Considérons maintenant l'intégrale

dz

011 le chemin d'intégration ne doit passer ni par le point i ni par le point — I. Cet exemple diffère des précédents en ce que la valeur de la quantité v' i — c- qui figure sous le signe / a besoin d'être définie pour que l'intégrale ait un sens : on la définit au moyen du chemin d'intégration ; on le fait en attribuant à la fonction v'i — :^ une valeur déterminée en un des points du chemin d'intégration, à l'origine a de ce chemin, par exemple, et en lui imposant la condition d'être continue le long du chemin. Pour éviter toute confusion je représenterai par y/i — :^) la détermination du radical ainsi précisée et l'intégrale définie par

la iiT^J)

Considérons comme aux n" 341 et 372 les deux coupures qui \ont, le long de l'axe réel de i à h- ce et de — i à — oo et adop-

iiiAi'iTiu-. \ii. — i»i:iiivi;ks kt inticcisaiks ^09

Ions pour V I — <(' Ii< ^alellr de la laciiic carrée [)uiir laquelle la parlie réelle est positive, si le point a n'est pas sur une cou[)urc et, si (i est sur le bord de l'une des coupures, la valeur précisée d'après les règles du n" 341. Les fonctions v''i — z^, arc sin z ont été définies aux n"" 341, 372 dans tout le plan et sur les bords des coupures, à l'exception, pour la seconde, des points -h i et — i ; elles sont continues ilans le [)lan coupé, au sens qui a été expliqué; la jiremière est continue et, au [)oint (/ prend la valeur prescrite

pour \ I — n- : la dérivée de la seconde est , où y^i — c- a

la signification que l'on a dite. Si, par conséquent, le cbemin d'intégration ne traverse pas de coupure, on a tout le long du chemin d'intégration (v'i — z-] = \'i — z~ et, par suite,

fa

dz

, , — = arc s Ml 0 — arc sin a.

Supposons maintenant que le chemin d'intégration traverse, par exemple, la coupure de gauche de bas en haut, de m vers ni' ; les deux points m et m' ne sont distincts que parce qu'ils appartiennent à des bords distincts ; le long du chemin d'intégration on a, de a à m,

mais de m à b on aura 341

on aura donc

r^ dz ^ r dz r^ dz ^ r dz r^ dz

Ja v/l —Z- Jm- v/l — Z-

= arc sin m — arc sin a — arc sin b -h arc sin m ; mais on a

arc sin m -+- arc sin ni' = — -

on aura donc finalement »6

f dz

= — - — arc sin a — arc sin /'.

^lO l>TnOl)lT.TI().N A I.A TI[K<»RIE DES FONCTIONS

D'une l'acon plus génciale. si le chemin d'intégration traverse une coupure et une seule, de haut en bas ou de bas en haut, on aura

I — - = zn - — arc sui a — arc sin h,

Ja (V/I - Z')

en prenant le signe -h ou le signe — suivant que la coupure traversée est la coupure de droite ou la coupure de gauche.

Supposons maintenant qu'il y ait deux traversées et deux seulement : si l'on traverse deux fois la même coupure on aura

=r arc sin b — arc sin a ;

si l'on traverse deux coupures différentes on aura »6 ,

« (Vi — z')

= arc sin b

en prenant le signe -h ou le signe — suivant que la première coupure traversée est la coupure de droite ou celle de gauche.

Le lecteur n'aura aucune peine à reconnaître quels chemins d'intégration il convient d'adopter pour l'intégrale

r dz

Jo (v/l^

où l'on suppose que Vi — :^) est égal à i pour r = o, afin d'obtenir les diverses valeurs comprises dans les formules

(an H- i)- — arc sin x, 2 n- -h arc sin x,

valeurs qui sont les diverses solutions de l'équation en y

sin }' = X.

