III. ORDRE D'UN POINT PAR RAPPORT A UNE SURFACE

23. — Ces préliminaires posés, nous pouvons définir l'ordre d un point par nip[)ort à une surface fermée S de l'espace E„ à n dimensions.

Soit une telle surface définie comme il a été indiqué dans ce qui précède [)résentant d'ailleurs ou non des points doubles . Supposons provisoirement que, dans chaque élément, les coordonnées Xi,.., x„ de l'espace E„ admettent, par rapport aux paramètres Ui,... iin-\, des dérivées partielles du premier ordre continues. Dans le passage d'un élément à un autre contigu, les x ne seront, au contraire, assujettis qu'à être continus : ceci, d'ailleurs, entraîne visiblement l'existence et la continuité des dérivées (premières

• la face

des X par rapport aux paramètres v n"

commune à ces deux éléments.

Considérons alors l'intégrale

.^rr,

ox„

Ml

dUi

fa;,

diii ... du,,

étendue à toute la surface S et dans laquelle /• désigne la quantité positive

r = \'xf -t7 ... x^

.>(»TK .S( « ôLELOLE?^ AI'IM.ICATln.NS DK l'i.NDK.K ItK Kr.nNF.CKRIt /j.J.'i

pendant qiio »,,... //„, sonl, clans chaque clément, les coordonnées du point paramétrique, rangées n" 21 conformément à l'orientation de l'élément ! ' :.

Cette intégrale a un sens du moment que l'origine des coordonnées dans En n'appartient [)as à S. On constate immédiatement qu'elle ne change pas de valeur :

n] lorsqu'on multiplie Xi,... x„ par une môme quantité positive A confiante ou variable avec les a pourvu quelle soit continue et dérivahle dans les mêmes conditions cjue les x eux-mêmes ;

h lorsqu'on effectue sur les x n'importe qu'elle substitution orthogonale à coefficients constants et à déterminant égal à -i- i.

Soient, de plus, S et S' deux surfaces fermées, ayant un certain nombre d'éléments communs. Supposons-les bilatères et orientées de manière que l'orientation de chacun des éléments communs en question soit, dans S, inverse de ce qu'elle est dans S'. Alors, si on forme une nouvelle surface évidemment fermée et bilatère comme les premières) en supprimant ces éléments communs et réunissant les éléments restants — surface que nous nommerons la résultante de S et de S — l'intégrale (ii) prise sur cette résultante sera la somme des intégrales relatives aux surfaces composantes S et S'. Ceci est une conséquence évidente de la forme de cette intégrale.

24. — La propriété fondamentale de l'intégrale ii), lorsqu'on l'étend à une surface fermée, est la smvante : On a

(12 i I ^ oj . K„

où K„ est une constante numérique, dépendant de // seul i^, et 'ji un entier positif, nul ou négalifj.

Pour l'établir, nous supposerons la démonstration faite pour toute valeur de n inférieure à celle que l'on considère.

Nous [)OM;'rons ensuite

r„ = -h \/x\^... -^xl

('> C'esl-à-iJIre à celle du létraédroïdc qui lui donne naissance.

C*) K, n'est aulrc que la surface de la sptière dans l'espace à n dimensions.

!iô>

IMnoitrC.TIO.N A lA TlIKOltlK llKS FONCTIONS

cl nous désignerons par 0 l'angle défini par les deux équations»' concordantes

cos 0 = '^' , sin e = ''o , r r

cet angle étant supposé compris entre o et z (ce qui est possible, puisque son sinus est positif . La dinérenticlle de 0 est liée à celles des X par la relation

— sin 6 (/0 = ^gf^J^i — x^{x.,dxî-+- ... -h x^dx,,)

ce qui permet de mettre la quantité sous le signe I ••• | dans! sous la iorme

, o\ sm"-2 (i3) -jj^

OÙ, par exemple,

[iS')

Xn

bd

ôXj

dx„

au,

ôO

dX,

dx„

ÔU^

dU.^

ô*) dX.^.

dx„

sin"— 26 v^ ôO .

