I.NTRODICTIO.N A l.A TIIKOIMF. DES FO>C.TIO.\S

qu'on le voudra, on pourra lui l'aire correspondre un nombre a <; a tel que, sous les conditions

on ait

En désignant par i un nombre positif égal ou inférieur à a — a' et par £ un nombre compris entre a — c et a, on aura, toujours en vertu du premier tbéorème de la moyenne,

r /wM^)

[x) dx

d'ailleurs, une fois s fixé comme on vient de le dire, on pourra prendre ç assez voisin de a pour que les deux rapports

> (ac) dx

(x) dx

soient, en valeur absolue, moindres que a, puisque leurs dénominateurs peuvent être supposés aussi grands qu'on le veut ; dès lors l'identité

Jç {x) dx I ? (^) ^■'^ I '^

Oj Ja—i Ja—î

X) dx

(1/ {x) dx I 'l {x) dx I <l [x) dx

t!/ (x) dx

r.nAPiTui: VII. — i>Ti;«;nvLr:s hkki.mks 5i

montre que le piomior iiicinhre est compris entre les deux quantités

Or, le nombre a pouvant être supposé assez petit pour cpie l'une et l'autre de ces deux quantités soient aussi voisines que l'on voudra de / a — o , la proposition énoncée est démontrée. Le lecteur ne manquera pas de rapprocher cette proposition de l'une des rètrlcs de lllospital n" 235 .

Les remarques précédentes permettront, dans bien des cas, de ramener le problème proposé à un problème plus simple.

Supposons, par exemple, qu'on puisse mettre la fonction sous le si|/ne / sous la forme

f^ , X et f., 'x) étant des fonctions bornées et intégrables dans l'intervalle «0, a et /' un nombre positif; on aura

J'o (a;) dx = I /, {x) dx -^ I (a — ^)~'' f> {^) d^ ',

on n'a pas à s'occuper de la première intégrale du second membre ; quant à la seconde, si l'on applique la méthode précédente

en prenant pour 'b ce la fonction positive / -__ x- ,on "^"oit tout de suite, en partant de l'identité

valable tant que r est diflcrent de i, que 1 on a

(a - x)- dx^ ^^^ [{a - ^)«-'- - [a ~ a,y-'-] ; si l'on a /• <C i , le second membre tend certainement vers une

52 iNTHonrcTio>' a la tiikouik oks fonctions

llinite (|uaiul z lenJ vers a par valeurs croissantes ; dans ce cas, l'intégrale

Ci (.r) àx

a un sens; si l'on a /• > i et si, lorsque x s'approche de a, la fonction /^ x finit par garder un signe constant et par rester supérieure, en valeur absolue, à un nombre positif fixe, l'intégrale

ç (.r) dx

grandit indéfiniment en valeur absolue quand 5 tend vers a par valeurs croissantes; elle devient infinie comme

si l'on avait r = i , on aurait

[a — x)-' dx = log ^ f" ;

si la fonction /^ 'x: finit encore par garder un signe constant et par rester supérieure en valeur absolue à un nombre positif fixe, l'intégrale proposée deviendra infinie comme log a — x\ Par exemple, l'intégrale

h v/(i — ^')(i —k'-x') où /i- est un nombre plus petit que i, a un sens, puisque l'on a

et que le facteur i — x, - qui devient infini aux environs de x=ï

est affecté de l'exposant — - dont la valeur absolue est moindre

que i; au contraire si l'on avait Ir = i, l'intégrale proposée n'aurait pas de sens et l'intégrale

r^ dx

jo \J{l—x'y

cil vpii lii: Vil. — i.\ri:(;uAi.F.s hkumes

ilovieiulrail, quand ./; tciul \crs i |)ar valeurs croissanlcs, infinie comme log i — x .

L'inléfjralc cii/cricnnc de prcinicre espèce

),q)= I xi'

Ji[p, q) = j X''-' (i — a-)''-' dx,

où p, (j sont des nombres positifs, a toujours un sens, bien que la quantité sous le signe / devienne infinie aux limites inférieure et supérieure de l'intégrale, quand les nond)res />, q sont plus petits que I.

L'intégrale