II. — (lÉM'.UVLITÈS SLU LES V.VIUÉTÉS ET LES SURF.VCES

5. — Sans examiner si on peut, par une méthode analoj^nie, dcmonlrer le ihcorème de M. Jordan dans le cas de plus de deux dimensions, nous allons, maintenant, supposer ce théorème démontré et cela en précisant même l'énoncé d'une manière qui sera indiquée plus loin.

Mais nous avons à définir ce que nous entendrons [)ar surfaces dans l'espace à /t dimensions.

Pour cela, nous définirons dabord le télracdroï'le à m dimensions.

Nous appellerons ainsi le lien c'est-à-dire, conformément à la définition classique de la géométrie élémentaire, l'ensemble des points Xi,... x,„ de cet espace qui vérifient les inénfalilés

— ou, par extension, tout ensemble se déduisant du premier par une substitution linéaire, non nécessairement homogène c'est-àdire avec l'intervention possible de termes constants', à déterminant non nul.

6. — En remplaçant une, et une seule, des m -t- i inégalités 3) ou s'il y a lieu, de celles qui leur correspondent après substitution) par une égalité, à la(juelle on continue à adjoindre les m inégalités restantes sans les modifier, on a une des m + i faces du tétraédroïde. En rem[)la(;anl de même deux et deux seulemeni des inégalités en question par des égalités, on a une arcte primaire laquelle est, par sa définition, commune à deux faces . On aura de même, en écrivant trois égalités et m — 2 inégalités, une arête secondaire ; etc.

Enfin un point commun à m faces est un soniuiet. Si on désigne par

{kj ;!'», ....;iA' i= x,2, . .m i- I)

44 "-2 INTlUllllC.Tlo.N A I.A TllKomK I»ES hO.\r.ïlO.\S

les m -+- I sommets, on aura, pour le téliacdroïdc 3),

S ^!'i = I. Çyi = o II = 1, .... m ;y ;zf (■'

7. — Un point quelconque d'un tétraédroïde peut être repié>enlé par les formules

où /,, t.^, ..., /,„j sont m -+- I nombres positifs. C'est ce qu'on voit immédiatement pour le tétraédroïde 3 1 et qu'on étend aux autres télraédroïdes en remarquant que la substitution linéaire ne cliange pas les relations 6 .

8. — m -i- 1 points quelconques, dont les coordonnées seront données par les formules ^t , peuvent d'ailleurs, comme on s'en convainc aisément, être considérés comme les sommetsd'un tétraédroïde, pourvu que le déterminant A l'ormé en bordant le tableau 'Ji^ avec une colonne d'unités soit différent de zéro : ce tétraédroïde pourra être considéré comme représenté par les formules '6^, lesquelles s'écrivent encore

/,, t^, ..., /,„ , seront dits les coonlonnées barycenlriffiies absolues dans le cas des équations 6'), homogènes dans le cas 6 du point (a;,, ..., X,,,' par rapport au lélraédruïde.

m des coordonnées barvcentriques absolues peuvent être considérées comme définissant un point. Si on considère, à leur tour, ces m quantités /,, ..., /,„ comme des coordonnées cartésiennes, le point qui a ces coordonnées décrit le tétraédroïde 3 quand le point x,, ..., X,») décrit h t('lraédroïde donné.

Si le déterminant désig^né tout à l'beure par A est nul, nous dirons que les formules 6 ou '6'j définissent un tétraédroïde dégénéré.

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