Pour élablir fine rinlôgialc

fji^)^^

est nulle, le procédé consiste à décomposer ce domaine f D , dont la courbe (G) est la IVontirre, en deux ou plusieurs autres domaines simples; Tinlégrale pro[)osée est la somme d'intégrales analogues relatives aux frontières du domaine partiel '^n° 384 . Cela permet d'abord de simplifier un peu le problème : Si l'on parvient à une décomposition dans laquelle les intégrales relatives aux contours du domaine partiel soient nulles, on aura évidemment démontré que l'intégrale proposée est nulle.

On a vu au n" 314 comment en introduisant des segments de droites parallèles à l'axe des ordonnées, on pouvait eiFectuer une série de décompositions qui finissait par aboutir à ces figures que l'on a appelées alors des trapèzes ; je conserverai cette dénomination ; Il est bien clair d'après cela que la proposition à démontrer sera elTeclIvement démontrée si on l'établit quand le domaine D est un trapèze. Ce trapèze peut être décomposé lui-même en tra[)èzes soit par des parallèles à l'axe des ordonnées, soit par des parallèles à l'axe des abscisses. Le lecteur ne peut manquer de reconnaître qu'il suffit de démontrer la proposition dans le cas d'un trapèze tel que la figure AA'B'B où les deux côtés AA', BB' sont parallèles à l'axe des ordonnées, oii le côté AB est parallèle à l'axe des abscisses, où enfin le côté A'B' est un arc élémentaire in" 320) dans le({uel l ordonnée reste constante, ou bien varie toujours dans le même sens quand l'abscisse augmente ; je m'occuperai d'abord du premier cas, dans lequel le domaine (D est un rectangle i R dont les côtés sont parallèles aux axes.

Le mode de démonstration va consister à décomposer le rectangle ' R; en rectangles plus petits par des parallèles aux axes et de démontrer que la somme des intégrales I f z dz effectuée pour le contour de cbacun des petits rectangles, somme qui est égale à l'intégrale prise le long du contour de R , peut être rendue

• HAÏTI m. \ii. — iii:iiivi;i:s kt i.mi:<;iiam:s '\\-

aiissi pclile (ni\>ii le \eiiL D'ailleurs aiiv intégrales / f - d:,

pour ciiaque rcclangio parliel, ou siihsliliicra n" 392 une inlé- ^'rale du type

e (:, n) {: - ai d:,

OÙ a est un point appartenant au rectangle partiel, choisi afin de rendre très petite l'iiitégraie considérée.

On va montrer en elVet que, si l'on se donne un nombre positif £ arbitrairement pelit, on peut décomposer R en rectangles partiels de sorte qui! y ait, pour cliaiun d'eux, un point a bii appartenant et tel qu on ait pour cha((ue point ; du contour,

Pour abréger le langage, je dirai d'un rectangle /• dont tous les points appartiennent à R qu'il est du type S s s'il y a un point a appartenant à ce rectangle r et tel que l'inégalité précédente soit vérifiée pour tous les points de son contour ; s'il n'existe pas de tel point a, je dirai au contraire du rectangle /' qu'il est du type T ;) : dans ce dernier cas, quel que soit le point a appartenant au rectangle r , il y a, sur le contour de ce rectangle, au moins un point : [)our lequel on a J 5 r, a^ \ >> £.

Si (R n'est pas lui-même du type Sic\ décomposons-le eu quatre rectangles par des parallèles à ses côtés menés par le centre. — Dans la suite, quand on parlera de la décomposition d'un rectangle en quatre, on supposera la décomposition eficctuéc de celte mèmefa<7on. — dette premièie décomposition etTectuée, si, parmi les rectangles partiels, il y en a qui soient du l\pc S - , on les laissera de côté, pour n y plus toucher: les autres rectangles |)arliels sont du type T i ; désignons par K, l'ensemble des points qui leur appartiennent et sup[)Osons qu'on décompose chacun d'eux en fpiatre. Si, parmi les nouveaux rectangles partiels, il \ en a qui soient du type S £ , on les laissera de côté, pour n'v plus toucher; les autres nouveaux rectangles partiels sont du type T £ ; désignons i)ar l\,, l'ensemble des points qui leur a[)|»arlienuenl et supposons qu'on décompose chacun d'eux en quatre. Si, parmi les nouveaux rectangles partiels, il y en a qui soient du type S £ ,

Ta5.hkhï II. — Inlroduclion à la Théorie des fondions -27

'|lS |\ I Itnm (.ri(i\ A I \ TlIKOlilK l»r.S l n.NCÏKt.NS

on les laissera de cùlé. pour ii \ plus IoiuIkm ; les aulies nouveaux rectangles partiels sont ilu Ivpe T s ; désignons par U., Tensembledos points qui leur appartiennent, etc..