<)U„-i ÔU„-i <~>U»l

Soit alors F (6) 4- h [h étant une constante arbitraire^ la pnmitive de sin"~^ S, autrement dit soit

F'(0) = sin"-^ 0 ;

la quantité (i3; pourra s'écrire

(i4) avec

2,fc

As,. 4--

L'ensemble des termes de i V qui ne figurent pas dans (i3), savoir

i.fc

est, en effet, nul l'indice / variant de 2a/;: h, de i à /? — i).

.NOTE Sl'll ufEI.OlKS AIM'IJC.» tlo.XS l»i: I. IM>lt:K IlE KKoMXKEl! \J.>

C'esl ce qui résulle tie ridciillU'. l'acilt' à vérifier ' [)Oiir // toiictiuMs (lérivables, (|uelctjiiqucs \,, \^. ... X„ de x,,, ... .r„.

du,

A,., \o + A,., X, (Ao.„.X,-t-...)

dX., dX,

dx„ ) D'u^, ..., u„,) '

en V faisant X, ^

àX.,

et observant que l'on a

La forme 'i.Vj donnée à l'élément d'intégration permet de lui ai)i)liquer la formule de Green, tant que les fonctions 'b seront continues :^nous aurons sous cette réserve, et en transformant le résultat par le théorème coanu sur la multiplication des déterluinauts,

. Xn

dX.^

àXn

dVi

dv,

dVi

(^V^dv.,... (.

ôO-j

ÔX3

dx„

àV„.,

àVn^i

IVn

La sommation 2i est ici relative à toutes les faces de tous les éléments de S. Les coordonnées v doivent être, sur chacune de ces faces, formées et ranjj:ées comme il a été expliqué au.\ n"" 20, 21, l'orientation de chaque face résultant de celle de l'élément auquel elle est empruntée.

Puisque la surface S est fermée, chaque face figure ainsi deux fois et id'apiès les hypothèses et les conventions précédentes) avec des orientations inverses dans les deux cas.

Donc les deux termes relatifs à cette face, dans l'expression 16), doivent ac (Iclrnirc, si du moins le noaihre h a la même valeur de part et d'autre.

('; Celte idenlilé, où les .\,,t sont les quanlitcs dclinies par (i3), (i3 ), est bien connue pour le cas »le X>, ..-, \n constants : elle intenrient dans la théorie du mulliplicali-ur ('voir Jordan, (ioursal, e*e., Traités d'Aaalyse).

'lOb I.NTIUUll CTUt.N A LA TlllXHm: l»i;S KONCTIO.NS

25. — Mais loul ceci est siirbonlonnc à la légilimilé de la foriniili' i(> . Celle ci n'esl établie, (|uanl à picseiil, que si r^ ne tlexicnt jamais nul, c'est-à-dire si la droite

ne coupe pas S.

Dans ce cas, en faisant li = o dans tous les élénienls, on voit que I est nul.

Plus généralement, l'intégrale (ii) est mille ,si l'on peut mener par l'oriijine une droite fjuelconrjiie L) '/ni n'ait anenn point commun avec S.

Car, moyennant une tiansformalion orthogonale qui ne change pas I, nous pourrons ramener D à être l'axe des ic,, c'est-à-dire à être représentée par les équations ^17}.

25 bis. — Abandonnant ce premier cas, nous allons néanmoins commencer par faire certaines hypothèses particulières.

Nous supposerons d'abord qu'aucune droite issue de l'origine ne coupe un même élément de S en des points situés de part et d'autre de l'origine. Cette première hypothèse ne diminue pas la généralité : il suffit, pour la vérifier, de rendre, par subdivision, s'il y a lieu, les éléments assez petits pour que la distance de deux points d'un même élément soit toujours inférieure au double de la distance minima de l'origine à S, ce qui est possible en vertu de la continuité des x.

Nous supposerons ensuite l'existence d'une droite D dont l'intersection avec la surface satisfait aux conditions suivantes :

D ne rencontre aucune face.