390. — Considérons un ensemble parfait E) ; supposons que les fonctions fn{~)t {n=^ i, 2, 3, ... soient continues dans cet ensemble, que la série

t.llVPITIlK Ml. IIKUIVKIS KT I.NTK<;RALES '| I I

V soit unifoimi'nient convergente et que la courbe C définie par les Ibnnules

y soit contenue; je désignerai [tar V : la somme de la série, par S,i r la somme de ses n premiers termes et par K„ r le reste correspondant.

Les fonctions f„z , F r , R/i(2} deviennent des fonctions de la variable réelle /, continues dans l'intervalle a, 3) quand on y remplace r par 'v / H- i'ii t .

En désignant par a et 6 les points de la courbe (C qui correspondent aux valeurs a, fj du paramètre, et en supposant toutes les intégrales prises le long de la courbe G , on a

F{z)dz =-- f,{:)d: + /,{:) + ... -f- /,.(:) ^ ....

a Ja J (X Ja

Soit en effet £ un nombre positif quelconque; à ce nombre correspond un entier /> tel que l'on ait |Rn!?;| <C -> pour tous les points de E et, par conséquent pour tous les points de C\ sous la condition « > p- On a d'ailleurs

\\z)dz= S,.(:)(/:^ R„(::c/r.

a Ja Ja

et par conséquent, sous la condition n ^ p,

Jr^b "'b nb r'b

F{z)dz - f,{z)dz - f,{z dz - ... - M^)dz a Ja Ja Ja

= ^n{z)dl

Ja

en dé'signant par 7 la longueur de la courbe C . La proposition est démontrée, puisque i peut être pris ausssi petit qu'on le veut. Un cas qui se présente assez fréquenmient est celui où il y a une série convergente à termes positifs ou nuls

(») aj + a^ -+- ... H-2„ + ...

;|I2 I.NTIIOIHT.TION A l.A THEOIMF, DES FONCTIO>S

\As que l'on ait. pouf toutes les valeurs naturelles de n et pour tous les points de E,

la série [/) est alors absolument et uniformément convergente et son reste est en valeur absolue, moindre que le reste correspondant de la série a n 183 .

Supposons par exemple que la série entière en •

F (2) =ao -\- a,: -+- ... -f- a„z" -+- ...

soit absolument convergente pour r = A, A étant un nombre positif qui sera inférieur ou égal au rayon de convergence de la série ; il en sera de même de la série

1^(2) °0 «1 , «/i-Ii , On

H- a„a-i H- an+iZ + ...

Prenons pour l'ensemble (E) et pour la courbe (C) le cercle de centre o et de rayon A; on supposera ce cercle décrit dans le sens direct. Le théorème relatif à l'intégration s'applique évidemment, en vertu delà remarque qu'on vient de faire; les intégrales des différents termes du second membre, prises le long du cercle (C ) sont toutes nulles, sauf l'intégrale

^dz

qui est égal à 2 zia,,, comme on la vu au n" 385. On a donc

Soit M la borne supérieure de la valeur absolue de F !'z) pour les points z situés sur le cercle C, ou un nombre plus grand ; la

valeur absolue de ~^l sera inférieure ou égale à ç^^^ . la longueur de cercle est 2 -A ; on a donc

niAPiTni: \ii. — in'nivi';r,s f.t inthchales /ii3

Il ronvienl de ia[)[)ro(lier celte iinpoilanlc inégalité de la proposailion, due à Abcl, en \('rtu de laquelle la série F c^ est convergente pour j r I <C A' si l'on a, quelque soit n,

en désignant par A' et M' des nombres positifs fixes 'n" 342). L'inégalité •> met en évidence la proposition suivante : Lue (onction entière i transcendante ou non ne peut être bornée dans tout le plan sans se réduire à une constante :

Supposons en elTet que la série F z soit convergente, quel que soit c ; on pourra alors prendre A aussi grand qu'on le veut: si la somme F (c) de cette série devait rester, quel que fût -, inférieure en valeur absolue à un nombre positif fixe, on pourrait prendre ce nombre pour M et l'inégalité a montrerait que |an', lorsque n est plus grand que o, peut être supposé aussi petit qu'on veut. Tous les coefficients de la série fj sont donc nuls, sauf ay.

