I. — LE TUKORliME DE M. JORDVN t:) \\S LE PLVN

1. — Je conmiencerai par revenir un instant sur la démonstration du théorème de M. Jordan dans le cas du plan et je m'effor-

(') Surtout depuis le TraiW d'Analyse .le M Picard (T. I, j. i aS ; T. II, p. igS).

438 l.MUOltl CTION A I.A TIIKOIUE DKS FONCTIO-NS

cerai. pour l'une des parliez de ce théorème, d'aller vui peu plus loin qu'on n'a fait dans l'introduction de la notion d'ordre. Une ligne plane (' C étant délinie par les deux équations

où les seconds membres sont des fonctions continues de / dans l'intervalle Jo, fi ', cette courbe étant fermée, c'est-à-dire telle que l'on ail

(a) X [la) = X (<,). j I/o) = y Cl) ;

et aana point double, c'est-à-dire que les équations en /', t"

x{t') = xit"), y{{')=y(t")

n'aient pas d'autre solution, oîi t' soit dilTérent de t", que t' = /„, /" = /, ou /' = ti, t" = /o;

le théorème de M. Jordan consiste en ce que :

I" la courbe C détermine dans le plan an moirn^ deux régions distinctes ;

2" la courbe C ne détermine que deux régions distinctes.

Je m'occuperai seulement de la première de ces deux affirmations - .

2. — Je rappelle que l'ordre d'un point P, non situé sur la courbe C , par rapport à celte courbe se définit au moyen de la variation continue de l'argument du vecteur PM, quand le point M décrit la courbe G .

Cet ordre est nul quand on peut mener par le point P une demi-droite qui n'a aucun point commun avec C .

Il est égal à =t I quand on peut mener par le point P une demidroite qui a un point commun avec C et un seul, et telle que si on désigne par / la valeur de / qui correspond à ce point, les points de (C qui correspondent à des valeurs de / un peu plus petites que / et les points de (G qui correspondent à des valeurs de / un

C) C'est ce qu'on a appelé dans le texte un lien fermé simple (n° 290;. (^) Elle a été établie dans le texte sous la condition qii'il existe un vecteur AB que traverse la courbe (C) (n" 296;.

>OTF. SI It gl KLUl'KS APPI.H;aTI()NS |iF. l.'l.Mtir.F, rtE KUONF.CKF.Il 4^9

peu plu;; grandes que l soient tic cotés diirérenls par lapport à la demi-droite.

3. — Cela posé, nous allons constater l'existence d'un point dont l'oidie est o et celle d'un point dont l'ordre est ± i .

Soit d'abord y = y, une parallèle à l'axe des x avant des points communs avec la courbe. Soit, parmi eux. Axi, y,y celui qui a la plus petite abscisse '. Si l'on désigne par x[ une quantité inférieure à j,',, le point V yx[, y,) est d'ordre o, puisque la demi-droite qui part de ce point dans la direction opposée à A'A n'a aucun point commun avec (G).

4. — Soit maintenant c une valeur de x comprise, au sens strict c'est-à-dire égalité exclue entre j:, et la valeur maxima de x sur

(G), de sorte que la courbe ^G) coupe la droite j: = c en deux points au moins ; soient M, N les deux points d'intersection extrêmes, c'est-à-dire qui ont respectivement la plus petite et la plus grande ordonnée '^ , ou encore, les plus rapprocbés de A ; j'entends par là les points pour lesquels les valeurs de t sont les plus voisines inférieuremcnt et supérieurement de celle qui correspond à A '^i. Les points M, N divisent .G; en deux arcs. J'appellerai le premier d'entre eux, celui qui contient le point V. Dans l'une comme dans l'autre des définitions que je viens d'indiquer pour M et N, ce premier arc ne contient aucun point situé sur le prolongement du segment de droite jMN. soit que la courbe entière n'en contienne aucun [""Mélinition), soit que le premier arc MN n'hait aucun point commun avec la droite x=^z en debors de M, N (2™* définition;.

Menons par A une droite Aa qui coupe la droite x = ^ en un point a situé entre M et N. Gette droite Aa peut rencontrer le premier arc MN en un seul point le point A) ou en plusieurs ; soit B celui de ces points qui a la jilus grande abscisse (^\

(') L'ensemble des valeurs de t (si elles sont en nombre infini) ciui vérifient l'équation yit) = ji est clos; il en est donc de même des valeurs corrcsjiondanles de s ; ce dernier ensemble conlienl donc son élément niaximum cl son élément minimum.

(') ^ oir la note précédente.

(^) Ceci comporte une modification évideiilc si le point cpii correspond à i = <, ou < := (, est entre A et M ou entre A cl N.

(') Voir Id note ('1.

44o I.MUODLCIU» A I.A TllKitUIK ItKS KOMCTIO.NS

Soil B' un i)oinl de la droite \a ayant une abscisse plus grande que B, tel cependant quentre B et B' il n'y ait pas de point du second arc MN i ce qui est possible ' , sans quoi B serait lui-même un point du second arc, contrairement à l'iiypothèse).

Le point B est d'ordre db i .

Pour le voir, joignons M à N par un chemin composé de deux segments rectilignes MP, NQ emi)rmités respectivement aux deux prolongements de MN et tels que aP soit égal à aQ, P et Q étant réunis |.)ar un demi-cercle de centre a, situé à droite de MN, c'està-dire du côté où n'est pas A, et de rayon assez grand pour n'avoir aucun ])oint commun avec le premier arc •,. Ce nouveau cliemin forme avec le premier arc MN une ligne fermée Ci et avec le second arc MN une ligne fermée [C-i', convenons de choisir comme sens de parcours sur G) le sens qui correspond aux / croissants, sur (Ciy et sur [d) un sens tel que les parties communes avec (G) soient parcourues dans le même sens qu'elles le sont sur (G). Dans ces conditions, le chemin auxiliaire MPQN est parcouru en sens contraires sur i^Gi) et sur (G2).

On aura alors, en appelant Ù c (B'), 0(Ci)(B'), û^c^) (B'} les ordres de B' par rap[)ort aux courbes fermées (G), (Gj), (C2)

puisque les variations d'argument sur MPQX se détruisent. Or Û(G,^ (Ay étant nul [pour la même raison que ÛiC; v^'J. d en est de même de il c., (B'j n" 295 , puisque l'on peut joindre A à B' par un chemin qui n'ait aucun point commun avec C2 , à savoir la portion AB du premier arc, suivie du segment de droite BB'.

D'autre part O c,) (B') est égal à ± 1, puisque la demi-droite qui part du point B' et qui va dans la direction des x croissants rencontre (G2^ en un seul point situé sur le demi-cercle, et cela dans les conditions qui ont été précisées plus haut.

Notre conclusion est donc démontrée.

C) Voir encore la noie l'i de la jiage jiréccdcnle.

('■) Dans le second mode de définition des points M, N, le clieniin Ml*QN peut être remplacé par le segment de droite M.N, le point B' étant entre B et a.

.NOTE sut nrEl.fjlES APPLICATlO.NS DE LI.MdCI". DE KRnNKCKKH ||1