Tout élément rencontré par D est tel que les x y soient des fonctions linéaires (en général non homogènes des u. Il n'est d'ailleurs rencontré par D qu'en un point unique (' .

Un tel élément est évidemment lui-même (et non plus seulement dans sa représentation paramétrique) un tétraédroïde, lequel pourra toutefois être dégénéré.

Les conditions que nous venons d'énumércr sont, en particu-

0) Ces suppositions n'ont rien d'essentiel. Elles ont seulement pour but d'éviter certaines complications du cas général.

Mili; M li n( l.l.(.il i;s VI'l'l.M'.ATlONS I)F. l.'l.MHCi; IM-, K IHiM.r.K i:it \7)-

Wvv. \t riliables si, cl;ins loul ck'iucnl de S, les x soiil liiiéaiies [)ar rappuil aux u, auquel cas S «si dilo une surface polyédralc lenm'e ' .

On peul même assujettir D à èlrc aussi voisine qu'on le veut d'uiK' tliiMlo arbilraircnient donnée D^ passant par l'oriyine.

26. — Nous admcllrons, comme tout à l'heure, que D n'est autre que l'axe des j;,, lieu des points oii }\ est nul. Sur cette droite, 5 sera égal à zéro ou à ;:, suivant le signe de x,.

D'après cela, les éléments S pourront être divisés en trois catégories :

1° Ceux sur lesquels 5 ne devient égal ni à o ni à ~. La valeur correspondante de h sera prise égale à zéro;

2" Ceux où l'on aura une lois et une seule 5 = o (de sorte qu'on ne pourra pas avoir 5 =: -). Nous prendrons alors /i= — F(o) ;

3" Ceux où l'on aura une fois et une seule) 5 = -. Nous prendrons alors /i = — F 't: .

Moxennant ce choix de h, la formule (i6) est valable même si S contient des éléments de deuxième ou troisième catégorie, bien qu'alors les fonctions 'b cessent d'être continues.

Poiu" le démontrer, supposons, par exemple, que tous les éléments soient de [ircmière catégorie, sauf un seul £, qui sera de deuxième; c, contiendra donc un point P, tel que

Soit (a'^, ..., «,^, le point paramétrique auquel correspond P,, lequel est intérieur au tétraédroïde T, qui donne naissance à £,. La formule de Green sera assurément applicable si, de Tj, on retranche l'inléricur d'un tétraédroïde r, contenant également (à

C) Si les X sont linéaires par rapport aux u, le fait que D rencontre une face ou celui qu'elle a plus d'un point commun (cl, par conséejucnl, une infinité de points communs) avec un élément, s'exprime par une équation linéaire non identique (ou quelquefois plusieurs équations) de la forme

ïj. ..-. ;,. étant les coordonnées d'un point quelconfpie de la droite et les A des constantes non toutes nulles.

On peut toujours choisir les ; (mrmc au voisinage de quantités données; de manière à ne \érifier aucune des relations ainsi écrites.

138 i>TH(»r»t(:Ti(»\ \ i.a iiikimsik i>ks it).\(:Tio.NS

son inicricur le \)o'n]l parainôlriquc u", .... Ou pourra donc écrire la rormnlc il) si l'on atlmel :

I" que rinlé^nale 1 n'esl pas élcndiie à loule la surface S, mais seulement à la surface ouverte S' qu'on déduit de S en en supprimant la partie de ;, qui correspond à t, :

2° que, dans l'intégrale n — 2"P'« du second membre, on doit rajouter des termes correspondant à la frontière de r, (chacun de ces termes ne ligurant qu'une fois, conirairement à ceu\ qui correspondent aux faces de S .

Soit / l'ensemble des termes en question, je vais démontrer que / tend vers zéro lorsque le lélraédroïdc t, tend vers zéro dans toutes ses dimensions sans cesser de renfermer le point Pj.

