INTUODICTION A I.A THKOHIE IlES FONCTIONS

Kn chaiifTcant ilans les formules 3} et 7) x en ix on trouve

clx -X = -X

ch Tca- I , -y^ ' / I , I '"

sh~x X À,^ \x — la ni

La dernière formule, en v chan":eant x en „ , devient, après des transformations faciles,

gx I X 2 ^ \X 2 07:1 2117:1

(12) ( n=:oO

rc 2 ^^ x^ -\- n

Puisque le second membre de l'égalité 7; est développable en série entière en x, convergente sous la condition \x\ << i, les sommes

qui figurent dans les expressions de ^ ^ sont développables en

. . \ X \ une série entière en x, convcrg^enle sous la condition ' << i.

C'est un résultat qu'on a annoncé et utilisé au n" 265, oi'i l'on avait écrit

En appliquant au second membre de la formule (12- la règle donnée plus haut pour le développement en série entière en x du second membre de la formule (7), on trouve sans peine

Tî 1-2.3... 2/;

« II Al'ITItr. XI. lO.NCTKl.NS IM", \ AlUA lîM-.S IM AM > AI K ILS 'A~'^

en posant

je ra[)[)cllc que les nombres B,, nombres do Hcinonlli sont ralionnels cl (ju'on a (lonné an n' 265 les valeurs des premiers de ces nombres.

Signalons le développement suivant, bien aisé à déduire de ce qui précède

374. — Les l'ormulcs étudiées dans le précédent numéro mettent en évidence certaines propriétés des fonctions qui y figurent; on a vu par e\emi)le avec qnelle facilité on reconnaît que la fonction

n ' il

d La: H- n nj

est régulière en tout point autre que les points Oi±, id=2,..., quelle admet tous ces points pour pôles simples, et que les résidus correspondants sont tous égaux à i. Il est dès lors bien naturel de se poser la question suivante : construire une fonction Fx") qui soit régulière en tout point du plan, sauf en certains pôles, pour chacun desquels on se donne la partie principale : ainsi, si n est un des [)ôles de la l'onction cherchée F 'x , on se donne une expression de la forme

(.-r — a'f (.r — fl)='— '

oîi a est un nombre naturel et A^, A^ ,,..., Ai des constantes qui ne sont pas toutes nulles, telle que la différence (') entre F (x) ot rox[)ression considérée puisse être développée en une série entière

( 'j II est à {icinc ulilc de dire que la valeur attribuée à celte dillérciicc jiour j- = rt doit être regardi'c ( onune une \aleur limite.

Sy^ INTRODUCTION A I.A TIIKORIE Di:S FONCTIONS

en X — a, convcrgcnle pouvu que la valeur absolue de x — a soit suffisamment petite.

On désigne sous le nom de fonclion mcromorphc de x une fonction qui est régulière partout sauf en certains pùles. Un point quelconque du plan est un point oîi la fonction est régulière ou un pOilc ').

Les fonctions méromorplies sont la généralisation des fonctions rationnelles comme les fonctions entières sont la généralisation des pol}nomes. Le quotient de deux fonctions entières est une fonction méromoplie ; on démontre inversement que toute fonction miromorphe est le cjuotient de deux fonctions entières.

Le problème posé, dont je me bornerai d'ailleurs à traiter quelques cas particuliers, consiste donc à construire une fonction miromorphe connaissant ses pôles cl les parties principales correspondantes.

Supposons d'abord que les pôles soient en nombre fini ; et désignons les par «i, <ii,..., «,, ; soit fi [x] la partie principale de la fonction relative au pôle a,; je rappelle que/ 'xj est un polynôme

donné en ^^^ZT^. î ^^ somme /i 'x) -+- /, 'oc) -i- ... + /, .r) répond évidemment à la question posée; elle est régulière en tout point qui n'est pas un pôle comme somme de fonctions régulières; et, pour la même raison, sa différence avec la fonction /i [x), par exemple, c'est-à-dire /> (a;) -^fj{x) -h ... +/«(-t), est régulière au pointai. On reconnaît immédiatement que toute fonction V (x] qui jouit de ces propriétés est de la forme

/> (^) ^f-ii^) -h ..--hfnix) -i-rj{x),

en désignant par g [xj une fonction régulière en tout point du plan. Toute fonction entière, transcendante ou non, est régulière en tout point du plan ; on verra plus tard que les fonctions entières sont seules à jouir de celte propriété.

