DERIVEES ET INTEGRALES DES FONCTIONS D'UNE VARIABLE IMAGINAIRE

î. — DKHIVEES

376. — La notion de dérivée d'une lonclion d'une variable imaginaire a été présentée de deux points de vue diflcrents ; on a dit fn° 352 d'une fonction ¥ \[z régulière au point rg, c'est-à-dire telle que la l'onction V r, + h puisse être développée on une série entière en h, convergente pour les valeurs sul'iisamment petites de |//|, qu'elle admettait des dérivées de tous les ordres et l'on a déliai ces dérivées par les coeflicients de la série. Au n" 353, on a donné une définition de la dérivée qui a exactement la même forme que la délinition de la dérivée pour les fonctions d'une variable réelle. En ce sens, on tlit qu'une l'om tion !•' r , définie aux environs du point r,j, admet en ce point le nombre F' r,, pour dérivée si à cbaque nombre positif a correspond un nombre positif ,S tel (pie l'on ait

sous la condition o << |: — rj <C j'B. 11 ne peut évidemment en être ainsi que si la (onction F 'z est continue au point c,,.

C'est surtout à ce dernier point de vue que je me [)lacerai désormais; mais le lecteur n'oubliera pas que, lorstpi'oii sait (piune fonction est régulière en un point, on sait qu'elle a en ce point une dérivée et même des déiivées do tous les ordres ; nous connaissons ainsi déjà un grand nombre de fonctions qui admettent des déri-

Ta^nebï II. — Introiluclioti à la Tliéoiie îles fonctionj 25

386 l.NTROUrC.TION A I.A ïlllioiUR DES rO>CïlONS

vées, et les dôrivées de ces fonctions, par exemple les polynômes en :, les fonctions c% sin r, tg r, etc.

On montrera comme au chapitre N 1 (]ue, si deux fonctions admettent des dérivées, il en est de même de leur somme, de leur produit, de leur quotient et l'on généralisera sans a;icunc peine les règles dudit chapitre pour le calcul de ces dérivées. La règle des fonctions de fonctions se généralise aussi immédiatement que sa démonstration. Je ne m'arrêterai pas sur la règle des fonctions composées, pour laquelle je me hornerai à ce qui a été dit, à un autre point de vue, an n° 354. Mais je veux dire quelques mots des fonctions inverses

377. — Soient (^''z , 'J^'z; deux lonctions inverses; soient c^, Zq deux points correspondants, c'est-à-dire deux points pour lesquels on ait à la fois

je suppose, sur les deux fonctions '^ - ■> 'j' ^^' qu'elles sont définies aux environs des points Cy, Z^ ; quelles sont continues en ces points ; que l'on a, pour les valeurs de Z suflisamment voisines de Zo,

je suppose enfin que la fonction o'z] admet, pour z = z^, une dérivée Ci' C(, , dilTérente de zéro. Sous ces conditions, on peut affirmer que la fonction 'li Z admet, pour Z = Zq une dérivée égale

Considérons en effet le rapport

et posons z = 'IZ ; pourvu que Z soit suffisamment voisin de Z^, 'I Z ou z, puisque la fonction 'V Z est continue pour Z = Z^, sera aussi voisin qu'on voudra de 'l» Zq) ^ -o ' Z=^ zl^"^''] ^^''^ égal à o r ; le précédent rapport pourra donc s'écrire

(iurrnu: \ii. — dkuivkes p.t intfxuales 087

fjui est aussi voisin qu'on veut clc ..• . ^ pouivu (jue r soit siilTisam-

niont voisin de r„ ot, par conséquent, pourvu que Z soil sulfisanimcnt voisin de Z^,. La proposition énoncée est établie.

On a NU, par exemple, que la fonction log Z peut être définie. et cela d'une inimité de fa(;ons, dans tout domaine simple qui ne contient pas le point o; cette lonclion satisfait d'ailleurs à la condition e'%'''- = Z ; elle est l'inverse de la fonction e- : un point quelconque Z intérieur au domaine considéré et le point z = lug Z peuvent jouer le l'Me des points Z,j et z^ de la théorie précédente ;

la dérivée de log Z est donc

Connaissant la dérivée de la fonction log z, le tliéorènie des fonctions de fonction permet d'oblenir les dérivées de

■,m lof:

, lit — ~

', arc tg r = . log .

qtii sont respecti\ement

Les deux dernières pourraient d'ailleurs se déduire des dérivées de tg z, ou de sin r et de la règle des fonctions inverses.