Remarquons, en effet, qu'une demi-droite quelconque issue du point paramétrique (a", ...) coupe en un point unique la frontière de cliac'-in des tétraédroïdes Ti et r,. Dans l'espace E„, ces points donneront des points de £, en ligne droite avec Pi et qui. puisque les n — I dernières coordonnées de P, sont nulles, se déduiront l'ime de l'autre en multipliant chacune des coordonnées en question par un même facteur positif. Il en résulte, d'après ce qui a été vu plus haut, que, si l'on fait abstraction du facteur [F(S) + h], les éléments d'intégrales correspondants sur la frontière de T, et sur celles de Tj seront identiques ; car le facteur [F 'S] -+- h] toujours mis à part l'intégrale du second membre est de mom€ forme que I avec le simple changement de n en n — i.

Or, l'intégrale relative à la frontière de T, a un sens même lorsque l'on remplace chacun de ses éléments par sa valeur absolue. Soit Ig la valeur obtenue dans ces conditions. On aiira

a désignant le maximum de j F 5 -h /i|, c'est-à-dire de I F '5) — F(o) I, sur la frontière de t,. Or, ce maximum tend vers zéro avec les dimensions de r, puisque d e«t égal à o en P, .

Donc, moyennant le choix indiqué de h, la formule ^i6^ reste valable dans ces conditions; et ce résultat s'établirait de même dans le cas d'un nonjbre quelconque d'éléments de 2* ou de 3" catégorie. Il suffirait de Hiire dans diacun d'eux la construction que oGus venons de faire dans £, .

Nori? SIR QJ'EI.nL'ES APPLICATIONS IH', 1. IMiK.lv 1>K KlUiM r,Ki;i! |.M)

27. — Nous avons vu, d'autiv pari, que les lermcs en h snljsisleiil seuls, tous les autres se délruisant sur la surface fermée S. Donc, il vient :

(18) l = J.I"\o) + JJ-»,

J'i et .1^ désignant respectivement les intégrales

I "1 rir'

dX.^

àv ^

dx.^

dX3 àVn-i '

■ ÔH„2

(/;;, di'.^ ... <h\,-i

étendues, l'une, à l'ensemble des frontières des éléments de 2' catég-orie et l'antre, à l'ensemble des frontières des éléments de

3" catégorie. On a d'ailleurs

Ji + J2 = O'

comme on le voit en remarquant que le second mend^re de 18) doit être indépendant de la constante addilive qui reste arbitraire dans F. On peut donc écrire

Or, comme nous l'avons déjà remarqué, l'intégiale 11') est de même l'orme que I avec cliangement de n en n — r ; et cette intégrale est étendue à un système de surfaces fermées de l'espace E„,, à savoir, celles qu'on obtient en pvojcbinl '\ sur E„, les frunticres des éléments de -.i catégoriede S et qui nesontd'aillcurs autres que les fronlières de télraédroïdes à // — 2 dimensions. En vertu de nos liypothèses, il en résulte

les ',) étant des entiers, qui correspondent respcclivemenl aux diverses surfaces fermées dont il vient d'être question.

|i '( l'rojclcr sur l'espace E„., une ligure de l'espace E, » signifie sini[)Icnienl, en langage anal}liquc, faire abslraclion de l'une des coordonnées ici a-|).

/jGo I.NTUOhl CTlON A I.A TU 1:0111 1: DliS lOXlTlO.N^

Ceci donne bien pour I une valeur de la forme (12 : il suflil de délinir k„ par la relation

k„= K„, j sin"-^ m.

Une fois les nombres K„ définis par cette relation de récurrence avec K, = 2 , notre conclusion est démontrée par ce qui précède, rar, pour n = 2, l'expression (11; se réduit à

- / ' ,~^. Ix, ^'•^' - :r. '''A da = fd (arc Ig ""A

c'est-à-dire à la vurialiDn il' argument précédemment considérée; elle vérifie, par conséquent, notre proposition.

28. — L'entier oj (|ui figure dans la formule .12^ s'appellera Vorilre de l'oriyine [)ar rapport à S.