(') J'adopte la signification que M. Borel donne au mot méroinorphe. (Voir, par exemple ses Leçons soi' les fonctions méromorphes). Quelques auteurs disent d'une fonclion qu'elle est méromorplie dans un domaine simple, par exemple, pour dire qu'un point de ce domaine est un point où la fonction est régulière, ou un pôle.

illM'IlIli: M. FoVCTKOS l>K \ Mil \ l!l.i:> I M A(.l> All'.l.^ i^'j

Cun.iidérons mainlunanl le cas où l'ons^cmljle des pôles est inliiii. Je dis d abord (jue cet ensemble ne peut admettre de point d'accumulation ; supposons en elïet que b soit un tel point d'accumulation et dé^gnons toujours par F x) une fonction qui réponde à la question posée : aussi près de 6 qu'on voudra, il y a des piMes et par conséquent des points où F x dépasse telle borne que l'on voudra ; V x ne peut donc être régulière en h. Le point 6 ne peut [)as non plus être un pôle: s'il était un pôle on elTet, à ce pôle correspondrait une partie principale o x : or la dillérence F .1- — 'i X qui admet évidemment pour pôles tous les pôles de F (x), sauf 6, qui admet donc des pôles aussi voisins de h qu'on le veut, ne peut être régulière en b. Ces conclusions sont incompatibles avec la supposition faite sur la fonction F x , laquelle doit être régulière en tout point qui n'est pas un pôle, l'enseml^le des pôles n'admet pas de points d'accumulation, le nombre des pôles moindres en valeur absolue qu'un nombre positif donné P est fini; ces pôles peuvent être rangés dans un ordre tel que les valeurs absolues aillent en croissant on pluli'»l ne décroissent jamais. En faisant croître P indéfiniment, on voit que l'ensemble des pôles est dénombrable et que ces piMes peuvent être rangés dans un ordi'e «1, '12, .... a„, ... tels, que l'on ait

C'est ce que je supposerai dans tout le pré.^cnt numéro.

Continuons à désigner par/,, x la partie principale de la fonction chercbée F x qui correspond aiî pôle a„-

Il est natiuel de considérei- la série

supposons non seulement qu'elle soit convergente, mais qu'elle satisfasse à la condition suivante : Quel que soit le nombre positif A, si n est un nombre naturel tel que a,, et, par conséquent, ^'n-i> «n-;!. ••• soicut su[)érieurs à A, la série

(2) /niJ^) -H/„^, (x) 4- ...,

dont tous les termes sont manifestement développables en séries entières en x. convergentes pour | x ] ^ A, satisfait aux conditions du n" 349.

H-JÔ INTRdnrr.TION a I.A TIIKOUIF. df.s kox.tions

S'il en est ainsi, la somme 1' x de la série (i se décompose en deux parties : d'une part, la somme des n — i premiers termes, qui est une fonction rationnelle, d'aulro part la somme de la série (2) qui. dans le domaine | .r | < A, est absolument et uniformément convergente et peut être mise sous forme d'une série entière en x uniformément convergente dans ce même domaine. En tout point de ce domaine autre que les points o,, a.^. ..., a„ , la somme de la série (i) est régulière comme somme de fonctions régulières ; aux environs du pôle a,!' <C n), la dilïérence F x) — /iX) sera manifestement régulière. Comme le nombre A peutèlre pris aussi grand qu'on vent, il est clair que la fonction F (a; satisfait aux conditions imposées ; il en sera de même de toute fonction obtenue en ajoutant à F x une fonction entière transcendante ou non ; réciproquement la dilïérence entre une forction qui satisfait aux conditions imposées et F x- devant être régulière en tout point est, en vertu d'une proposition énoncée plus liant, une fonction entière, transcendante ou non.

Il est à peine utile de dire que la série i est absolument et uniformément convergente dans tout domaine simple qui ne contient aucun des points «|. a,, ..., a», ...

Supposons par exemple qu'on veuille construire une fonction régulière partout sauf aux pôles o, i, 2, ..., n, ... el telle que sa

partie principale pour le pôle /i soit 7 — ir^sa. H est aisé de voir que la somme F <'xj de la série

répond à la question.

Lorsque la série dont les termes sont les [)arlies principales données relatives aux pôles a,, a.^, ..., ne jouit pas des propriétés que suppose la démonstration, on substitue à celte série une autre

(•^) 'f,(^) -H 'rM ^ •■• -^ r4^) + •••

dont cbaque terme '^n x; se déduit de la partie principale //o;) qui correspond au pôle a„ en en retrancbant un certain polynôme •iin'x , choisi de façon que la série ç:, satisfasse aux conditions qu'on supposait tout à l'iieure vérifiées par la série (i); c'est à-

CIIAI'IIIU': \l. KlINCTKOS llK VAniAHI.F.S I M A(il.\ Allii;S ■)--

dire qu'à chaque nombre posilil \ correspond un nombre naturel n Ici que l'on ait | '/„ | > A et que la série

rn{^) -+- 'iu+i{--r) + ...

satisfasse pour x < A aux conditions du n" 349.