L'ensend)le parlait H, est IVirnié par la réunion do rectangles égaux, dont les cotés sont les moitiés des côtés du rectangle Kj. ... L'ensemble parfiiit R„ est lormé pnv la réunion de rectangles dont les côtés s'obtiennent en divisant par u" les côtés du rectangle (R\ Cbaque point de R») appartient à l'un de ces petits rectangles.

Mon but est d'établir que les opérations se terminent, qu'au bout d'un nombre fini de décompositions, il ne restera plus que des rectangles du type S £ , à savoir ces rectangles, en général inégaux, qu'on a laissés de côté à cbaque opéiation ; il faut prouver que leur ensemble finit par recouvrir U tout entier.

Supposons, en etîet, pour j)arvenir à une contradiction, que les opérations ne se terminent pas, qu'il y ait toujours des rectangles du type T(c'), quelque loin que l'on pousse les décompositions. Alors la suite d'ensembles parfaits

sera infinie : cbacun de ces ensembles est contenu dans ceux qui le précèdent : il v a donc n"' 156, 283 au moins un point k qui appartient à tous ces ensembles. Ce point A', d'après ce qu'on vient de dire, appartient à un rectangle ; /■ , du type T £;, dont les dimensions peuvent être supposées aussi petites qu'on le veut, en sorte que l'on a pour f|Uolque priint r du contour tie ce rectangle

mais, en vertu de la continuité de la tbnction 0{z, k) au point k, i>n peut au nombre £ faire correspondre un nombre positif-/; tel que l'on ait

pourvu que r appartienne à R et que la distance des deux points c et A soit moindre que y; : or il y a évidemment contradiction entre les deux inégalités précédentes si les dimensions du rectangle r sont assez petites pour que la distance de deux points quelconques de ce rectangle soit moindre que y;.

illM-mtl. \ll. liKISIVKKS F.T IM Kt.lSAI.KS 4 1 *)

La proposiliun est donc dénionln'-o ' .

Supposons donc eUectuée la décomposition de U en m rectangles du type S c . comme on l'a ex|)liqué; tous ces rectangles sont semblables et l'on peut, en désignant par /> et fj les côtés du rectangle iR}, représenter par //*, /y les cotés de l'un quelconque ^r des rectangles partiels ; on aura, en choisissant, parmi les |)oints qui appartiennent à /' le point a de manière que l'on ait

pour tous le» points r du contour de /• , et en supposant que l'intégrale soit prise le long de ce contour

puisque 2). p -r- tj est la longueur du chemin d'inti'gration et que la plus grande distance de deux points du rectangle est évidemment V p- -+- q^ ; le second membre de l'inégalité précédente, en posant pour abréger,

est manifestement égal au produit par mi de l'aire du rectangle r : la somme des intégrales

(i{:,a){:-a)dz

relatives aux difTérenls rectangles partiels qui figurent dans la décomposition sera donc moindre, en valeur absolue, que le i)roduit par mi de l'aire p<i du rectangle K : on auia donc (inalement

(i) u n'est peut-être pas inutile il'oliscrvcr qu'on aurait pu commencer par décomposer le rectangle 'R en rectangles de dimensions aussi petites qu'on voudrait, puis traiter ceux des rectangles partiels qui sontJutype T(î comme on a fait le rectangle (R). l'ar conséquent on peut décomposer le rectangle (Rj on un nomljre fini de rectangles du Ivpe S î , et de dimensions aussi petites qu'on le xeut.

