Cf)nsidérons une fonction f x définie dans un conti

nuum r , sauf en \\n certain nombre fini de points c/i, a> , a,j

et régulière en tout [toint de F , sauf peut-être en ces points.

Si de l'un quelconque de ces points, de ai, par exemple on décrit un cercle assez petit [)Our être intérieur à T) et pour laisser en dehors de lui les points '(,,.... a,,, le précédent théorème s'appliquera à ce cercle, d'uù l'on conclut que le [)oinl ^/,est ou un point réguliei', 'auipicl cas il faut attribuer a f ./; , pour ce point, sa valeur limite ou un pôle, ou un point singulier essentiel ; on peut évidemment écarter la première hypothèse. Les jîoints

a,, a. , 'II, étant des pôles ou des points singuliers essentiels, il

leur correspond respectivement des fonctions entières polynômes ou fonctions transcendantes, r/, r , y,': ,..., telles que les diilcrences

soient respectivement régulières aux: points (i,, d: — ; d'ailleurs la fonction yi ( -__ ], par exem|)le, est régulière partout sauf au point '/| ; on conclut de là bien aisément que la foncti<ui

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IMKOKLCno.N A LA TU KiM'.lK lilCS 1 ONCTIONS

est régulière en tout point do V : on daulres lormes la fonclion f x est do la forme

'.li-

en désignant par c x uno fonction régulière on tout point de T . Réciproquement toute fonclion de cette forme est régulière en tout point de F , sauf aux points «,, a>,..., a,, (M.

Si (T) est le continuum intériem- à une courhe fermée simple F) et si l'on suppose, bien entendu, que la fonction f :c ait une dérivée en tout point du domaine F H- F , sauf aux points fli, 'ïo,..., a,,, l'intégrale j f x (/./•. prise le long de V , dans le sens direct, est égale au produit par 2::/ de la sonnvic des résidus relatifs aux points a^, ai,..., a,, : cela résulte évidemment de la forme donnée à / x , de ce que Fintégrale j o x dx est nulle et de ce que l'intégrale

par exemple, est égale au produit de 2 ~i par le coefficient de la première puissance de z dans yi c .

402. — On a montré au n" 349 comment, sous certaines conditions, une série de la forme

Ui [x] -r- u->[x) -^ ... -h u„{x) H- ...

dont les termes sont eux-mêmes des séries entières on x, pouvait se mettre sous forme d'une série entière en x, et l'on a annoncé que cette proposition, ainsi que la proposition analogue relative à un produit infini étaient susceptibles d'être généralisées.

La proposition que j'ai en vue est la suivante.

Soit A un domaine simple et F le continuum intérieur: si les fonctions u^ x , u.,f.x ,..., 11,, x),... admettent des dérivées en tout point du domaine A et si, dans ce domaine, la série

(«j «, (.r) + Ui{x) -r ... — «„(.''■) -+-...

(^) Le lecteur rapprochera celle proposition de celles qui font l'objel du n" 374.

ciiAPirm: xii. — iii:i;i\i:i'.s i:t i.mkchai ks 'j33

est nniforméinenl convcrycnle, la somme f x de celle série esl une fonction régalien' en loul [)oinl(le F ; ses dérivées successives sonl les sommes iesi)eclivcs des séries obtenues en prenanl les dérivées première, seconde,... des termes de la série di .

En désig-nanl par x» le poinl du conlinuum T; pour lequel on veut prouver la proposition el en jjosant x = iCo + ', on remplacera le domaine A el le conlinuum T } par le domaine i A'i et le continuuni F ; ce conlinuum contiendra le point 2 = o, pour lequel on aura à faire la démonslralion.

On peut, tout de suite, supposer que le continuuni T) contient le point r ^ o et que c'est pour ce point qu'on fait la démonstration ; les fonctions «, ':"', iiolz], doivent alors cire régulières en ce point; je supposerai qu'on a en général.

toutes ces séries, d'après le n" 397, sonl absolument convergentes à l'intérieur et sur la circonférence d'un cercle décrit du point o comme centre, situé loul entier à l'intérieur de T , et d'ailleurs quelconfjue; dans le même domaine intérieur el circonférence du cercle , la série

n,{:) -h ii,{z) -h ... 4- u„{:) -h ...,

dont la somme esl f z , est uniformément convergente; si l'on désigne maintenant par x un point fixe intérieur au cercle, la série

Mil ^ Iiiî)^ + + Mï) ,

dont la somme est/\^, est uniformément convergente sur la circonférence du cercle; on a donc 'n" 390), en supposant les intégrales prises le long de celle circonférence,

çmj^^^ r".G*)^-'^ ç^W)j^^ . Çnn[z)ji .

la série qui constitue le second membre de celte égalité est égale, terme à terme ''n" 395 , à la série

2i7:u,(.r) 4- ^.ÏT.Uiix) -t- ... H- 3 {-«,, (.r) -+-...