Qu'il soit toujours possible de déterminer les polynômes '\>n(x) de l'açon qu'il en soit ainsi, c'est une proposition M comprise dans une suite de théorèmes généraux que l'on doit à M. Mitlag-Lelller ; je l'établirai tout à l'heure dans un cas très particulier, mais je veux faire remarquer qu'il est clair, si l'on aduiet celte proposition, que la série '^ est absolument et uniformcmcnt convergente dans tout domaine simple qui ne contient pas de [xMe, que sa somme <P(x satisfait bien aux conditions imposées pour ce qui est de la régularité, des pôles et des parties principales correspondantes, enfin que la dérivée de cette fonction, aux points où elle est régulière, est la somme de la série dcjnt les termes sont les dérivées ç}', (jî^, 'f'>(>^;» ••• t^es termes de la série '> . Ce dernier point résulte de ce que <T> est, en conservant les notations précédentes, la somme d'une fonction rationnelle et de la série

qui, pour x < A satisfait aux conditions du n" 349.

.l'arrivé maintenant à la démonstration du cas particulier que j'ai en vue.

Je su[)pose d'abord que o ne soit pas un pùlc : cela ne diminue en rien la généralité. Si o, en clTet, est un pôle de la fonction cherchée, il suffira, après avoir supprimé ce pôle et après avoir construit la fonction qui admet les autres pôles et les parties principah's correspondantes, d'ajouter à cette fonction la partie principale qui corres[)ond au pôle o.

Soient donc a,, a.^, ..., a„, ... les pôles donnés, dont aucun n'est nul ; je suppose que ces pôles soient tous simples ; soit, en général, 1J„ le résidu relatif au pôle tin ; soient a„, B,', les valeurs

1') lia il('iiioiislralion de celle [)roposilion el inrmc d'une proposition un peu plus générale est reproduite p. i2iS du Tome I des l-JIrmcnli dr ht thcuric des fondions fUiplirjiies de MM. Tanncry et .Molk.

378 I.NTRDhrC.TID.N A I.A TIlKOniE I»ES l-ONOTIONS

absolues il(^ a,,. I)„ : je suppose cnliu que la série à termes positifs

où /• désigne un nombre entier positif ou nul, soit convergente. Lorsque l'on se donne les nombres a„, B,,, il n'est pas tOTijours possible de trouAer un nombre /• tel que la convergence ait lieu ; mais le cas oi!i cela est possible est particulirremenl intéressant en raison de la simplicité des résultats.

Quoiqu'il en soit, sous le bénéfice de ces suppositions, on prendra pour le polynôme '}„ x qu'on doit retrancher de la partie

H "^ principale - — "— relative au pùle an les r premiers termes du développement de celte partie principale suivant les puissances ascendantes de X, c'est à savoir

La série cherchée sera

?! (^) + ?2(-'^) + ••• -H rn{x) H- ..., en posant

et il est bien aisé de voir que cette série jouit des propriétés aimoncées. Soit en eiîet A un nombre positif quelconque ; soit n un nombre naturel tel que tt',^ et, par suite. a'„^i, a'n.-^^, ... soient plus grands que A ; pour | x \ < A, la série

'^„;x) -h 'r„L.i(jî) -h ...

satisfait aux conditions du n" 349 ; en effet, les fonctions ron'x , 9„-ui X , ... sont développables en séries entières en x, dont les majorantes naturelles sont

a'n [n'n — x) ' a;;"u., (aU, — x) '

et la série à termes positifs

<K — A) "^ ffn-ui (0^4-1 — A) "^ •■•'

CII.\I"ITI\I-: \l. KnM;Tln.\S liK \ Altl Aitl.KS lMA^;l^.Vlll^..S SyQ

dont les Icrmes s'obtiennent en rcmplaraiil x par \ dans ces majorantes naturelles est convergente comme la série

qT+I -1- ^'r+i -t- ••••

Supposons, par exemple, qu'on veuille construire une fonction holomorplie, dont les pôles, tous simples, soient les nombres entiers néi^alils, nuls ou positifs, le résidu de cbaque pôle étant i ;

la partie principale relative au pôle n sera ^ ^-. On commencera

par exclure le pôle o, sauf à ajouter ^ à la fonction trouvée.