L'ordre dun point quelconque a,, ..., a„ (non situe sur S) s'obtiendra en remplaçant dans la formule (11) x^, ..., Xn par

Cet ordre est nul, en vertu des considérations précédentes si, pai' le [)oint envisagé, on peut mener au moins une demi-droite et non plus même une droite entière) qui ne rencontre pas S.

Si S est la frontière d'un tétraédroïde auquel l'origine est intérieure, la demi-droite définie par l'équation 6 ^ t: coupe S en un point et en un seul. L'ordre de l'origine est alors ^- i ou — i, suivant que le déterminant (10) est positif ou négatif.

C'est ce que l'on vérifie sans difliculté dans le cas de /t = 2 i^oîi S est la l'rontière d'un triangle . il est aisé de passer de là, par récurrence en appliquant ce qui a été dit au n" 22 . aux autres valeurs de /!, puisque, comme nous l'avons vu, J, est toujours formé d'ordres relatifs à des tétraédroïdes ici, à un seul tétraédroïde) à n — I dimensions.

De plus, on déduit évidemment île là une expression de l'ordre relatif à une surface polyédrale fermée quelconque : on a

IN, -+- iS^j étant le nombre total des points où une demi-droite D' issue du point a,, ..., a„ coupe S et l'un quelconque de ces

NHii: srii uiKi-oi i:s U'I'I.ications kk i.'indici: m: kkii.mcckkh '|(ji

[)uinls ôlant com[»lc dans N, un dans .\^ suivant que les n somniels de réiémcnl qui contient ce point, une fois rangés dans l'oidie qui résulte de l'orientalion de cel élément et précédés d'un sommet situé à l'origine, donnent ou non un téliaédroïde d'orientation conforme à celle du système de coortionnées.

2£. — Si les X sont simplement dérivables par rapport aux u dans chaque élément, sans Nérifier les hypothèses [)articulièresque nous venons de faire, la valeur de l'inlégiale I est encore de la forme (12 ,

Ce l'ail n'étant pas, connue on va le voir, entièrement indispensable à ce qui va suivre, nous on résumerons simplement la démonstration en disant que toute ptiriion T de S voisine ', de D peut être remplacée [)ar une autre T peu dilîérente de la première et telle que, dans tout élément de T' rencontré par D, les x soient des fonctions linéaires "•' des a. L'int('i.'iale I prise sur la surface ainsi modifiée S' a la même valeur que sur S : l'ensemble de T et de T' forme, en elTet, une surface fermée 7 telle que S puisse être considérée comme la résultante de S et de la surface ou des surfaces 7 ; et l'intégrale relative à 7 est nulle parce que 7 est sans point commun avec n'im[)orle quelle droite D ayant pour une de ses équations x, = o.

S' satisfait aux conditions moyennant lesquelles la relation i 2j

(1 l'our préciser, on fera entrer dans T loirt clr'inent -. a^alll un [)oiiil commun avec D et loul c'Iûrnent =' conligii à un éliment t.

(-) liemplaçons cliaque élément i ou =' par le lélraédrcïde e ou e' qui a les mêmes sommets : autrement dit, remplaçons les coordonnées x d'un tel élément par les quantités x' définies [lar les formules (20J (voir plus loin, n°30): nous obtenons une nouvelle surface ouverte T(. D'autre part, joignons chaque point de la frontière Je T (laquelle est constituée par des faces 1" empruntées aux éléments i au point correspondant de la frontière de T', : les segments de droite ainsi tracés forment une nouvelle portion de surface 1^. T sera l'ensemble de i ', et de l'i.

Si la sLibdivisioii des éléments a été poussée assez loin, xi ne s'annulera ni sur T ni sur T'. De plus, soit f, le minimum de r,y sur la frontière de T. Si (après a>oir formé T, mais avant d'en déduire T) on a subdivisé les éléments t de manière que, dans ctiaque face V de cette frontière, la distance de deux points quciconrjues soit inférieure à c, la partie T.^ sera sans point commun avec D.

Ouanl à la condition rpie D ne runconlre pas les faces, elle se réalise, comme nous ra\ons \u, en don:iant au besoin un déplacement très petit à D.

