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INTROIUCTION A (.A TIlF.OniE hF.S K()>(.T|(»NS
plus tl'unc lois dans notre variété soit qu il corresponde à deux, points parauiolriques dilTérents d'un même élément, ou à deux points paramétriques non accouplés d'éléments différents ('; ce point sera dit double ou multiple, siiivnnt qu'il figurera deux fois ou m >» 2 fois .-j.
13. — Une même variété peut d'ailleurs d'une infinité do manières se représenter sous la forme qui vient dètre indiquée. Nous ne considérerons pas, en effet, deux variétés V et V de l'espèce précédente comme distinctes s'il existe entre les points paramétriques qui engendrent \ et ceux qui engendrent ^ ' une correspondance parfaite et continue telle que tout point paramétrique de Y donne le même point x^, .... x„) que son correspondant de V. La continuité et la perfection dont nous venons de parler ne sont supposées avoir lieu que moyennant la convention faite précédemment de considérer comme identiques les points accouplés f*), la décomposition de V en éléments n'étant d'ailleurs nullement supposée correspondre à celle de Y et le nombre même de ces éléments pouvant être différent.
(') Nous excluons en nous exprimant ainsi le cas où un élément serait conti^i à lui-inème (deux de ses faces étant accouplées l'une à l'autre). Si ce cas se présentait (ce qui a'cst nullement impossible), on modifierait aisément notre rédaction de manière à en tenir compte. Mais on peut aussi l'écarter par une subdivision convenable (voir ci-dessous] de l'élément considéré, ainsi qu'on s'en assure sans difficulté.
(2) On jiourrait avoir m ^= y. .
(■*) Autrement dit, la continuité signifie ici que :
1° .V un point paramétrique d'un élément t et d'un seul de ^ correspond à un point appartenant à un élément s (et à un seul) de V, les valeurs des n relatives à l'un de ces points sont fonctions continties de celles qui sont relatives à l'autre ;
2" Si un point paramétrique I* appartenant à un seul élément i de V correspontl à un point P' commun à plusieurs éléments Ej', ï.', ..., z'i, de V, et si on considère un second point Q de = tel que son correspondant Q' appartienne à -', par exemple (tout en pouvant être commun à z[ et à un ou plusieurs des autres éléments e.^, ..., e'^), les valeurs des «qui correspondent à Q' t/ons z[ sont^ fonctions continues de celles qui correspondent à Q ;
3" On a des énoncés analogues pour le cas où un point commun à plusieurs éléments de V correspondrait à un point pris dans un seul élément de V, et pour le cas tout à fait général où un point commim à plusieurs éléments :,, ..., :;, de V correspondrait à un point commun à plusieurs éléments
=;..... e;,. de V.
.NOTE Sni ni'KLQlES AIM'I.IC A TIONS PF. l/lNfilCr: IlK KUONE'KF.K 4^7
Si les deux varii'U''s sont sans points multiple;;, il sullira [tour cela que chaque point de V soit aussi un point de V et inversement.
En particulier, nous ne changeons pas une variété en subdivisant un oti plusieurs des tétraédroïdes qui correspondent à ses divers éléments en tétraédroïdes partiels, ainsi qu'il a été e^pliqué plus haut n" 10 .
14. — Ajoutons qu'on peut avoir à considérer deux variétés V et V m fois étendues entre les points paramétriques desquelles existe une correspondance de l'espèce mentionnée dans ce numéro, mais sans que les valeurs des a; soient les mêmes aux points correspondants, ni même que l'entier n soit le même pour \ et pom- V. Deux variétés de cette espèce sont dites homéomorphes et l'étude des propriétés qui leur sont communes constitue V Ana/ysis siliis.
15. — Aux changements de représentation paramétrique dont nous venons d'indiquer la possibilité se rattache une hypothèse supplémentaire que l'on fait en général — et que nous ferons dans ce qui va suivre — sur les variétés ^ envisagées.