Les pôles rangés de façon que leurs valeurs absolues aillent en croissant sont alors i, — i, 2, — 2, ,.., /(, — n, ... ; d'ailleurs la série

est convergente ; on peut donc prendre /■ = 1 : la fonction chercLee, après qu on aura ajoute le terme ,, , sera

— h ^, h == z cot -X.

X ■•^ Lx — n n\

La fonction ainsi construite et toutes celles qu'on obtient en lui ajoutant ime fonction entière en x repondent à la question.

Je me contente de signaler une autre a[)plication du même procédé.

Soient o), ro' deux nombres dont on suppose seulement que le rapport ne soit pas réel. Considérons l'ensemble des points dont l'afiixe est de la forme .ç = 2/J'V) -h 2p'oj' en désignant par />,/)' des nombres entiers positifs, nuls ou négatifs; il est aisé de voir qu'à deux systèmes '/),/> , Pn Pt l>om* lesquels on n'a pas />,==/>, p\ =/)' correspondent deux points \, .v, distincts et que tons les points s forment les no'uds d'un réseau de parallélogrammes égaux qui recouvrent tout le plan. Un propose de construire une fonction partout régulière sauf aux points s. qui doivent être des pôles simples, avec un résidu égal à i .

38o IM UonrCTKt.N a I.A TIIKHIUK Iti:S l'OM.iKt.NS

Oïl élahlit d'abord (juc la série à termes positifs

où .V doit prendre toutes les valeurs de la forme 2/)0) -h a/)'»»' sauf la valeur o, qui correspond à /> = o, />' = o^ est convergente, en sorte qu'on peut prendre r ^ 2 ; finalement on reconnaît que la foncliou

répond à la question posée.

Dans le cas général, c'est d'ailleurs d'une façon analogue que l'on procède; si fnX est la [)artie principale prescrite pour le pôle CI,,, le polvnome •bn'x) qu'on en retranche s'obtient encore en prenant les premiers termes du développement de /„ '.-c on une série entière en :/:, développement valable pour | o; | << | a» \.

375. — De même qu'on peut construire une fonction holomorphe dont on donne les pôles et les parties principales correspondantes, on peut construire une fonction entière pour laquelle on donne les racines et les degrés de multiplicité de ces racines.

Lorsque ces racines sont en nondjre fini, on a tout de suite une solution en formant un polynôme qui admette chacune de ces racines avec le degré voulu de multiplicité et qui n'admette point d'autre racine; on peut ensuite multiplier ce polynôme par une fonction entière qui ne s'annule pas.

L'ensemble des racines distinctes, s'il est infini, ne peut avoir de point d'accumulation : autrement, en effet, la fonction entière serait identiquement nulle; cet ensemble est donc dénombrable et peut être représenté par une suite Oi, a.,, ..., a„, ... pour laquelle on a

D'un autre cùté l'ordre de multiplicité de chaque racine est un nombre entier déterminé; rien n'empêche de supposer, tout en conservant les deux conditions précédentes, que, dans la suite a,, r/^, ..., a„, ... chaque racine figure autant de fois qu'il y a d'unités dans son ordre de multiplicité. Laissons de côté, s'il y en a, les

CIHI'ITKK M. l().\<.TIO\S l»i: \ AlUAItl.KS I M.Mil.N AIIU.S .')8 i

racines nulles : on i^cnt, lonjonrs en lonir comi[)Ic, quand on a consliuit une fondlon enlièrc qui admet les autres racines, en multipliant celle fonclion [)ai' une [luissancc de ji.

A\ eicrstrass a montré qu'où pouvait faire correspontire à chaque racine «„ de la suite précédente un nombre naturel /•„ et un [)olvnome

tels que le produit infini

li[

fût converf^ent. Ce produit satisfait même, pour toutes les valeurs de ./", au\ conditions du n" 349 ' . Si on admet cju'il eu soit ainsi, il est clair que ce produit répond à la question posée : c'est une fonction entière admettant pour racines les racines données, chacune avec son degré de multiplicité et n'en admettant pas d'autre. Ce théorème de A\ eierstrass a été le point de départ d'un grand nombre de recherches, eu particulier de celles de M. Mitlag- Lelller auvcpielles on a fait allusion un peu j)lus haut : au reste, la construction (.l'une fonction entière dont on se donne les racines avec leur ordre de multiplicité et la construction d'une fonction méromorphe pour laquelle on se donne les pôles et les résidus correspondants sont deux problèmes connexes; en effet si n est un zéro de la fonction entière cherchée,^ avec l'ordre de multiplicité a, on tirera de l'égalité

la suivante

J[x) x — a ^{xY

qui montre que la dérivée logarithmique de la fonction f x admet le point a comme pôle simple, et que le résidu correspondant esta. On conclut de là immédiatement que la dérivée logarithmique de

i 1 1 Voir, par cxem(iie, les I-JU'inents de l,i Tlu'orir des fonrllon.t (•//<'/)//(/(;(•.< fie MM. Tannery et Mollv, t. I, p. 1 1 'i i .