IMlKlhlC.TlON A l.V TlIKitlUK ItKS 1().\(. I litNS

l'intégrale ôlani prise niainlcnaiU le long dn conlonr du roclangle (R : comme le second membre peul être suppose aussi petit qu'on le veut, on a linalement

11 reste à démontrer la proposition quand le domaine D est un trapèze tel que ABB'A' dans lequel le côté AB est parallèle à l'axe des abscisses et les côtés AA', BB' parallèles à Taxe des ordonnées, dans lequel enfin V'B' est un arc élémentaire de courbe ; je supposerai que, pour cet arc, l'ordonnée croisse en même temps tpic l'abscisse. En menant par le [)oint le plus bas A une parallèle à l'axe des ordonnées jusqu'à la rencontre en j'î avec le côté BB', on décompose le Irapè/e en un rectangle AA'j'^B et une sorte de triangle A B 1^ ; l'intégrale prise le long du trapèze est égale à la somme de l'intégrale prise le long du rectangle, qui est nulle, et de l'intégrale prise le long du triangle ; tout revient donc à démontrer que cette dernière intégrale est nulle. Pour cela je lèrai subir au triangle une opération que je désignerai sous le nom de réduction à deux triangles ; elle consiste à mener d'abord par le milieu C du côté A'B

une parallèle CC' à l'axe des ordonnées, jus- Fîg. 5o. ,/ ., , , "^

qu'à la courbe, de manière à décomposer le

triangle en un triangle plus petit A'CC et en un trapèze C.vB'C , que l'on décompose, comme on a fait pour le trapèze primitif en un rectangle Ci^yC et un triangle C'yB' ; l'intégrale prise le loTig du triangle A'^^B est égale à la somme des intégrales prises le longdès triangles A'CC. C'yB' : c'est la substitution de ces deux triangles au triangle A j'iB' que je désigne sous le nom de réduction de ce dernier triangle. On [)rocèdera ensuite comme on a fait pour le rectangle. On dira d'un triangle qu'il est du type S 's ou du ty[)e T c suivant qu'il existera, ou non, un [)oint a intérieur au triangle ou situé sur l'un de ses côtés tel que l'on ait pour tous les points z du contour du triangle

cii.U'Ukk xii. — iikiuvkks i:t i.mixiialrs /|2i

et l'on inonlrcra (ju'on paiNieiit, au inoven d'un nombre lini de réductions, à une suite de triangles qui sont tous ilu lv[)e Se ; pour cliaciin de c(^s triangles la dislancc des points z et a resie inférieure à la dislancc maximum /de deux pointsdu tiiangle A'fbW ; la souuue des [)érimètres des triangles auxquels on aboutit est égale au périmètre L du triangle X'^iW ; on en conclut que la somme des intégrales

elTecluées le long des divers triangles ou, ce qui revient au même,

l'intégrale

ell'ectuée le long du trapèze primitif, est inférieure ou égale en valeur absolue à ILi. Il en résulte qu'elle est nulle. Le théorème de Caucliy est entièrement démontré.

La démonstration précédente, qui est due à M. Goursat, est très intéressante en ce qu'elle ne fait intervenir aucune autre hypothèse relative à la fonction f : . que l'existence de sa dérivée en tout point du domaine sim[)le D. Celte hypothèse interviendra donc seule dans les conséquences immédiates du théorème de Cauchy : parmi ces conséquences voni figurer l'existence et la conliniiité de toutes les dérivées, puis la régularité d^ la fonction, en tout point iiilérieiir au domaine D : ces alïirmalions suffisent à faire prévoir le caractère fondamental du théorème, qui joue vraiment le lole d'un principe. Avant d'établir ces conséquences, il convient d'exposer une généralisation du théorème, qui est immédiate.

394. — Au lieu d'un domaine simple, considérons un domaine n -+- I fois connexe que nous continuerons de désigner par D) : je suppose n" 312 qu'il soit l'ensendde des [)oints qui appartiennent à une courbe fermée simple (F , de ceux qui appartiennent à n courbes fermées simples T' , (F" , ..., [F*"'| intérieures à (F), et extérieures deux à deux les unes aux autres, enfin des points extérieurs à ces dernières courbes et intérieurs à V \ désignons par H) l'ensendjlc des n -+- i courbes qui constituent la Iron-

^22 IMIKUH i;ilO> A LA TlIKOltlK MES lO.NCTlONS

lière du doiuaiue ; je rappelle (jue la lionlière 11 est parcourue dans le sens direct quand la courbe (F est parcourue dans le sens direct et les courbes (F'), F , ..., [F*"'J dans le sens indirect.