.'r6j I.NTKOUICTIO.N A LA TJIKOIUE l»I'S I O.Nt:TIO.\S

avait été déiîiontiée tout à riicure. Celle relalion est donc aussi vraie pour S.

30. — ^ais il ji'esl pas nécessaire d'insister sur celle évaluation de Tordre dans le cas des coordonnées dérivables. >>ous pouvons, en elïel. [lasser direclcment du cas qui a l'ail l'objet du n" 25 6/\ au cas tout à fait général oîi les x sont des l'onctions continues quelconqueî^ des [)aranièlres.

11 nous sullira, [)our cela, de remplacer encore ces fonctions Xi, ..., x,, par d'autres x[, ..., x'n qui en soient voisines et qui, dans chacun des éléments ^^aprcs une subdivision con\enable de ceux-ci, soient des fonctions linéaires d<'s n.

Pour former ces x' , nous supposerons les éléments rendus, par subdivision, assez petits pour que, dans chacun d'eux, l'écart de chacune des fonctions continues x soit plus petit qu'un certain nombre r,.

Ceci fait, nous remplacerons chaque élément par le tétraédroïde dégénéré ou non qui a les mêmes sommets : autrement dit, désignant par

4ii)

les coordonnées des n sommels d'un élément, nous prendrons, pour un point quelconque de cet élément,

'20) x\ = t^x^^^ -\- t^x[^^ -\- ... H- <„af|"' (t =1,2, ..., n),

en appelant /,, t^, ■■■, l,, les coordonnées barvcentriques absolues) du point paramétrique correspondant par rapport au tétraédroïde qu'il décrit.

Il est clair en vertu de la relation /, 4- ... -1- /„:= i j que x'^ est compris entre la plus petite et la plus grande des quantités

Il en résulte évidemment que la dillérence Xj — x[ est, dans tout l'élément considéré, inférieure en valeur absolue à 2/;.

Nous substituerons, pour le calcul de l'ordre, les x\ aux Xj, ce qui nous ramènera au cas j)récédemment traité : autrement dit, nous substituerons à S un polyèdre (V approximation, et nous déh-

-NOTb; SL'U M( laolKS AI'I'I.K.AIIO.NS ItK l.'l.MiK.I. ItC KIIONKCKKU /|C3

nirojis Tordre par ru[)[)Oii à S cuiiiuic l'iaiil l'ordre [)ar raj)[>ort à ce polyèdre (').

Pour JégitiniCi' celle défiiiili(jn, nous allons faire voir que lu valeur (le 0) esl 1(1 même de (/nehjae mniiière (jae soient ehoisies les fonelionx j- (tiiisi sahstiluées au.r x, [xturvii que Y, soit assez nelit.

D'une manière précise, il sullira que r, soit inlérieur à la plus petite dislance réduite \()ii- le n" 271 du fcxlc du point

'U,, ..., Un à S.

Considérons eu elVet un ^ec()^d polyèdre d'approiinialion, autrement dit un second système de lonclions x'[, xl, ..., x-J, voisines des X, formées d'une manière analogue aux x . Supposons que les différences A"' — x-, soient également toules inférieures en valeurs absolues h 2t,.

Ce second polyèdre d'approxinmtion sera déduit d'une décomposition des éléments de S différente de colle qui a fourni le premier. Soient par exemple t,, les tétraédroïdes en lesquels a

été décomposé T, dans le premier cas ; -'[, ceux en lesquels il

a été décomposé dans le second cas. On pourra trouver une troisième décomposition en tétraédroïdes r"' qui soit une subdivision de Taxe commun de l'autre des deux premières (^).

Dans chaque létraédroïde t'", les x- comme les x"-, sont des fonctions linéaires des a; et il en sera par conséquent de même de chacune des quantités

oij y. est un -paramètre positif quelconque.

Le lieu du point q,, |^, ..., |„; est une nouvelle surface |>rtlyédrale fermée 2i, laquelle dépend du paramètre u..

Moyennant l'hypothèse faite sur r,, il n'arrivera pour aucune des valeui^s positives de y. que ^ passe par le point «,, ..., a„ .

