I.NTIHMtK.TKlN A r. A TIU.Ol'.li; IlKS l-O.NC.TlO.NS

est iui>>i pelilc qu'on le veul ; or, c'est ce qui devient évidiMil en posant a = /' cos o), ^j = /• sin w, car on a alors

, -^ [h, " ^*;^) + ,f.(î/^ - S^') =1 (A, /,.) cos 0, + (</, - cj,) sin co I

^ V^li/V- ifif H- (/i2 - "/h?.

En résumé si l'on pose

■ F('-) = X (.r, V) -f. JY (.r. V). j\^ = 0 {X, y) + ih (x. j),

à chaque nombre positif £ l'aire coiresponLlra un nombe positif Yj tel que l'on ait

sous la condition

r,. C'est ce qu'on voulait établir.

INTEGRALES

383. — Désignons par E un ensemble qui seia soit un contiuuum proprement dit, soit un continuum complété par sa frontière. Soit y r une fonction de z déterminée et continue en chaque point de E ; soient a ei b deux points de (E ; joignons les par un arc de courbe G; contenu dans E et défini par la formule z = c- / -t- i'^{ij où la variable réelle t doit croître de a à I j ; 'y t , '} ' sont des fonctions continues de / dans l'intervalle (a, fj^ telles que les valeurs de z qui correspondent à / = a et à t =^ ^j soient a et //. Désignons par 7 it) et h l la partie réelle et le coefTicient de i de f[z pour r= s 1/1 -+- /'i>(/). Je suppose que l'intervalle a, jv) [)uisse être décomposé en un nombre fini d'intervalles partiels tels que, dans l'un quelconque de ces intervalles partiels, les fonctions ç>(<), ^(t) aient des dérivées continues et qui ne changent pas de signe. Le point [''■p{t), '\>{t)] parcourt la courbe de (C, de a à 6 ou de 6 à a suivant que t croît de a à fj, ou décroît de a à jj. On sait ce qu'on entend quand on dit qu'un point de (C; est entre deu.v autres points de cette courbe. Convenons, en nous plarant dans le cas de où / croît de a à ,>, de dire de deux points de

nivPiTHr. Ml. — iii;i',ivi;r.s i.r imi:»;ii vi.ks ."kj-

(C que l'un itrrccdc l'aulic s'il correspond à iino valeur do / plus |)elilc.

Parlaj^eons l'arc de courhc (1 , rpii va de a à b. en // arcs |)artiels. limilt'-s rcspectiveiuenl ;ui\ points k, r,, :„, ..., I> doiil chacun précède l'autre; il re\ieiit au même de dire rprentre a et f-j on a intercalé n — i nombres croissants /,, t,, ..., /„, auxquels correspondent les nombres r,, Tj,..., r„ ,. Considérons la sonmic

S = (-. - «)/(:.' + (-2 - -O/Ci' -+- •.. + (6 - --„ -,)/f^r.)

où Ci, Ci,..., Ç,. sont des points de la courbe C respectivement intermédiaires aux points n et -|, Ci et z-,,..., r„, cl />, pouvant d'ailleurs coïncider avec l'un ou l'autre des points entre lesquels ils doivent se trouver : on peut dire aussi que les valeurs -,, z>,..., -„ de la variable /, auxquels correspondent les points C,, t,,..., Ç„ appartiennent respectivement aux intervalles y., /, , 7,, /.,..., /„], ,'3 . Je vais établir la proposition suivante.

H existe un nombre I tel que la dilTérence I — S soit, en valeur absolue, moindre que tel nombre positif £ qu'on voudra, pourvu que la distance de deux points consécutifs dans la suite a, :^, :..,..., h soit moindre qu'un nombre positif convenablement choisi, d'a[)rès E ou, ce qui revient au même, pourvu que les inter- <y., /i , '7i, /.. ,..., (/„,, jv' soient suffisamment petits. C'est ce qu'on exprime brièvement en disant que S a pour limite I quand, les [)oints intermédiaires devenant infiniment nombreux, les distances respectives entre les [)oints consécutifs Icndcnl vers o. La somme S peut en elTet s'('crire

■) ?(/,) - -^(a)-H/[.HM -'M')] ! [o{--^) -t- 'M^i)] -f- ...

l.a partie réelle est égale à

[?('.) - ?K'] ^'(m) - ['H'.) -^'yy. Mm) + ... :

on prévrùt (pTelle est, ioisqiie les iiilervallos 7., I\ , l^, 1^ ,

./„,, [j sont suffisamment [lelils, très voisine de la qiiaiilid'

je vais montrer qu'elle s'en approche autant fpi'on le \eul, pourvu

.'^9^ I. NT KO DICTION A I.A TIIKOIUF. llKS FO.\"(,TIO.NS

que les inlervallcs parliels devieiincnl assez pelils. Je raisonnerai pour cela sur la somme