La signification que l'on doit donner à la dérivée, lorsqu'il v a quelque ambiguïté, est d'ailleurs liée à la signification de la fonction. La fonction z"', par exemple, lorsque m n'est pas entier, peut se définir ainsi que log c au moyen de l'argument de z et, parconsé/juent, dans un domaine simple ne contenant pas le point o ; on

devra entendre que la dérivée m:"'~'^ est égale à * , où :"' a la signification adoptée pour la fonction.

Pour ce qui est de arc sin :, je rappelle d'abord que toute fonction Arc sin z, inverse de sin :, peut être définie comme l'une

des déterminations de ^ log /'- 4-^1 — :^ ; la fonction ^ i — :'■

<loit avoir la même signification rpie daM> i,i tli'iivée , . Les

388 ntRortrcTioN a i.a tiikorif, i>f.s fonctions

loiicllons V I — ."- cl nrc sin : ont été di-finics sans ambiguïté clans un pian où l'on avait pratiqué deux coupures allant, le long de l'axe réel, de i à -i- x et de — i à — x . Dans ce plan, la parlie réelle de \ i — :- doit être positive, qu'il s'agisse de l'expression au moven de la(|nelle est délinie la l'ondion arc sin : ou de sa dérivée.

378. — Il convient de faire ici, à propos des coupures relatives à la ionction arc sin r, quelques observations qu'il y aurait d'ailleurs lieu de répéter i'réquemnient dans des circonstances analoo-ues ; elles sont assez simples pour que j aie cru devoir me dispenser de détails de démonstration, que le lecteur suppléera aisément.

Soit Z(, un point situé sur une coupure, par exemple sur le bord supérieur de la coupure de droite. On est convenu de prendre alors

\'r^^:l = — i S^:l — I- arc sin :„ = ^ — / Ig :^ — v^zg — i; ;

en adoptant pour \^zf, — i la signification arithmétique; au point z , si Ion traverse la coupure, la fonction arc sin r est discontinue ; on n'a donc pas, sembic-t-il, à parler de sa dérivée. On peut en parler toutefois et continuer de dire que celte dérivée est égale au nombre

Premièrement, on peut dire que ce nombre est la dérivée, pour - __ ; , d'une fonction Arc sin z, définie comme il suit aux environs de z,,, par exemple dans le domaine simple dont la frontière est un cercle décrit de r„ comme centre avec un rayon moindre qyg ir-ç — i' ; là, elle coïncide avec la fonction arc sin r pour les points z qui sont soit sur le bord SM|)érienr de la coupure, soit au-dessus, elle est continue et l'on a sin Arc sin z^ = z.

D'après ce qu'on a dit au n" 372, cette fonction est égale à

- arc sin z pour les points situés soit sur le bord inférieur de

la coupure, soit au-dessous. La dérivée de la fonction Arc sin r ainsi délinie est

(iiAPinir. XII. — in:itivi';i:s i:t imi;(;i;ai.i:s .')8f)

suivant que le [)oiiit c est au-dessus tle la cou[)uic, sur la C()u[)urc quel que soil le bord , ou au-dessous de la coupure : elle est eonlinue dans le domaine considéré ; il est à peine utile de rappeler que \ ï — :- a sa [)artie réelle positive. Se.'oiidoaKMil, ou peiil dire que le iioinln'e

est la tlérivée pour ; — :,, de arcsin r, ou ce sens qu'il csl la limite pour ; = ^u du rapport

oi'i ; ne prend que des valeurs figurées par des points situés soit sur le bord supérieur tle la coupure, soit au-dessus.

On est ainsi amené à étendre la notion de dérivée à une l'onction F r qui ne serait pas entièrement définie aux environs du ])oint r^. J'indique dès à présent celle extension qui facilite quelquefois le langage.