Soit maintenant/ z une fonction de la \ariable r qui admette une dérivée en tout point du domaine D , 1 intégrale

f{z) dz (H

prise le lonj4 du contour \\ décrit dans le sens direct, c'est-àdire la différence entre l'intégrale l f z) dz prise le long de la courbe F^ décrite dans le sens direct et les sommes des intégrales ff{~ '^- prises le long des courbes (F'}, ;'F" , ..., [F*"'] décrites

dans le sens direct, est nulle.

Il sul'lit, pour le voir, de décomposer^ comme au n" 312, le domaine D en deux domaines simples au moyen de n h- i courbes simples, d'appliquer le théorème précédemment démontré aux contours de ces deux domaines simples et d'ajouter les résultats obtenus ; dans la somme nulle d'intégrales que l'on obtient ainsi, les parties relatives aux n -\- i courbes simples que l'on a introduites se détruisent et il reste l'intégrale

qui, par conséquent, est nulle.

395 — Considérons, en conservant les mêmes notations, une fonction /(r qui admette une dérivée dans le domaine D\ simplement ou plusieurs fois connexe, dont la frontière est H ; soitic un point intérieur à ce domaine, on aura

oii il est entendu que la frontière H doit être décrite dans le sens direct.

Décrivons en effet un cercle y du point x comme centre avec un rayon /• assez petit pour que le cercle soit tout entier intériem- à

<:I1AI'ITUK Ml. l>i;iUVI.i:s l.r I.MT.tilîAI.KS

D ; tlcsigiions iKir D' le domaine oblenu lmi i^uppiimanl de L) les points intérieurs à y : la l'rontière H' de iD' se cum[iuse do la IVontiric II de D et du ceicle y ; il est claii- ([iie la foiiclion

^ admet une dcrivée

f{z) {z-x) -f{z) eu tout point de L) ; l'intéyrale

H' 2 — ^ c>t donc nulle ; cela revient à dire cpie l'on a

l'intégrale du |)remiei- membre étant relative au cercle {'/) décrit dans le sens direct ; on a d'ailleurs

La première intégrale qui ligure dans le second membre est égale à -.i ~i fix n" 387 ; quant à la deuxième, sa valeur absolue peut être supposée aussi petite qu'on le voudra, à condition de prendre le rayon /• assez petit; ayant, en elïet, d'abord cboisi un nombre positif a, on lui fera correspondre un nombre positif a' moindre que la distance du point x à la frontière 1 11 et tel que l'on ait

sous la condition ' r — x \ <C y- , et l'on sup|)Oscra /' inférieur à a ; on aura alors

et, par snile n 334

/ J^-\—-[ •'■) dz < 3 -/•[-/ -H '-(''.L-'] :

|3 I IMIiolU ( TIO.N A I.A TlIKiMUK l>RS FONCTIONS

i>r. le second inoiiibre peut être suppose aussi petit qu'on le veut ; la seconde intégrale du second mennbre de l'égalité (3) est donc nulle et l'on a (inalen^.ent

d'où résulte immédiatement l'égalité ; i .

Cette égalité constitue un très puissant instrument de démonstration ; on va l'utiliser pour établir d'importants développements en série.

396. — Considérons deux cercles concentriques c et (C) dont le centre comnum est le point «, dont les rayons sont /• et R ,^R >> r). Désignons [)ar (D le domaine, ensemble des points qui appartiennent à l'un ou l'autre dss cercles ou qui sont intérieurs au plus grand, extérieurs au plus petit. Soit /' r une l'onction admettant une dérivée en chaque point de ce domaine; soit enfin X un point intérieur à ce domaine. On aura, par le théorème du numéro précédent,

f{z)dz

les deux cercles étant décrits dans le sens direct.