082 l.NïnODlOTlO.N A l.A TUICOUll-: DKS r(l>"CTl(t.NS

la Ibnction entière clieicliée est une fonction méiomorplie dont les pôles sont les racines de la l'onction cherchée, chacun de ces pôles étant simple et le résidu correspondant étant le degré de multiplicité de la racine. Si l'on construit une telle Ibnction méromorphe de la façon qu'on a expliquée antérieurement, les règles d'intégration, qu'on étudiera bientôt, conduisent au produit infmi qu'on a décrit un peu plus haut (^ .

Pour ce qui est de la démonstration directe du théorème de ^^ eierstrass, je me bornerai à quelques indications sur le cas où toutes les racines données a,, a.>, ..., a„, ... sont simples et où il existe un nombre entier positif on nul r tel que la série à termes positifs

ir^l ' qU + I ' • • ' ^,r+l

dans laquelle on suppose a^, = \ a,, \, est convergente. Tout d'abord si /" est nul, il est clair que le produit infini

répond à la question. Supposons maintenant /* positif, on prendra pour le polynôme P„ correspondant à la racine a,,,

«„ 2 a- r (In

afin d'établir la convergence du produit infini dont le n'''"'' facteur est

il est commode de remarquer que la fonction entière

peut se mettre sous la forme

(') Oa peut voir à ce sujet les Levons sur les funciions méromorphe s, de M. I3orel, p. li.

(iivi'iTHi: M. — it».\(;rio>s di; vaiuaim.ks ima(;i.\.\iui:s .'58.')

où j x est une série enlit'ic en ./; duiil les ctjellicieuls sont |)(Kshi^^ et plus jïelits que i . C'est coque l'on reconnaît sans peine en remarquant que la roiiction v vérifie l'équalion tlilVéïcnllcIIe

v' <^i — x) -h yx' = o qui, si l'un pose

Iburnit, ]iour ladétcrminalion, des coefficients a,, a^,... les relations o — -^, = 2o = ... = a,., a,.^, = I

de ces relations on conclut [)ar induclion (|iie les coefficients, à partir de 7.,^^, restent égaux ou vont en diminuant, sont positifs et inférieurs ou égaux à i. D'après cela, si la valeur absolue .c' de x est

inférieure ù i, ou peut prendre la fonction ^ pour majorante de

la série 5 x . Si donc on désigne par A un nombre positif quelconque, si l'on ne considère que les valeurs de x pour lesquelles on a x' ^ A, si II est un nombre naturel tel que a'„, et par conséquent a',„ en supposant ni > n, soit plus grand que A, on pourra écrire

P ' ^ rr''-^' ^ A'-î*

Laissons de côté les n — i premiers lacleurs du produit infini

qui forment ésidcmment une fonction entière; pour les valeurs de X considérées, le produit infini formé par les facteurs suivants satisfait aux conditions du n" 349. à cause de la convergence de la série à termes j^ositifs

a^{a^ - A) "^ air+]{a'„+, - A) "^ •-

La réintroduction des /( — i [)remier>- i'acteurs ne cbangc rien au caractère du produit infini cousidéic qui, [lour les valeurs de x

3S'j I.NTKom (".riO.> A I.A TIIKOUIE iii:s FO.NC.TIO.NS

satisfaiï^anl à la condition | ./; | ^ A, csl absolument cl uniformément convergent et peut être mis sous forme d'une série entière en x; puisque A peut être pris aussi grand qu'on le veut, ce produit infmi est bien, comme on l'avait annoncé, une fonction transcendante entière en x. La déri\ée logaritbmique est la fonction méromorphe

qui admet pour pôles simples les points a,, a.^,..., avec le résidu i. Les produits infinis qui représentent les fonctions T x , sin t.x, ont été construits par la règle qu'on vient d'expliquer, en partant de ce que la série

est convergente.

Signalons encore, en reprenant les notations expliquées antérieurement le produit iniini

7(a-) = .TYj'pi-f)e^ + -^]

où s doit prendre toutes les valeurs de la forme 2 po) H- 2 qoa' , sauf la valeur o, et dont la dérivée logarithmique est la fonction Ç'x). La fonction transcendante entière 7 x , introduite par AVeierstrass, tient un rôle capital dans la théorie des fonctions doublement périodiques.

CHA1»ITHE \II