I.itiOilLClion à la TliéoriiS ilus fondions
402 l>rK01»LCTIi» A L\ TlIKOmE DES FONCTIONS
dautrcs conditions qui seront précisées, cette inlégialc ne dépend ([ue des points limites a et b. Pour le moment, je veux me borner à démontrer que, dans le cas où la fonction /(c) est, pour tous les points de lE \ la dérivée de la fonction F (r\ continue en tout point de i^E comme /^^-, on a
Si l'on pose en effet, comme au n" 380, on voit, en raison de la formule du n" 383
Ja JoL Jx
et des formules, établies au n" 380,
W'{l)^h{t)'^'{t)+g{t)'y{l), que l'on a
f{z)dz= ^'{i)dt+i yv'{t)di=^^)-<i>{^)+i[w{^) — w{^)
a Jx Jx
Dans ces conditions, l'intégrale ne dépend évidemment que despoinls a, b ; elle est nulle en particulier si. les points a, b coïncidant, la courbe C^ est fermée.
Réciproquement, si la fonction / ~) est continue en tout point d'un continuum (E) et si, quels que soient les points a, z de ce
continuum, l'intégrale curvilio^ne
ne déj)end pas de la courbe X) qui relie le point « au point // [sans sortir de (EJ, cette intégrale définira dans l'ensemble une ionction de c dont la dérivée, en chaque point c du continuum, sera égale à f z..
r.iiAriTUi: \ii.
iiritivKKS i:t i.\ii;(;h\i.Es
fio'6
Considérons en ellel un point Zq du conlinuuin ; en vertu de la continuité, on peut faire correspondre au nonilirc positif c, si petit qu'il soit, un nombre positif y; tel, d'une part, que tous les points r qui satisfont à la condition \ z — ^o \ <C'C appartiennent au cr»ntinuum et, d'autre part, que l'on ait. sous cette dernière condition.
Soit maintenant r, un point qui satisfait à la condition I r, — ~o I <C "/; ; il f'iul montrer que l'on a
les intégrales curvilignes sont définies au moyen de courbes quelconques situées dans le continuum et reliant le point a aux points Tq et Ji ; puisque, par bvpothèse, ces intégrales ne dépendent pas de ces courbes, rien n'empècbe de supposer que la courbe qui relie a à r, est formée, d'une part, de la courbe qui relie a à Cq et, d'autre part, du vecteur qui va de ^o à -,, lequel est entièrement contenu dans le continuum ; le numérateur de la fraction dont il faut obtenir la limite est alors égal à l'intégrale
prise le long du vecteur considéré ; celle-ci peut s'écrire
la première intégrale est égale à z, — ^o)f\~o) î quant à la seconde elle est moindre en valeur absolue que | r, — r^ [ c ; on a donc
)dz
sous la condition montrée.
-0 I < "/y î 's [)roj)0sitiûn énoncée est dé-
'|Oj INTRODUCTION A KV TlIKOKIE DES FONCTIONS
Le thcorèmo dont on vient (rétablir la réciproque, permet d'obtenir sans difilcullé la valeur de l'intL-grale curviligne
Cm
quand on connaît une fonction primitive F ^r de/[z) ; mais il ne faut pas oublier que la courbe d'intégration doit appartenir à l'ensemble E).
387. — Il n'y a aucune difiicullé si la fonction f[^z) est une fonction entière, transcendante ou non ; il en sera de même de la fonction F (2: . Il n'y aura pas non plus de difficulté si la fonction ¥ : [et par conséquent la fonction/ ;] est une fonction méromorphe ; la courbe qui va de a à b est seulement assujettie à ne passer par aucun des pôles de la fonction /(c;, qui sont aussi les pôles de la fonction F (2:) ; ainsi on pourra écrire
''• dz
'1' J „.„2- = tg6 tga.
pourvu que la courbe d'intégration ne passe pas, dans le premier cas, par le point r,, et, dans le second, par un des points (2n-hi) •
Considérons maintenant l'intégrale
'dz
Il faut, tout d'abord, que la courbe d'intégration ne passe pas par le point o. Si, maintenant, cette courbe est intérieure à un domaine simple, ne contenant pas le point o, 011 l'on a défini log^ comme une fonction continue de c, on aura
~ = les b — loga.
La partie réelle du second membre est le logarithme naturel du
ciiAPirnE xir
i>i:rivi:es et i.ntkghales
/io5
rapporl ; le coclficlenl de / csl l'angle dont le premier cùlc va
tlu point (» au point a, dont le second côté va du point o au point h, angle défini au moyen d'un lien qui va de d h b sans soitir du domaine.