379. — Soit E) un ensemble de points, soit :^o un point d'accumulation de cet ensemble qui lui appartienne. Supposons que la lonclion I' ') soit définie dans l'ensemble ( E ; je ne considérerai que des points c qui appartiennent à E ; je dirai que la fonction V z admet une dérivée au point :^^ dans l'ensemble Iv. s'il existe un nombre V :,^ tel que l'on ait, quelque petit que soil le nombre positif y.

liWzz.^:.)P(,.)|<,

pour tous les points r de E qui satislont à la condition

où l'y désigne un nombre positif, convenablement clioisi, d'après a.

La fonction F r ne [)eut évidemment avoir de déri\ée dans l'ensemble E au [)oinl d'accumulation :„, que si elle est continue en ce point.

Si, par excm[)lc, renseud)lo E est constitué par un continuum

3()0 INTlmiin Tl(i\ A I.A TlIKOlîll-: l»KS l-(t.\<;TI»».N,S

et sa frontière, on saura ce qu'il laut entendre quand on ]>arle d'une fonction Iz déterminée dans K et admettant luie dérivée, dans l'ensemble E , en tout point de cet ensemble. Si r,, est un point du conlirunim, la fonction ¥ : sera déterminée aux environs de ce point et l'on adoptera, pour la dérivée, la délinition ordinaire ; si r„ est un point île la frontière, on adoptera la définition étendue, qu'on \ieiit d"e\[)liqucr. Plus liénéralemcnl, si tous les points de 1'^ sont des points d'accunudalion, il est permis de parler d'une fonction V\: , déterminée dans K , avant une dérivée dans E , en chaque [)oinl de cet ensemble. Celle extension de la notion de dérivée est encore commode quand la l'onction que l'on considère est définie, comme la fonction arc sic. r, dans un plan où l'on a pratiqué des cou])ures ; pour reprendre cet exemple, et le point r„ situé sur le bord supérieur de la coupure, on constituera l'ensemble E ])ar les points suffisamment voisins de r„ et situés soit sur le bord siqiérieur de la coupure, comme r^. soit au-dessus de la coupure; la déHnilion de la dérivée, dans l'ensemble E, de la fonction arc sin z au point r^ est alors exactement celle qu'on a donnée à la fin dn numéro précédent.

380. — Supposons toujours que la fonction F r , déterminée dans l'ensemble E , ait, dans cet ensemble, ime dérivée F' r , =^ y^, H- //<y pour le point d'accumulation r^ = x^, -l- /jo ; supposons en outre qu'il y ait un lien, défini par les formules

qui soit contenu dans E et qui contienne le point z^ ; en particulier, il y a un nombre /^ appartenant à l'intervalle a, b) pour lequel on a

supposons enfin que les fonctions réelles o l , 'J/ 7 , déterminées dans l'intervalle a, b , admettent pour / = /(, des dérivées d'I^), 'V /q ; si le nombre /„ se trouvait être égal à l'une des bornes a. h de l'intervalle, le mot rlérivée devrait être entendu dans le sens de flérivée à droile ou de dérivée à gauche n" 205 .

Si l'on regarde z comme étant égal à ç '7 , -h ?''}7), ¥'z), en séparant les parties réelle et imaginaire, se mettra sous la forme

(lIAlMTHr. XII. ItKKIVKKS ICT I.NTKCUAI.F.S Sq I

(p /' ) i^t" / , <|) / cl *K / étant des fonctions déterminées dans l'intervalle a, h . Je vais démontrer que ces fonctions atlmcttent, |),)ur / r= /„, des dérivées <lJ /„ , 4" /q , et que ces dérivées s'expriment par les rormules

*'('o)=â'or'('o)-VV(U.

que l'on peut condenser dans la formule unique

*' Co) ^ i'^" Co) = (:/o + '/'o) L?' Co) + '^' Co)]-

Ici encore, si /^ est l'une des bornes a, h de l'intervalle, les dérivées $' t.^ , 4""' ^o seront des dérivées à droite ou à gauche. Posons en effet

En vertu des hypothèses, à chaque nombre positif a, correspond un nombre positif fî,, tel que les nombres réels 2, i' r,, r, soient moindres en valeur absolue que 7., dès que l'on a | / — /^, | <C j3.