Quel que soit P pris sur \ , on admet que, parmi les iliverses décompositions de ^ en éléments que l'on peut eflectuer conformément à la conception précédente, il en existe au moins une dans laquelle P n'appartient qu'à un seul élément.
Cette hypothèse est distincte des précédentes : certaines variétés admissibles sans elles sont exclues par son intervention ( ',•
(') C'est, par exemple, ce cjui arrive pour le volume du cône avant pour base une couroime circulaire. Un tel volume est dccomposable en parties avant chacune une correspondance parfaite et continue avec un tétraèdre j mais le sommet du cùne doit être commun à deux au moins de ces parties.
Soit encore le tore représente par les équations
X = cos '!f r -\- a cos '.p) , y = sin ô [r -\- a cos '.p) , - = a sin a,
où » et 'il sont considérés (mod. 3 ~). Déduisons-en la variété trois f(jis étendue de l'espace à quatre dimensions
2] ::= l COS 'V r + a cos ç), 1.2 = / sin -L [r -\- a cos O' , x^ = la sin » , x; = i cos 'i,
f variant de zéro à i. Cette variété est également décomposable en éléments, mais le point .ri = Xi = t^, = x, = o appartient forcément h plu.sieurs d'entre eux.
.WS I.NTUiUilC.T10> A I.A TIII'OIUE l»F,S K (t>C. riO>S
16. — La variole \ sera iVuii seul tenant, si on [)eut passer d'un ôlt'iucnl quelconque à un autre également quelconque par une chaîne d'élénicnls dont chacun est contigu au précédent suivant une face.
Elle est fermée si toute face est commune à deux éléments. Dans le cas contraire, l'ensemhle des laces n'appartenant chacune qu'à un seul élément constitue \îi front ibrc S de Y.
Celle frontière, qui est une variété m — i fois étendue peut n'être pas d'un seul tenant ; mais elle est nécessairement Jermée, comme on s'en assure aisément ').
17. — Dans tout ce qui précède, l'ordre dans lequel étaient rangées les coordonnées du point paramétrique dans chaque élément, — ou, ce qui revient au même. l'ordre dans lequel étaient rangés les sommets du tétraédroïde correspondant — restait indilTérent.
Convenons maintenant de faire intervenir cet ordre, mais seulement dans la mesure suivante :
Nous partagerons les m -t- i I [)ermutalions auxquelles on arrive en rangeant de toutes les manières possibles les [m -t- i sommets du tétraédroïde en deux classes suivant la méthode employée dans la théorie des déterminants, autrement dit, en mettant dans la même classe toutes celles qui sont telles que le passage des unes aux autres soit une permutation alternée.
>Jous ne choisirons pas entre les permutations d'une même classe; mais nous choisirons entre les deux classes et ce choix sera ce que nous appellerons orienter le tétraédroïde.
Nous ne diminuerons d'ailleuis pas la généralité en supposant que la classe choisie est la première (c'est-à-dire comprend l'ordre naturel) et c'est ce que nous admettrons dorénavant.
A une orientation déterminée du tétraédroïde T, correspond évidemment une orientation déterminée pour chaque face, qui sera dite en résulter : on l'obtient en rangeant les //; sommets de
(*) Les éléments / tte S étant des faces de V, les faces a de S sont des arêtes primaires de V. Si l'une de celles-ci n'appartient qu'à un seul élément de V, l«s deux faces qui comprennent a font partie de S et sont conliguos. Si elle est commune à une série d'éléments conligus les uns aux autres (et dont le dernier n'est pas contigu au premier, du moment que a est frontière^ les deux faces extérieures des ('lémenls extrêmes font partie de S et sont contiguës suivant a.
>(»TE SI l« QlKLOlKS Al'l'l M. v TIO.NS |ii: I. IMtli.K lii; Kltn.NF.t.KKIt 44tJ
celle face dans un ordre tel que. en les faisant précéder du sommel opposé, on ail, entre les (m h- i sommets de T, une permutation de la première classe. Mous dirons que cette orientation est celle qui irsullc, pour la face considérée, de celle du tétraèdre.