Dans ce qui suit, le point x sera regardé comme fixe. Puisque ce point est intérieur au cercle X , extérieur au cercle c , la distance \z — a\ du point r au centre a est supérieure ou inférieure à la distance \x — aj suivant que le point r est situé sur le grand cercle ou sur le petit.

On pourra écrire, suivant qu'on est dans un cas ou l'autre,

z^Tr ^ {: — a) — {x —li) ~ T^^a ^ (7-^ '^••" ~^(-^^j"^'^ •"•'

— I 1 r - — a (z — aY

les séries qui figurent dans les seconds mendjrcs, et dont les termes sont des fonctions de r, sont absolument et uniformément convergentes, la première sur le cercle (C), la seconde sur le

IIIIAI'ITKK XII. liKlîlVKKS Kl' IMi:(;i! VI.I'.S ]•>.:)

cercle c ; il en est de même des séries ohlemies en muUii)liaiit chaque terme [)ar/(ri ; on [)eul donc appliquer la règle du n" 390 relative à l'intégration, et écrire, en vcrlu do la formule (i)

Ainsi, sous les conditions énoncées, la fonction f[x) est la somme de deuv séries procédant l'une suivant les puissances entières et positives de ./; — a, l'autre suivant les puissances entières et positives de — .

397. — Supposons, en conservant les mémos notations, que la fonction / c admette une dérivée en tout point intérieur au cercle C ou situé sur ce cercle ; la même démonstration, où il n'y a plus lieu de tenir compte du cercle (c), montre que 1 on a

c'est-à-dire que la fonction /*.'• est dévelo[)pal)le en série entière en j: — a, en d'autres termes qu'elle est régulière au jjoint a ; la série est convergente sous la condition \x — a, < H.

Au surplus, le développement en série auquel on vient de parvenir peut aussi bien se déduire de la lornmle -2 du précédent numéro en remarquant que, dans le cas actuel, toutes les intégrales

£/(.) dz, £ {z - a) f{z) d:, £ {z - ay-f{:

dz, ...

sont nulles.

Ln fonction y X étant régulière au point a admet en ce point des dérivées de tous les ordres, et l'on a

f{x)=f[a) -+- (./• — r, •' ^^ H- {,r ny-J^^J + ... ;

'r-ît> IMIlOItlCTlON A LA TlIKttUIK OKS lONCIIONS

puis, parce (luiino lonclion no peut avoli qu'uu dévi^loppcmeul sxiivant les puissances de x — a,

398. — Considérons maintenant une fonction f : dont on sait qu'elle admet une dérivée en tout point du conlinuum r). Si a est un point quelconque du conlinuum, on pourra prendre pour le cercle i G"^ n'importe quel cercle de centre a qui soit intérieur au conlinuum. c'esl-à-dire dont le rayon soit moindre que la distance du point II à la frontière : la fonction f x est donc réiiuliére en a et le rayon de convergence de la série entière en x — a qui représente cette fonction est au moins égal à la dislance du point a à la frontière. La série est convergente dans tout le plan, lorsque le continuum F comprend tout le plan. La fonction /(") est alors entière i transcendante ou non).

Si l'on regarde le second membre de l'égalité i du numéro précédent comme un élément de fonction, n°360 ; si l'on prolonge cette fonction le long d'im chemin qui soit intérieur à r , on n'obtiendra jamais autre chose que la fonction / c elle-même.

La fonction y X étant régulière en a, ce nombre a, s'il est une racine def x , ne peut être qu'une racine d'un ordre déterminé. Les dérivées de la fonction ne peuvent être toutes nulles en ce point, à moins que la fonction ne se réduise à une constante.

L'ensemble des racines de la fonction f x qui appartiennent à (r peut être fini ou infini ; mais s'il est infini, ses points d'accumulation appartiennent à la frontière de r , non à r ; dans un ensemble clos contenu dans r , il ne peut y avoir qu'un nombre

fini de racines de f x , un nombre fini de pôles delà fonction j^x)'

En un point a de r où f x ne s'annule pas, la fonction r/

est régulière ; le rayon du cercle de convergence de la série on X — a qui représente cette fonction est au moins égal au plus petit des nombres qui mesurent les distances du point (i à la frontière de r et aux racines de f x ; il est au plus égal à la distance du point a à la racine de fx qui est la plus voisine de a,

car, pour celte racine, la fonction . , li'est pas régulière.

