CHAPITRE Ml. DÉIUVKES ET INTEGRALES /jOI

linuiims intérieurs aux courbes (F,), (Fj) ; on aura

j g{:)dz:=f çj{z)dz-i-Ç g{z)d:,

J^P) Ji^^i) ^(F.)

puisque, lorsqu'on parcourt (F,) et (F^) dans le sens direct on se trouve parcourir (F) dans le sens direct et, en outre, la courbe qui joint les lieux points k„ et K, deux fois, une fois dans un sens, une fois dans le sens opposé, en soilc que les parties des dcu\ intégrales du second membre qui correspondent à cette courbe se détruisent manifestement.

Plus généralement, en procédant par dichotomie, on peut décomposer le domaine (C) -H (¥) en m domaines (c,) -+- (/',), c„) -h (fi), .... (c,,,) H- (/„), OÙ (c,), (C2), ..., (cm) sont les continuums intérieurs aux courbes simples ('/,), (y,), ..., (/„,); on a alors

I 0{'^)^^-=i 0{^)dz^ g{z)dz-^-...-i- f g{z)dz.

Le lecteur ne peut manquer de reconnaître que ce qu'on a dit au n" 313 de l'ordre d'un point, par rapport à (F), (/",), ..., (/„,') s*api)lique maintenant aux intégrales.

La nolitjn d'intégrale prise entre des limites imaginaires et les théorrmes fondamentaux qui s'y rapportent sont dus à Cauchy. Jusqu'ici, on n'a su[)posé que la continuité sur la fonction qui ligure sous le signe / ; c'est en particularisant la nature de cette fonction, en supposant qu'elle a une dérivée, qu'on parviendra aux résultats les plus intéressants.