Tà-«:<irt m. — liilrO'liiction à la Tlièoiie îles fondions 28

^'i\ I.NTROIHT.TIt» A I.A TIlKilIllE DES FO.Nt^TIO^S

dont la somme est 2 ÏTi/^x ; on a Jonc finalement

On a, au n" 395, établi \mc égalité de même forme en sn[)posant que la l'onction y j; admettait des dérivées en tout point du domaine simple que bornait la courbe le long de laquelle on prenait l'intégrale: l'égalité i\ établie en partant de la défmition de la fonction fix), va nous permettre maintenant, en renversant la démonstration du n" 395, de prouver que la fonction f{x) est régulière au point o ; on a en efîet, pour tout point de la circonférence de cercle

et le second membre de cette nouvelle égalité est encore une série uniformément convergente sur la circonférence du cercle, où l'on a ' z I >> a: ; on a donc n" 390

en supposant toujours que les intégrales soient prises le long de la circonférence du cercle; mais le premier membre, d'après l'égalité i , est égal difx^ : on voit ainsi que la fonction f^x est régulière au point o et, de plus, quelle est développable en une série entière en x, convergente à l'intérieur de tout cercle décrit du point o comme centre et intérieur au conlinuum T\ La fonction f'Xj est donc bien régulière en tout point de ce continuum. La valeur de sa dérivée nième au point o est égale à

aJTt J 2»+i

dz

en vertu de l'égalité (2) ou du n" 397, l'intégrale étant prise le long de la circonférence d'un cercle quelconque, intérieur à (T et décrit

(.IIAIMTRE XII. liKRIVKKS ET INTÉCJKALES fi'ÔO

du point o comme centre; or sur cette circoiil'écence, la série

f(z) dont la somme est ,„(., , est unilormérDciit convergente; on a donc

les intégrales étant prises le long de la circonférence ; on a d'ailleurs n" 397;

et par suite

y. Cf(^

yn^i ^^ ~ ""•' + "".-^ + ... -h »„,,,

il est prouvé par là que la série qui figure au second meud)re est convergente et que sa somme est le coelficieut de x" dans le développement ôef'Xj. Tout ce que l'on avait annoncé est établi.

Le théorème qui précède est du à Weierstrass ; on voit qu'il est beaucoup plus général que la proposition à peu près obvie du du n" 349 '\

Je ferai maintenant sur le mode de convergence de la série (a), une hypothèse un peu plus restrictive, qui implique d'ailleurs n" 183 la convergence absolue et uniforme de cette série dans le domaine ^A .

En désignant par

une série convergente dont tous les termes sont des nombres positifs, je supposerai qu'on ait 1 h„ x ! -< «„. pour toutes les \aleurs

t'j La dcinonslration tle \N cicrslrass, <[iii csU fort iiitcrcssanle, est i(.|>roiluilc dans l'introduction des Eléments de la Théorie des fonctions elliptiques de MM. Tanner) et Moik, l. I, p. r)5. Celle (jui précède est due à M. l'ainlevé.

436 INTBODUCTIO.N A I.A Tlll'oniK DES FONCTIONS

de n, et pour chaque point x du domaine (A) ('). Je suppose toujours que les fonctions ii„ x admettent des dérivées en chacun de ces points.

Le produit infini

[i -h »,(a-)] [i -T- ii>{.r)] ... [i + (;„(.t)]...

est alors une fonction de x régulière en tout point de V .

Il suffira, comme tout à l'heure de supposer que le point o soit intérieur à F ; et de faire la démonstration jiour ce point. Considérons encore un cercle, décrit du point o comme centre et intérieur à (T ; et désignons par D l'ensemble des points qui appartiennent à ce cercle.

A [)artir d'une valeur suffisamment grande de n. on peut, en désignant par a un nombre positif plus petit que i, supposer I Un x] I •< a et cela pour n'importe quel point x du domaine (Di : comme on peut évidemment négliger, dans la démonstration, les premiers facteurs du produit infini, rien n'empêche de supposer que l'égalité précédente ait lieu pour toutes les valeurs de n ; le logarithme principal de chaque facteur est alors déterminé sans ambiguïté pour tout point ./• de i D . De la convergence normale de la série i« dans le domaine D , résidte immédiatement la convergence uniforme, dans le même domaine, de la série

(3) lg[l + Ui{x)] -h lg[i -+- «^(.t)] -+- ... + lg[i 4- u„{r)] -f- ...

qui est donc une fonction régulière de x au [)oint o ; si on désigne par Ci a; cette fonction, la fonction e? -^ sera aussi régulière au même point : or elle est manifestement égale au produit infini. On obtient la dérivée de '> x en prenant les dérivées des fermes de la série 3 ; on retrouve ainsi la règle du n° 349 pour obtenir la dérivée logarithmique d'un produit infini.

' M. Baire, dans ses excellentes Lerons sur les théories cjénérales de l'Analyse Paris, Gaulhier-Villars . dit alors que la série (ui converge normalement dans le domaine A . Ce mode de convergence, sur lequel Weierstrass a appelé l'attention, mérite assurément un nom, tant il est simple, naturel et fréquent. C'eSi à l'exemple de M. Baire que je me borne à ce cas, pour ce qui est des produits infinis.