<:iiAi'rnsK xii. — i»kiii\i;i;s kt i.Nri;<.ii\i.i:s \'?.-

Si la IVmclion 7 .'• est aii^si iv-iilirre en loul |ioinl tic r , les

mêmes conclusions s'a[)pliqiient évidenimonl à la Inndirjn y^^, ,

lorsqu'il n'y a pas de racines communes à 7 .'; et à / .>; ; dans le cas où il y a des racines communes, les moditicalions à apporter sont é\identes.

399. — Soil A un domaine simple el 1" le conliiuiuni inlérieur a ce doniaine ; soit/r une fonction admettant une déiivée en tout point de (A , et, par conséquent, régulière en tout point de l" ; l'intégrale

Ja

OÙ a et X sont des [)oints de A , dont le premier est fixe, et dans laquelle le chemin d'intégration ap[)articnt tout entier à A est une fonction déterminée de x, régulière on tout point de I' .

Il faut dabord montrer que la valeur de l'intégrale ne dépend pas du chemin d'intégration, pourvu que ce chemin, comme on le supposera toujours dans ce qui suit, appartienne à A .

Si l'on considère deux chemins allant de a à x. qui soient des courbes simples et qui n'aient pas de points communs autres que a et X, l'ensemble de ces deux chemins parcourus, l'un de a à x, l'autre de x à a constitue une courbe fermée simple ; l'intégrale

jf z (h, prise le long de cette courbe est nulle; il en résulte

immédiatement que les deux intégrales prises respectivement le long des deux chemins, de a à x, sont égales.

Si les chemins d'intégration n'ont qu'un nombre fini de points communs, si même ils ont des parties communes, mais en nombre fini, le lecteur ne peut manquer de reconnaître, en décomposant les chemins d'intégration on parties qui vont d'un j)oiiit comnmn à un autre, que les intégiales sont encore égales.

\Un de supprimer les difficultés qui subsistent, je supposerai pour définir d'une façon préci^^e la fonction

^'2f> l.MlltiKK.TKtX A I.V TIlKoUlF. liT-S IO>CTIO>S

que le chemin d'inlégralion esl une ITgne brisée simple située tout entière dans ^T , sauf peut-être les points a et x, s'ils appartenaient à la frontière^'). Deux pareilles lignes brisées ne peuvent a\oir qu'un nombre fini de points conmiims ou de parties communes, en sorte que les intégrales prises le long de ces deux lignes brisées sont certainement égales et que la fonction F (as) est bien déterminée dans le domaine A par le caractère particulier que l'on a imposé au chemin d'intégration. Que cette fonction admette une dérivée en tout point de (A , c'est ce que Ton voit aisément en raisonnant comme au n" 386 cl la [)roposition établie en ce même

numéro montre bien que l'intégrale / f : dz est bien égale

à F (jc , quel que soit le chemin d'intégration.

Si la fonction o r admet une dérivée ç;' r en tout point du domaine A et ne s'annule en aucun point de ce domaine, on peut évidemment appliquer le théorème qu'on \icnt d'établir à la fonction

la fonction

sera déterminée en tout point do A et régulière en tout point de y . Elle est identique l\ la fonction log /■){ , supposée nulle au

point a et définie ensuite par continuité ou prolongement le long d'une courbe allant de a à z et ne sortant pas de A . Cette fonc-

tion log'^i-^ sera régulière en tout pi)int du plan si f z, est une

fonction partout régulière et qui ne s'annule jamais ; elle sera alors une fonction entière (j z ; la fonction / r sera elle-même de la forme

' ' Un supposera, dans ce cas, que ces points peuvent cire relii's à n'iin[)orte (|ucl point (le (F) par une lignr- brisée, l'our los points de la frontière, en noinjjre limité, qui ne rempliraient pas cette condition, le théorème, une fois démontré en général, résulte sans peine de la conlinuitï.

