; su[)posons que le point X(, soit au-dessus de l'axe réel et que les deuv fonctions Arc sin x, arc sin x soient égales on ce point ; elles resteront égales sur l'arc qui va de x^; à fj ; quand on aura dépassé ,v, on aura
Arc sin x = — - — arc sin x.
CIIAIMTIIK M. I0M;TI(>.\S ItlO VAlilAlILKS l.M A(;i.\Al UKS 'M)~
et cela jusqu à ce (jn'on soit en a; quand on aura dépassé y., on aura Arc «in x = 2 7: -h arc sin x; c'est avec celle valeur, en particulier, qu'on reviendra au point .c^ ; l'é^'-alilé subsistera tanl qu'on restera au-dessus de l'arc réel, elc...
Le lecleur n'aurait pas de peine à démontrer, sur les déiinllions précédentes, que les fonctions arc tg x, arc sin x sont régulières en tout point qui n'appartient pas aux coupures ; mais cela apparaîtra [)lus lard, d'une autre l'açon (n°'' 388, 089, 899;.