Deux éléments d'une variété V étant contigus suivant nnc face, nous dirons que les orientations de ces deu.x éléments ronconJcnt si 'au sens qui vient d'être expliqué elles n'entraînent pa< la même orientation pour la face commune.
18. — Après avoir orienté d'une manière arbitraire un des éléments de ^ . choisissons les orientations des éléments conligus à celui-là de manière à ce qu'elles concordent avec la première, puis opérons de même pour les éléments conligus à ceux dont l'orientation vient d'être déterminée; et ainsi de suite. Si Y est d'un seul tenant, nous arriverons à orienter ainsi chaque élément de V.
Comme il existe, en général, plusieurs moyens de [tasser d'un élément à un autre par l'intermédiaire d'éléments contiçrus, il se pourra que des orientations obtenues dilTèrent suivant le mode de passage adopté. Dans ce cas. V est dite unilalère. Si. au contraire, on ne rencontre jamais une telle contradiction, la variété est dite hilalère.
Nous su[)i)osons dorénavant notre variété V bilalère et orientée de manière à ce que les orientations tic tous les éléments concordent. Ceci n'est possible que de deux manières diiïéientes si V est d'un seul tenant .
19. — Nous appellerons enfin vokiinc dans l'espace à n dimensions une variété n fois étendue de cet espace, siqtposée sans point double.
Nous ap[)ellerons surfice dans l'espace ii /; diinensions, une variété ii — i fois étendue de cet espace.
20. — La notion de l'intégrale multiple, ainsi que sa réduction à des intégrales sim[)les et les changements de variables que l'on peut elTecluer sur elle, peuvent également s'exposer sous forme entièrement arithmétique. Je sup[)Oserai ces propriétés établies ' .
'; Leur (iLinonslralioii pourrait i>rcscnlcr quelque difficulté |iour les domaines les plus généraux. .Mais, dans ce qui va suivre, le domaine d'intégration sera toujours soit un télraédroïdc, soit le volume compris entre deux
Ta!«ni;b\ II. — Inlioiluctioii i la Théorie des fonction» 09
IMUOlilCTKl.N A LA TlILOlîlE I»KS PONCTIONS
On peut, dès lors, on déduire la formule de Green. Je me conlenlerai également, pour plus de rajiidité, d'énoncer cette iwmulc qu'il est aisé de démontrer en suivant la voie classique.
Soient, dans l'espace à H) dimensions lieu du point x"i,... Xm), im volume V limité par une surlace l'rontière S et, dans ce volume, m foTJctions '|i,... '|i,„ de Xi, X\,... x,„, lonclions contitinues et admettant des dérivées du premier ordre inté^n-ahles. Sur un élément de S, la position d'un point sera définie par m — i coordonnées iVi, v>,... r,„-i, par exemple m — i des coordonnées barxcentriques du point paramétrique par rapport au tétraédroide qu'il décrit. .Nous supposerons ces coordonnées rangées dans un ordre tel que îe déterminant ,
tx.
itX.,
ix^
il',,,—! i>V„i—l
soit positif toutes les fois que la direction '7.v,... a,„) est dirigée au point considéré) vers linlérieur de ^ . Alors on aura
dx,„
dx„,
dvi
dvi
dx,
dx,„
] dxi ... dx„
di'i
tv„
Dans celte formule, l'intégrale /n"^'« du premier membre est étendue au volume \ ; l'inléirrale m — i^^i'ic ^lu second mem-
tétraédroïdes dont l'un est intérieur à l'autre (volume qui peut d'ailleurs être lui-même décomposé en tétraédroïdcs).
La formule du changement -de variables n'aura, dans ces conditions, à être établie que pour les changements de variables linéaires.
\(iTi: SI II oltXULhî» AI'l'LlCATlii.Nvi |)K L l.NLilCli lli: KKOMCCKI.U ,'45 I
l)iv est élonclue à lous les clcmenls de S, les v élant, dans chucuji d'eux, des coordonaées rangées d'après la règle qui vient d'èUe expliquée.