(.11 Ai'i I m. \ii. — iiiiiiN i;i:s i;t im i.(.u\i.i;s jx)

telle est donc, en désigiianl par C une conslanle cl \n\v (j z ihkî fonction entière, transcondanle ou non, la fornic do toute l'onction enlière/(r qui ne s'annule pour aucune valeur de r.

400. — Revenons à la proposition générale du n" 396 et considérons maintenant um^ fonction f : dont on sache qu elle à une dérivée en tout point a[)parlenant au ((M'cIo C , sauf peul-ctrc au centre a de ce cercle; l'égalité 2 du n" 396 subsistera en prenant pour le cercle [c - un cercle de rayon aussi i)elit qu'on voudra, intérieur au cercle G ; les intégrales

f{z){z-a)dz,.

sont d'ailleurs indépendantes du rayon /• du cercle c . Considérons en eiïet les doux cercles c , c., de rayons r, r' et supposons /•>/''; les fonctions f z), f[z) îz — a,... admeUent dos dérivées en tous points du domaine doublement connexe dont la frontière est formée des doux cercles ic}, c' ; les intégrales

a) dz,..

prises le long de la fronlièro [larcourue dans le sens direct sont donc nulles n" 394 ; cola revient à dire qu'une quelconque do ces intégrales garde la niome valeur, qu'on la prenne le long du cercle (c , ou du cercle c';, les deux cercles étant parcourus dans le sens direct.

D'après cela la fond ion y(.r; est la somme de deux séries; l'une, que l'on peut représenter par P j? ; (i , est entière en x — a et convergente sous la condition \ x — a j <C K, l'autre do la forme

(x — ay

est convergente quelque petil cpie soit .c — a, on valeur absolue, pouiMi qu'il no soit i)as mil ; on d'autres termes la fonction

'|3o IMUOIII t;TIO.\ A I.A THKtllMK t>F.S KONCTIONS

c?t une fonction entière on :, transcendante on non : on a ainsi

Ces deux séries P x ; a , G ( ) sont uniformément conver<îentes

dans tout ensemble parfait contenu dans le conlinuum défini par les conditions

Dans le cas où la fonction G r est identiquement nulle, la fonction y"(x/, si on lui allribue la valeur P a; a) au point a, est régulière en tout point intérieur au cercle C , même au point a. Lorsque la fonction G (rj se réduit à un polynôme en c

A,r -h A,r- -T- ...-hA„r",

le point a est un pôle de mulliplicité n de la fonctiony* x . Enfin, quand la fonction G r est une fonction transcendante, le point a prend le nom de [xiint sinqulier essentiel.

Ainsi un polo ou un point singulier essentiel a d'une fonction f :r est caractérisé par l'existence d'un polynôme ou d'une fonction transcendante entière G r , s'annulant pour c = o, et telle que la fond ion

/(-) - G (^rL a)

tende vers une limite quand x s'approche de a indéfiniment et soit un fonction régulière au point a quand on lui attribue en ce point sa valeur limite.

Le nombre A, coelïîcient de dans G ( ) iouc un rùle

particulièrement important : on lui a donné le nom de résidu relatif au pôle ou au point essentiel a. Son importance apparait tout de suite en observant que la fonction primitive de fx , dans le continuum défini par les inégalités fj <; j /' — a [ <C R, est la somme d'une constante arbitraire, de la série entière en x — a, obtenue en intégrant terme à terme P x. a . et de la série

\> A Ai \os,ix — a) —- ... — ; ^,-- r— -,- — ... ;

ciiM'iiiir \ii. — hi.itn i:i:s i:r r.Mii.UMKS '|.)i

rinlégialioii introtliiit tluiic un terme transcen(J;inl et un seul, Vi log .!• — a , (.loiil le coeflicienl est précisément Ai ; ce terme a iralllcurs besoin d'être défini d'une fonction précise pour que la Ibnclion primitive le soit elle-mêmo : les diverses déterminations de cette fonction dilTèrent d'un nmltiple entier de 2Ai~/. Si le résidu Ai est nul, la fonction primitive est déterminée dans tout le conlinuum, dès qu'on se donne sa valeur en un point, L'inté,i?rale

prise le long iluno courbe fermée simple, située dans le continuum. contenant le point a à son intérieur, et [xircourue dans le sens direct est égal à 2 \iz/.