391. — Il est bien clair, d'après la définition du n° 383, qu'une

intégrale

dépend en général du chemin d'intégration ; toutefois on a vu, dès le numéro suivant, que si la fonclion f'zj est la dérivée d'une fonction ¥(z , dans un continuum E complété ou non par sa frontière auquel appartient le chemin d'intégration, on a

' f{z)dz=V{h)-F{a),

en sorte que le premier mendjre est indépendant du chemin d'intégration, pourvu que ce chemin reste dans E . Dans les exemples traités ensuite et qui concernent les intégrales

on remarque (juc l'ensemble (E peut être conslilué i)ar un do-

.'i 1 I i.NTuonrr.TiON a la tueouik mes fo.>t,tio>s

niaine simple ne contenant pas, suivant les cas, le point o, l'un ou l'autre des points ± /, l'un ou l'autre des points ± i.

On peut se demander si, une fonction/ ^ étant donnée, on peut lui attacher ainsi un ensemble E tel que l'intégrale

ne dépende pas du cliomin dintégration qui relie a à b.

Considérons deux chemins allant de d à h tels que les valeurs correspondantes de l'intégrale soient égales ; il est clair que la valeur de lintégrale prise le long du premier chemin de a k b, augmentée de la valeur de l'intégrale prise le long du second chemin, parcouru de 6 à a, donnera un résultat nul; réciproquement, s'il en est ainsi, les deux intégrales prises de a à 6 sont égales ; le problème posé revient donc à la détermination d'un ensemble Ej telle que l'intégrale I f[z dz prise le long d'une courbe fermée appartenant à E soit toujours nulle. Un théorème capital, dû à Cauchy, répond à celte question. Il fera l'objet des n" 392, 393. 394.

392. — Soient D un domaine simple et C la courbe fermée simple qui en est la frontière. Soit/ c) une fonction de z admettant une dérivée/' c pour chaque point r de D . L'intégrale

JiC)

qui est prise le long de la courbe 'C], est nulle.

Sauf avis contraire, dans le présent numéro et les suivants, je supposerai, sur les intégrales de cette sorte, que les courbes fermées simples auxquelles elles se rapportent sont décrites dans le sens direct.

Soit a un point quelconque de D ; la fonction

fi-) -m

définie, tant que z est un point de D, différant de a, a pour limite /'(a; quand r s'apro:hc de a en restant dans D ;

(.iiAi'iTKi: XII. — iii:itivi;i:.s F/r intkiîuales [\i.>

Considi'rons la fonclion

si nous lui attribuons la valeur o pour r rr= a, elle sera définie pour toutes les valeurs de z et de a qui appartiennent à (D ; considérée comme une fonction de :, elle est continue dans ce domaine.

On a d'ailleurs

et, par suite,

J(C, Je

la première intégrale du second meuibre est évidemment nulle, puisque c'est la dilTc ronce des valeurs que prend le polynôme en z

pour deux valeurs égales de z; tout revient donc à l'étude de l'in-

tégrale

J(Ci

on pourra profiter, pour cela, de l'indétermination du point a qui est seulement assujetti à faire partie du domaine iD). Observons en passant que la valeur absolue du produit 0 .'z, a) [z — a) qui figure sous la signe / peut être petite en raison de la petitesse en valeur absolue soit du premier facteur, soit du second et que, si tous les [)oints z de ^C) sont très voisins de <i, en sorte que :; — a soit très [)etit, en valeur al)soluc, pour tous ces points, il en sera de môme de O'z, a), puisque la l'onction 0 z, <i est continue pour z = a cl que l'on a 0 a, a) = o.

/jl(> INTROIUr.TION A LA TlIKOlilE I>i:S FO>r.TIO.\S