En posant

on a établi (n" 263\ pour les Aaleurs réelles de x, les formules

(3) sin.x = r,rf{x)f{-:r) = .x]X [(i + ^^) e~'']

(4) v(x-hi)=xvix), r(x)v(i—x)= ." .

' SHi -.r Je rappelle que C désigne la constante d'iùilcr et (|ue racccnt dont est affecté le symbole J[ J^ veut dire que a doit jnendre toutes

les valeurs entières, positives ou négatives, à l'exclusion de la valeur o.

On a montre aussi que, si l'on pose'^

ï + jjj e '. = I -H u„{x),

si l'on désigne par l]„{xj la majorante naturelle de la fonction I x- / 1 i \ x'^

et par A un nombre positif (juelc(.n(iuo, la série à termes positifs

iii \ 4- ((.(A) -h ... H- H„(A) -h ... est convern'enle.

obN i>tuoihi:tio.\ a i.a tiikouik 1)i:s i"(t.\r.Tin.\s

11 s-uil tlo là que les seconds membres des formules (i), (2), (^) sont des fondions i transcendantes} entières en x, et qu'on peut leur (ipiiliquiT la rèyle du n" 354 jiuur |)rendrc la déri\ce d'un proiluil iniini.

La Itirmule 2 , établie par les valeurs réelles de x', peut être prise coiuuie la définition de la fonction T [x) pour toutes les valeurs de u.% autres que o, — i, — 2, ... . La formule 3) est certainement vraie pour toutes les valeurs dex; car les trois membres peuvent être mis sous forme de séries entières en x, convergentes quel que soit x, et ces séries sont identiques puisque leurs valeurs respectives sont égales lorsque x est réel. Les formules !\ résultent sans peine des formules (2) et (3) ; elles subsistent donc pour les valeurs imaginaires.

En prenant les dérivées d'après les règles du n" 354 et en posant

on obtient

(,) . col .X = > . M -,(-.)= i + 2:' (x^, - ;,)■

Dans la dernière formule l'accent dont est alTeclé le symbole ^

W \eut dire que 11 doit prendre toutes les valeurs entières positives ou

négatives, mais non la valeur o ; elle ne diffère que par la forme

de la relation

- cot -X =

comme on le voit en réunissant les termes qui correspondent à des valeurs symétriques de 11.

La convergence des séries qui figurent au\ derniers membres des égalités 5;, (7} résulte de la façon même dont elles ont été obtenues, mais il ne sera [)as inutile de reconnaître, sur les séries

ciiAi'iiui-: \i. — Kix.iiu.ss i)i: \ aisi aiu.ks imaijI.naiuks Mmj

C'llo> iiièiiics, cl la coiner^^cnce de ces séries et le caiaclèic des functiuns qu'elles définisseiil.

Je raisonnerai, [)ar exemple, sur le second membre de légalilé 7

On a vu w" 343 que. des deu\ l'une lions

Il n n — X)

où II' = \ Il \ , la seconde était la majorante naturelle de la première, en supposant | x | •< n'. Fixons un nundjrc posilil' quelconque A, et un nombre naturel /• > V ; ne considérons que les valeurs de x qui satisfont à la condition | ic | < A et, dans le second membre de l'ég-alitc 7 , négliireons la fonction rationnelle Sr X somme des termes pour lesquels on a | n | ■< ;% pour ne nous altaciicr qu'à la somme 1,- .v des autres termes, llemplarons dans 2i, X chaque lerme par sa majorante naturelle et x par A ; on obtiendra la série à termes positifs

qui est manifestement convergente comme la série ^ ', . Le

coefficient 2 provient de ce qu'on a réuni les termes provenant de 1,- X qui correspondent à des valeurs symétriques de n. On voit donc que, pour les valeurs considérées de x, la série 1 x satisfait aux conditions du n' 349; elle est absolument et uniformément convergente; elle est développable en une série entière en X ; ce développement est valable pourvu que l'on ait | rc | <[ r, puiscjue le iiombre posilif A peut être supposé aussi voisin de r qu'on voudra. Ainsi, en particulier, la fonction

- col -:r —

l>eut être dévclop|)ée en une série entière en x convergente sous la condition | x | <C i- La fonction Ir'x est régulière pour toutes les valeurs de x qui satisfont à la condition | x \ <i r; ses déri\ées s'ribliennenf en prenant les dérivées des termes de ^,- x , etc.. La fonction rationnelle Sn'xj, qu'il faut ajouter à !,■ x pour avoir

Ta?«5i:rï II. — Introduction à la Théorie îles fonctions '21

O-O INTUOnrC.TIO.N A l.A Tlir.OI'.IF. IIKS I O.NC.TIOS

le second membre de 7 . admet pour pôles, les points

chacun de ces pôles est simple cl le résidu correspondant est 1 ; en se rappelant que le nombre A peut être pris aussi grand qu'on le veut, on aperçoit immédiatement les propriétés suivantes de la fonction

elle est partout régulière, sauf aux points dont lallixe est un nombre entier ;' ; chaque nombre entier est un pôle simple et le résidu correspondant est i : les dérivées de la fonction sont

^^ (x -h nV ' ^ — (.r + nV '" '

[nj ^ ' n ^ '

dans ces séries, n doit ])rendre toutes les valeurs entières, sans exclure o.

De ce qui précède on déduit en particulier les égalités

..s. l rr'(^)i"y'' i

^^> dx\v{x)\-~ Zà{x -h nY

-5in- T.x

x + nf

On voit combien, en raison même de la manière dont converge la série qui y figure, le second membre de l'égalité (7 est avantageux pour représenter la Ibnction cet r.x, combien, en particulier, il est plus avantageux que l'expression

lim. >

P) Celte propriété suffit ù prouver que légalité (7), une fois étalilie pour les valeurs réelles de x, subsiste pour les valeurs imaginaires, puisque la fonction cot-r, quotient de deux s.'ries entières de x, est régulière pour toute valeur de X qui n'annule pas le dénoniinalcur sinr x.

«iiM'iTitF. XI. — roNcriiiNs m; vAitiAin rs imacinaihf.s ^ti

^n" 202 . Kemarquons, à ce [)ropos, la façon dont se C(ini|)orle l'expression

quand p el q sont des nombres positifs très grands. On peut écrire

12 /) \ I 2 fj

Si l'on se donne la valeur de x (non entière , la somme des

termes qui forment la première ligne du second membre est très

voisine de col ~x, pourvu que /) el y soient suffisamment grands;

quant aux termes qui figurent dans la seconde ligne la somme

n" 194 diiïère très peu de

(C -^ log p) — (C -h log ry) = log ^;

on peut donc écrire, en désignant par i une quantité qui tend vers o quand p et ^ aup-mentent indéfiniment.

\ ^ t: COt r.x -+- lo'' ' -h e ;

ji^4 X -h n '^ fj

on peut évidemment faire grandir/) et q de manière que le second membre s'approche d'une limite dont la diflerence avec - cot tzx soit tel nombre réel que l'on voudra. Lorsque p el y grandissent indéfiniment, le coefficient de / dans l<^ premier membre tend vers une limite, mais non la partie rédlr.