On tire de ces é<?alités

'^ffl-'*'(^) + My(o-^(<o)]

= ! r'(U + •^. + i''V{l.) + r/l (i/o + il,

puis, en séparant les parties réelle et imaginaire,

'H^j-pto) r^,(g ^ ^, (^^ ^ ,) '^.(g ^ ^, (/,^ ^ ,,), i — 1(1

On voit immédiatement, en regardant les seconds membres, qu'à chaque nombre positif a' correspond un nombre positif j>' tel que

092 I.NTUltlII (.TKIN A J,.\ I lli:tll'>li; ItES IdNC 1 Kl.NS

les dilTéicnccs icspcclivos entre ces secoiuls membres et les expressions

'«''('o)=ifo?'('o)-/vV(/o),

r(g = /'„<?'(/„) + 5oV('o)

soient moindres en valeur absolue que a lorsque l'on a ]/ — t^}^<^^^J \ cela revient à dire que tl> /,, , 4 ; /q sont les dérivées pour / = /„ des lonclions <l> / , H / .

Supposons cpie l'ensemble E , dans lequel on supposera toujours que la fonction F 2 ; soit déterminée, jouisse de la propriété suivante : Deux points quelconques de (E , peuvent être reliés par un lion contenu tout entier dans E ; c'est la condition 2° de la délinilion d'un continuum. Si cette condition est vérifiée, tout point de l'ensemble sera évidemment un point d'accumulation. Supposons aussi que F ;, ait une dérivée F' 'z), dans E^, et conservons pour les lettres et les s\mboles a, 6, /, 'S>\C', ^(f), ^(t), ^(0 1^ même signification que plus haut; les fonctions réelles ^>[lj, ^ i/ , déterminées dans l'intervalle (a, b), admettront des dérivées ^' [t], T' 7 pour les valeurs de t telles que les fonctions '^[l), '^j'i) aient elles-mêmes des dérivées (^ {(], '^ ^i), et l'on aura

en désignant par y, h la partie réelle et le coefficient de / dans F' z), pour 2 = ç> 7y + /'i/ / ; ces deux égalités peuvent être réunies dans la formule

<!>'(/) + m-'{i) = F'(:) 'o'{t) + il' {ty.

381. — Supposons enfin que E soit un continuum et que la fonction F 'z) ail une dérivée F'(z) en chaque point de ce continuum ; le mot dérivée doit ici être pris dans son sens ordinaire, puisque la fonction F r , par cela même qu'elle est déterminée dans E , est déterminée aux environs de chaque point z=^x -i- iy de l'ensemble Œ ; il est maintenant inutile de parler de la dérivée dans E). Posons, en séparant les parties réelles et les parties ima-

iiui'irisK Ml. — iti:itivi:i:s i;r imi;(;k\i.ks .'ii)3

les Ibnclions ixellcs \, ^, </, li »lts variables ix'cllis x, y seront définies, et les dtMix [treniières seront conliniies ' . en tnnt prtint du ronlinunni ; il résnllo inmiédialcment de ce 'ini procède (]uc les Ibnclions \ .;•, v . Y x, y admettent des dérivées jjartielle.s par rapport à y en chaque point de E , et que l'on a. en désignant par

les valeurs de ces dérivées au point x = Xq,

î^ ) =9 (^«' jo), (J^ ) = /' (•'"o- yo)'

{^)= - '^ (^V Jo). (^ )= g (^0. Vo) :

Considérons en elTet, sur la [)arallèle à l'axe réel qui passe [)ar le point Xq, Jo un segment comprenant ce point et assez petit [)our être contenu dans ( E) ; ce segment pourra être regardé comme le lien du numéro précédent, en supposant que les l'onctions 'S> / , 'J> / soient égales, la première à /, la secontlc à la constante y, et en prenant pour a, h des nombres qui com[)rennent .c^ et qui en sont sulfisamment voisins ; on aura alors o' V = i , '1/' t =o et

'\^{l)=\{l.y,), yr[l) = \{t,y,);

les dérivées par rapport à /, [)Our / = ./.'û, des lonctions 'I' / ou X I <, y,j , ^ t OU \ /, y„ ne sont autre chose, par définition, que ïes dérivées partielles

dont l'existence est ainsi manifesle ; les formules du numéro précédent montrent d'ailleurs que ces dérivées sont respecliveniciil

(') On montrera ultérieurement qu'il en est «lo même des fondions f/ (.'"..>'), h{x, y) en vertu des coiiclilions énoncées.

