Plus p'cncraleinent, les formules

i^\'>-h... -ht.,

on, ce qui revient an même,

OÙ l'indice / variera, non plus depuis i jusqu'à m, mais depuis i jusqu'à n > m, délinironl /,, ..., /„,j, étant des variables positivesj un lélracdruidc à m (lintcnsions dans l'espace à n dimensions, pourvu que les déterminants déduits du tableau loctangulaire

li^l'». ...,?<". I il i= I. ..., m 4- i;

ne soient i)as tous nuls ' . Dans le cas contraire, on aura encore all'aireàun tétraédroïde défjénéré.

Le tétraédruïde non dégénéré) (7) pourra encore être regardé comme défini par n — ni équations du premier degré ^obtenues en éliminant les t entre les équations ,7^ ou 7' ^ et m -+- 1 inégalités.

Lne face du tétraédroïde à m dimensions est, en ce sens, un tétraédroïde à m — I dimensions : la face opposée au /^'™« sommet du tétraédroïde /i, est représentée, en elTet, par les formules ^6, (ou ù' , où l'on fait /,= o.

Une arête primaire d'un tétraédroïde à /?* dimensions est, de même, un tétraédroïde à m — 2 dimensions ; etc.

10. — Le tétraédroïde 3^ peut être décom[)Osé parles plans k ,

P en parties convexes et celles-ci [)euvciit être, à leur tour, décomposées en tétraédroïdes [^ inférieurs dans toutes leurs dimensions

('j Oïl peul aussi dire (ju'uii Ici lûlrac'iroùle se déduira «lu létracdroïdc à ni dimensions (3) en prenant pour les n variables v des fonctions linéaires des m variables x (m au moins de ces fonctions étant indépendantes;

('-) Un polyèdre com-cxe de t'espace à m dimensions est l'ensemble des points de cet espace tpii xérifieiit un nombre (|neIconquc d'inégrilités <lu premier degré

«i'"j-, + «^'•'a?., + ... + ul,';'x„. + i'^» > o (/. = I, a, ...)

CCS inégalités étant susceptibles d'être vérifiées simultanément au sens strict (c'est à-dire égalité exclue^ cl telles cjue | Xi I , | jr^ | , ..., | x.,. | soieni, grâce

\44 I.NTROULCTIO.N A I.A THKOHIK r»ES K()>('.TI()>S

a . — par conséquent, aussi petits qu on veut en tous sens : celle

dernière propriété s'étend donc par suhslitulion linéaire à nn lé- Iraédroïde quelconque.

11. — Cela posé, soient «,, ..., u,„ t)i paramètres tels que le point qu'ils définissent et que nous appellerons point paramétrique ^ décrive un tétraédroïde à m dimensions. Soient a;,> x.^, ..., x,» des fonctions continues, en nombre n > m de Uj, ..., u,„. Nous dirons que le point x,, ..., x,,^ qui sera le point proprement dit] décrit un élément n} fois étendu dans l'espace E„ à n dimensions.

Soit £, un tel élément, correspondant à un tétraédroïde T, décrit par le point paramétrique Ul^, ..., «,„). Soit z.> un élément analogue, correspondant à un second tétraédroïde T.^. Supposons que, par l'intermédiaire d'une face y, de ï, et d'une face /^ de ï^, ces deux éléments soient liés de la manière suivante :

Les sommets de fi ou ceux def^. ayant été permutés au besoin d'une manière convenable, tout point paramétrique de/, donne la même position du point x,, ..., x„ que le point de /^ '1'" ^^moycnnant la permutation dont on vient de pailer) a les mêmes coordonnées barycentriques (').

à elles, forcément limités. Une face du polyèdre sera encore obtenue en remplaçant l'une de ces inégalités par l'égalité correspondante, pourvu que les inégalités restantes puissent encore, dans ces conditions, être vérifiées siniullancment au sens strict.

La démonstration du théorètne : tout itolycdre convexe de l'espace à m dimensions est décomposable en létiaédroïdes est aisément arillimélisable. On proiulra un point intérieur ()(-j\, ..., a„j qu'on joindra à chaque point [xi, ..., x„) de

la fronliùre S du polyèdre par un segment île droite ( x,= -'^£ — -' 1, o-<i"< + =c .

Lorsque (x,, .... x„,) décrira une face, le point x\ décrira une « pyramide à m dimensions » ; et toutes ces pyramides, extérieures les unes aux autres, formeront par leur ensemble le polyèdre donné (grâce à ce fait que S est coupé en un [>oint et un seul par une demi-droite quelconque issue de Oj.

Le théorème étant supposé démontré pour toute valeur de m inférieure à celle qu'on considère, on pourra décomposer chaque face en tétraédro'ides à m — I dimensions : la pyramide correspondante sera, du même cou[), décomposée en parties qui seront des tétraédroïdes (les coordonnées x\ pouvant s'expri.T.er alors aisément sous la forme (()))■

f) IMus généralement, on pourrait admettre entre les points de f\ et de j.^ une correspondance parfaite et continue (juelconrjue, les points paramétriques qui fournisse;it le même point x étant ceux qui se correspondent dans ces nouvelles conditions. On démontre que ce cas un peu ['lus général peut se ramener à celui qui est traité dans le texte.

NOTE SI» QLKI.QIRS APPI.ICATIu.NS IiK i.'i.mik.i; hk kiuinecker /j45

Convenons, s'il on est ainsi, do regarder ces deux points paranu'triqucs pris l'un sur/', l'aulre sur /,,, et que nous appellerons points accouplés, comme identiques l'un à l'iuilre (pioique leurs coordonnées u soient, en général, dilTérentcs . Les faces fi,fi seront, par conséquent, elles-mêmes regardées comme n'en constituant qu'une. Les éléments î^, î., seront alors dits conl'ujas suivant la fiice commune unique (jui correspond '^dans l'espace E„ à /, et

Vn troisième élément £, pourra être contigu à -.^ suivant une face correspondant à une face/, de T.2 : nous supposerons celle-ci différente de /Ij le cas contraire étant écarté dans tout ce qui va suivre . L'arête primaire commune hf.^, fi donnera une arête commune à £,, Z.J, £3, dont les points seront les mêmes lorsqu'on les déduira de l'un ou de l'autre des éléments considérés.

Plusieurs éléments peuvent de même avoir en commun une arête d'ordre supérieur ou un sommet unique . Mais il faut remarquer fpi'un nombre quelconque d'éléments peuvent encore avoir en conmiun une même arête primaire.

12. — Considérons niainleuant un nombre fini quelconque d'éléments m fois étendus de l'espace à n dimensions ayant entre eux des relations de contiguïté telles que nous venons de les définir, mais de manière cependant qu'une face quelconque de l'un d'entre eux ne lui soit counnune qu'avec au plus^ un seul autre. Nous aurons ainsi une variclé finie ni fois étendue dans l'espace à n dimensions ' .

Deux points paramétriques accouplés de la face conmiune à deux éléments contigus ou, plus généralement, deux ou plusieurs points paramétriques accouplés d'une arête d'ordre quelconque^ commune à deux ou plusieurs éléments ^ou, encore, un sommet commun à deux ou plusieurs éléments) seront, conformément à ce qui précède, considérés comme ne donnant qu'un point unique j?, , ..., x„) de notre variété. En toute autre circonstance où un même point x,, ..., x„) de l'espace à n dimensions se trouvera

Cj Les varicli'-s ainsi (Jéfinies sonl celles que nous considérerons dans ce qui va suivre. La question de savoir si on peut donner à ce même mot des définitions plus générales est, hion entendu, cnliùrement réservée. Elle ne sera pas abordée ici.