Supposons que ç (/) soit conlinue el ne change pas de signe dans l'intervalle a, fi}, en sorte que la l'onction o t soit, par cvemi)le, constamment croissante dans cet intervalle : l'équation o{t -=u, définira alors / comme une fonction continue */(<^, croissante dans l'intervalle ['^ a , ç: j3 ]. Désignons par »,,, Ui, lU,..., n„ et par Vt, •j2,..-.v„ les valeurs de ii qui correspondent aux valeurs a, /[, /:; — , [j et Ti, 7>,..., -, de la variable /; posons enfin (j\y u ] = y II); on pourra écrire

sous celte lormc. il est clair que ^ est aussi voisin que l'on veut de

f"".{u)du= f' g{l)o'{l)dl,

pour\u que les intervalles n„, ni, ('«,, u,),..., u„i, u,, ou, ce (jui revient au uiême en raison de la continuité, les intervalles a,/) , fi,l2 ,..-, /„!., 3 soient suffisamment i)elits ; il est à peine utile de dire que l'égalité entre les deux intégrales résulte de la règle relative au changement de variable sous le signe / . Si les conditions relatives à la fonction ç' 7 ne sont pas vérifiées pour l'intervalle a, |5), on décomposera cet intervalle en intervalles partiels tels qu'ils soient vérifiés par chacun d'eux. Dès lors, comme le même raisonnement s'appplique évidemment aux autres parties de S, la proposition est démontrée et l'on voit en outre que l'on a

On onq)loie, pour représenter la quantité T, les symboles

CUAl'lTllt: MJ. l»l.iilM;i;S m J.MEOlULliS 3(>9

le second est «lesliné à rappeler le rôle que joue la courbe C . l.a première notation est toute pareille à celle des inlcgrales délinies dans la théorie des fonctions d'une variable réelle ; mais il ne faut pas oublier qu'elle n'a de sens (jue si l'on a délini la courbe C) qui relie le point '/ au point b : on dit que l'intégrale est prise le long de celle courbe de a à // ; on la (jualilie souvent d'i/iler/rale curcilijnc : la courbe C . qui va de '/ à b est le clwiiiiii d'intci/ration. Lorsf|ue ce cbemin se réduit au vecteur qui va de <i à b, l'intégrale est dite rccliUrjiw. Les intégrales délinies de la théorie des variables réelles peuvent être regardées comme des intégrales rectilignes prises le long d'un vecteur situé sur l'axe réel. A ce même type peuvent être rattachées les e\[)ressions telles que

F (0 dt

où a, fj sont des nombres réels et où

F(/) = 'ï«(/) -+- iyi'{i)

en une l'onction imaginaire de la variable réelle / et où l'intégrale définie a. par définition, la même signification (|ue

'!>(/) di + t I ' «r /)(//,

les intégrales définies ayant le sens de la théorie des fonctions réelles de variables réelles. C'est à ce type qu'appartient l'expression même de I.

Si l'on considère l'intégrale

prise le long de la même courbe C , mais parcourue de b à a, c'est-à-dire la limite, sous des conditions que l'on a précisées plus haut, de la somme

qui est égale à — .^. en ro|trcnant les nr'tations antérieuics, il est clair que l'on aura

/jOO |\TI\t>|»rc.TI()N A I.A THKOniF. liKS lO.NC.TlONS

IMus généialenieiil, on peut ôcriie

Ja Jl> Je

en entendant que a, 6, c sont trois pointi^ sur une môme courbe, corrcspoiulanl au\ valeurs a, ^j, y du paramètre / qui définit chaque point de la courbe, et que les trois intégrales correspondent aux valeurs de / rpii vont de y. à ^'5, de ^'B à y, de y à a.

384. — La })roposition qui suit est une extension évidente du premier théorème de la moyenne :

Soit, en conservant les notations du précédent numéro, M la plus grande valeur de | / r | quand z est un point de la courbe C qui va de a à h. On a évidemment

S ^ M î 1 -1 — « I + 1 -2 - -I I ^ ••• + I ^ — r„, 1 ^ Mt on désignant par t la longueur de la courbe C . On en conclut

Cette inégalité subsiste a Jorliori si M est la borne supérieure de f'z dans l'ensemble ^E , ou un nombre plus grand.

385. — On a souvent à considérer des inlégraics j (/ r d: prises le long d'une courbe fermée sim[)le ; dans le présent numéro, lorsqu'il sera question d'une [)areille intégrale, il devra être entendu que la courbe est parcourue dans le sens direct, et c'est à ce sens de parcours que se rapporte l'intégrale.

Le lecteur est prié de se reporter aux n" 310 et 313 ; seulement les liens du tvpe .1 que l'on considérait alors devront maintenant être des courbes siuq)les, au sens que l'on a donné à ce mot.

Soit F) unecourbc fermée simple et C le continuum intérieur; je sup[)Ose la fonction g : continue dans le domaine (C -i- ^F). Décomposons ce domaine en deux autres C, ■+- F, , C^) + iFj) par une courbe simple qui joint deux points k^,, k, de F et qui, sauf ces deux points, est intérieure à C : (C,) et fC, sont les con-