0() I l.MltOlUc TION A lA TIIKiMilK l»i:S lOM'.TION'S

égales à 7 .r„, v„ , li x^, Vu . La dcmonslralion s'achève en considérant, au lieu do la jiarallMe à Taxe réel, la parallèle à l'axe imaginaire qui passe par \o point .i;„, >%, .

Puisque .Cq, v„ désigne un point quelconque du continunm (E) on peut dire généralement que si la lonclion

admet une dérivée

F'(r) = g(x, y) ^- ili[x, y)

dans le continunm. on a en tout point de ce continuum,

ô\ ùY , , ôV ôX , , ,

,„- , ^X . i>Y I /i'>X . dY\ ^ ' Cx (^x i \tiy C'y /

Si la fonction F' c) est continue au point du continunm

• 1 /■ ■• ôX f>Y i^X dY . ,.

z = X -r- lY, les lonctions - . - , , — seront conlinucs en ce

point, au sens du n" 165.

382. — Inversement, je vais établir le théorème suivant : Soient X x, y , \ x, y des fonctions réelles des variables réelles x, y, définies dans tout le continuum Ey et admettant en chaque point de ce continuum des dérivées partielles du premier ordre, continues en chaque point du continuum et satisfaisant aux conditions

, ôX ùV .-^X ^Y .

^ ' f*rr ftr ' i^y ^x

la fonction X x, y -\- i\ x, y , regardée comme une fonction de z r= .c + /}', admet en chaque point du continuum, une dérivée égale à g x, y -H ih [x, y en posant

, . , , ^X i^Y , , . ôY ôX

Je raisonnerai sur le point ./•„, Vq ou Zq, que je suppose appartenir au continuum E ; soit r) un nombre positif tel que tous les points qui sont à une distance réduite de x„, y^ moindre que o^

(.iiAi'irr.F. \ii. — niativKKs kt intk<;iui.ks '\()7>

apparliennoni à !•] ; si 7.,^-j sonl des nombres réels mointlres que cJ* 011 \;ilcm- absolue, et si 0,, 5. sont des nombres positifs moindres (pic 1 . les points

(j-o -^ a. j„ -h p), (.r, + 0,a, v, + O.fJ), .r„ -f- 0,a. j„ + O/^l)

appartiendront tous à K . Afin d'abréger un peu l'écriture, je désignerai par 7, et //,, d'une part, par g.^ et //,, d'autre [)arl, les valeurs des fonctions 7 x, y , h x, y aux deu\ derniers des ])oinls dont on vient de dire (pi'ils ap[)artenaient au cnnlinuuni : eiilin je poserai 7,, := (j ./;„, r„ , //,, = 1i x^, r„ .

l^our établir la proposition que Ion a en vue, il faut montrer que le rapport

,,- X (a-Q H- a. jo + P) H- 1 Y (jgQ H- g, Xo -t- p) — X {xo,yo) — tY (xp. jp)

dilTère aussi peu f(u'on veut, en valeur absolue, du nombre 7o + '/'„» pourvu qucy.,^j soient suffisamment petits en valeur absolue.

Or, avec les notations que l'on a expliquées un peu j)lus liant, on peut écrire, en vertu de la proposition établie au n' 221, cl en tenant compte des égalités 2 ,

^^ (•'"u -r- '^, Vo 4 • ? , — X (acp. Vp) = a^i — p/ii , Y (xp + a, Vp -^ ?) — Y (xp, jp) = di, + '^g.

Le rapport '3 serait égal h fji -Y- ihi si l'on avait ^) = 'J2; il est égal, dan» tous les cas, à

j)uisque, en raiscm de la conlinuilc des fonctions [) x, y , h x, y , 71 et h\, '/■ et /tj diiVèrent aussi [)eu que l'on veut de 70 et lij, pourvu que a, j3 soient suffisamment petits en valeur absolue, il suffit de montrer que. dans les mêmes conditions, la valeur absolue de l'expression