On peut aussi se servir de la définition du logarithme principa de r au moyen de la coupure cpii va sur l'axe négatif, de o à — ce . On su[)pose essentiellement que la courbe d'intégration ne passe pas par le point o; si, en outre, elle ne traverse pas la coupure, on aura
= Jg^ — Ig^-
Supposons maintenant que la courbe d'intégration traverse la coupure une seule fois, par exemple de bas en haut, comme dans la figure : désignons par m, m' les deux points, confondus en
réalité, situés l'un sur le bord inférieur, l'autre sur le bord supérieur où la courbe traverse la coupure ; on pourra écrire
= Is m — la; rt -H le 6 — Is ni'
= \gh
Iga — 2Td .
ainsi qu'il résulte des explications données au n" 366 ; si la coupure était traversée une seule fois, de liaut en bas, on aurait au contraire
- = Ig 6 — Ig a -h 271» ;
'ioG i>Tn(»i>r(:Ti()>' v i,a TiiiioRiF. des fomctios
d'une façon générale, si le chemin d'intégration traverse la coupure Il fois do bas en liant et /) fois de haut en bas, on aura
'; =\gh — ïga-^2{p~ n)T.i;
on voit que toutes les valeurs que peut acquérir le premier membre dilTèrent entre elles de multiples de 2 r.i. En particulier, on aura
dz , = ls.r
m étant un nombre entier dont la valeur dépend du nombre de fois que le chemin d'intégration traverse la coupure : m est nul quand le chemin ne traverse pas la coupure.
Considérons encore l'intégrale
r dz
JiC] -
prise le long d'une courbe fermée simple C . Cette intégrale sera nulle si le point o est extérieur à la courbe C ; elle sera au contraire égale à 2-/ ou à — 2 -/' suivant que la courbe C , regardée comme le contour de la région du plan qui lui est intérieur, est parcourue dans le sens direct ou dans le sens indirect. Ces résultats que le lecteur reconnaîtra sans peine, dans toute leur généralité, en se reportant à ce qu'on a dit sur la définition du logarithme au moyen d'un angle, apparaissent immédiatement, sur la ligure, lorsque la courbe C ne traverse pas la coupure, ou la traverse une fois, le point o lui étant intérieur. Le cas d'une intéo-rale de la forme
se ramène au précédent par un changement de variable insignifiant ; on n'aura pas de peine à calculer la valeur de cette intégrale le long d'un chemin donné quelconque ne passant pas par le pôle a.
IIIAPITlii: Ml.
IiKHI VICES KT I.VTIX RALES
La mélhodc de décomposition en fractions simples permettra ensuite de calculer la valeur d'une intégrale du tyjie
R {z)dz
où U [:• est une fonction rationnnelle et où le chemin d'intégration ne passe par aucun des [)ùles de cette fonction.
388. — Celte méthode s'appliquera en particulier à l'intégrale
mais on peut aussi se servir de la fonction arc tg r telle qu'on l'a définie n" 371 ) au moyen de deux coupures allant sur l'axe imaginaire, l'une du point / à l'infini vers le haut, l'autre du point — i à l'infini vers le bas. Je rappelle que la partie réelle de cette fonction est toujours comprise entre
— et + 3 2
Si le chemin d'intégration qui, bien entendu, ne doit jamais passer ni par le point / ni par le point — /, ne traverse aucune des coupures, on aura
= arc Is. I> — arc tsr a.
Fig. 46.
Supposons que le chemin d'intégration, par exemple, traverse de droite à gauche, de m vers m', la coupure du bas, puis de gauche à droite, de //' vers n. la coupure du haut ; les points ni, m' d'autre part, n' et n de l'autre ne sont distincts que parce qu'ils appartiennent à des bords opposés; on aura
= arc Ig III — arc Ig a -i- arc tg 11' — arc tg m' -\- arc tg b
arc tg n
4o8 l.\TROr»lf.TI0>' A LA THEORIE DES FONCTIONS
et. d'ailleurs,
arc Ig m — arc tg m' = -, arc tg n' — arc tg n ^^ — on a donc finalement
are tg 6 — arc tg a.
D'une façon générale, on aura
J^ ,^:p^-arctga- + ...
n étant un entier qui représente la dilTércnce entre le nombre de lois 011 les coupures sont traversées de droite à gauche et le nombre de fois où elles sont traversées de gauche à droite. Bien entendu le chemin d'intégration ne doit passer ni par le point /, ni par le point — i.