(') I)aii-5 l'csjtace unliiuilre, par exemple, on remplacera S par nu jiolvèdre inscrit à faces suffisamment petites.

(-1 Si les deux lélraédroïdcs tj, t',', par exemple, ont une région cumniunc (c'est-à-dire s'ils ont en commun des points non frontières^, celle région est un poJv<Jdre coiivene (cf. page \'\'.^, note a) c|uc l'ou [K>urra d('composer en tétraédroïdes ; et on oj)ùrera de mèiuc pour chaque lélrai'droïde -J combiné avec clia([iie létraédroïde t".

/|6.'j IMKOIU C.riO.N A I.A TMKOIUE l»ES roNCTIONS

En elTcl, z, est pour y. >• o conii)ris entre .r', et x", par conséquent entre .r, — 2/; et .r, -4- -ir,. Or par liypothèse, en chaque point de S. l'une au moins dos quantités | x, — a, | est su[)érieure à 2/;.

Dès lors, Tordre de notre point par rapport à 2i est déllni pour toute valeur positive de ij., et ainsi que cela se voit sur l'expression f I 0^ varie continûment avec y..

Comme cet ordre est par essence un nombre entier, il reste nécessairement constant : il a donc la même valeur pour u. = o et pour u. =^ y: , c'est-à-dire pour les deux surlaces polyédrales envisagées.

Il résulte également de là que le résultat obtenu aurait été le même pour une autre surface fermée dont les points correspondent à ceux de la première de manière que la distance réduite de deux points correspondants soit constamment inférieure à r/ r/ désignant n'importe quelle quantité comprise entre o et v;, limites exclues .

On voit donc que l'ordre o) est conlina d'ordre zéro par rapport aux expressions des ./; en fonction des u : c'est-à-dire qu'il est très peu altéré et même ne l'est pas du tout si on altère les c de quantités partout très petites.

L'expression 1 1 ne mettait en évidence que la continuité d'ordre un : autrement dit, il paraissait nécessaire, pour alfirmer que oj était très peu altéré de s'assurer que non seulement les fonctions X, mais leurs dérivées par rapport aux u, n'avaient subi que des variations très petites.

C'est grâce à cette continuité d'ordre o que nous avons pu définir w par le moyen dune surface polyédralc d'approximation ;^).

31. — oj ne serait pas non plus changé si nous employions pour S un autre mode de représentation paramétrique, puisque sa délinition })ar la formule ^19 appliquée à une surface polyédrale voisine de S ne dépend pas de cette représentation.

En un mot, o) est bien une quantité complètement déterminée

(') L'aire il une surl'ace courbe dans l'espace ordinaire est conlinuc d'ordre i seulemenl par rapport à la forme de la surface. Aussi ne peut-on pas la définir par un polvèdre d'a[)proximalion sans précautions spéciales.

NOTR St'll QdF.l.orKS APPLICATIONS ItK l.'l.MlICK l»K Kr.O.NKCKKIl ^(05

quand on donne la sinlacc S et le poiiil (ap... n„) non situé sur cette surlace.

Il reste constant laiil (|iic le p(jiiil en (jueslion varie eonlinriment sans traverser la surface.

D'une manière générale, on s'assurera aisément qu'il [)ossède, même lorsque les x sont simplement continus, les propriétés que nous avons constatées dans le cas où ils sont dérivahles, et que nous aurons à invoquer dans la suite.

31 bis. — Ajoutons que la combinaison de la formule (19) avec les résultats du n" 30 permet d'évaluer l'ordre dans les cas les plus simples.

Cet ordre est évidemment égal à ± i lorsque S est un polyèdre convexe et (a., ... a„) un point intérieur (puisqu'alors l'un des nombres N,, N^ de la formule (19) est égal à i et l'autre à zéro).

Il est de mémo égal à ± i pour la ftphi-re à n dimensions de centre a^, a.^,... <i„), comme on le voit en lemplarant une portion de celle-ci par une portion de plan.