IV. L'I^DICE DE KRONKCKEH
32. — De la définition de l'ordre d'un point par rapport à une surface fermée, on passe à celle de l'indice d'un système de fonctions sur cette surface.
Soit encore la surface S lieu du [)oinl (xi,... x"„) dans l'espace à n dimensions. Soient d'autre part/,, /.,..• /, un système de n fonctions continues de Xi,... x„ lesquelles quant à [)réscnt n'ont besoin d'être définies que sur S.
]^'iiulirc' du système de l'onclions/,... yj, sur S est par déliniliun l'ordre de l'origine des coordonnées par rapport à la surface qu'engendre le point dont les coordonnées sont/,... /,.
Cette définition suppose, d après ce qui précède, que/,.../, ne s'annulent simultanément en aucun point de S.
/i/.--» /*„ peuvent être regardés comme les composantes d'un vecteur el, en indiquant leurs valeurs en chaque [)oint de S, on définit une (lislrihulion vccloricUc continue attachée à celle surface.
TAiciEnv II. — Introduction à la Tliéorie îles fonctions 30
-H>(> INÏROIU'CTK» A I.A TllROIUK DES FONCTIONS
Une telle dislrihution a un indice déterminé sur la surface fermée du moment que le vecteur n'est nul en aucun point de celte surface.
33. — La propriété fondamentale de riiulice ainsi délini est relative au cas où S est la frontière d'un volunie V dans l'espace à II dimensions.
Supposons cette fois les fonctions y'i,... y„ délinies et continues dans tout ce volume et non plus seulement sur S. Supposons enfin que les équations
n'aient aucune solution commune à l'intérieur de V.
S'il en est ainsi, V indice du sYsIcmi' de fondions considéré sur S csl nul.
Pour le voir, commençons par remartpicr que si, en un point quelconque de V, nous appelons F la plus grande des n valeurs absolues |/i [, If-»],--- \fn\, cette quantité F est elle-même une fonction continue, laquelle ne s'annule jamais et admet par suite un minimum positif ^.
Subdivisons alors les éléments de Y de telle manière que dans cbacun d'eux l'oscillation de cliacune des fonctions /soit inférieure à g' [g' •< g). Soient alors s. l'un de ces éléments, s sa frontière. A cliaque point de cette dernière on peut faire correspondre un nouveau point ayant pour coordonnées /,,... fn '■ soit c la surface fermée décrite par ce second point. On peut toujours faire partir de l'origine des coordonnées une demi-droite qui ne rencontre pas 7. Car si, en un point déterminé de c,/i par exem[)le est la plus grande en valeur absolue des // fonctions, et qu'elle soit positive, ce qui entraîne/i >■ g, la fonction /i sera (puisque g' ■< g) également positive en tout point de £ ou de s : de sorte que la demi-droite fi= ... =^fii =^ o,/i <C 0 possède la propriété annoncée.
Il résulte de là que l'indice du système /i,... /„ est nul sur s comme cela a lieu sur la frontière de cbaque élément de \ et que S peut être considérée comme la résultante (n° 23) de toutes ces frontières, le tbéorème est démontré.
34. — Au contraire, l'indice n'est plus nécessairement nul si les équations (21; ont des solutions communes à l'intérieur de V.
NoTK srn QiiEi.ni'KS applications iiF. i/iNFiici: m: kuoneckf.h ^167
Par contre, en les supposant pour (ixci les idées en nombre fini et en clésij^mant par I\, ... P^, les points correspondants de \, l'indice rdatil à S est la somme algébrique d'indices [)artiels, dont cliacun est caractéristique de l'un des points solutions.
Si, en eiTet, on décompose Y en éléments, de manière que 1*, par exemple soit à l'intérieur (et non sur la frontière) d'un élément £1 qui ne contient aucun des autres points P, et que, de même, ceux-ci soient strictement intérieurs hp — 1 autres éléments distincts z>,... zj,, l'indice relatif à S sera la somme des indices relatifs aux frontières A',, S-,,... s,, de Cl,... 1,1 (tous les autres éléments donnant d'après ce qui précède des indices nuls). Il est d'ailleurs évident d'après cela que l'indice relatif à i,, par exemple, est indé[)endant de la forme et des dimensions de l'élément ô, sous la seule condition que celui-ci contienne à son intérieur le point solution P, et aucun des autres len particulier si petit que soit 1,). Cet indice dépend donc uniquement du point Pi et de la manière dont les fonctions / se comportent au voisinage de ce point.
Si les y ont des dérivées en P|, et que leur déterminant fonctionnel y soit différent de o, on peut montrer (') que l'indice partiel est égal à -t- t ou à — i, suivant le signe de ce déterminant fonctionnel.
Mais iKtiis retiendrons surtout la conclusion suivante : r-j dési- (jnant l'Indice du syslcnw J\,... fn sur S, l'incyalilc o) § o entraîne l'existence d'une solution commune aux équations (21} dans V.
35. — Le calcul de l'indice d'un système de fonctions sur une surface est souvent facilité d'une manière remarquable par le théorème suivant :
Théorème de Poincaré-Bohl. — Soient, sur une même surface fermée S, deux systèmes de /? fondions/,,/^,...,/,,: ^1, ^2' •••'.7"' tels que les éléments d'un même système ne s'annulent simultanément en aucun point de S.
Si ces deux systèmes n'ont [las le même indice, il existe sur S au moins un point tel i/ue l'on ail
1') Voir Pioard, Traite d'analyse, lonic il.
^t)8 INTUOnrcTHt> A I A TMKOlilK DKS l'O.NC.TIONS
('/, SI leurs milices ne sont pas entre eux dans le rapport ( — iV', // e.nste sur 8 an moins un point tel que l'on ait
Ce lliéorcinc a tlé clabll en 188G par M. l'oiiicaié ' et obtenu à nouveau d'une nianicic indépendante par .M. Bolil ('- en kjo^i.
Pour le démontrer, il sufiit de considérer les deux systèmes auxiliaires
et
i+fji' i -{- [X r-t-|Ji
oii a est un paramètre positif.
Si le système de relations (22 n'est \érilié en aucun point de S, le système de fonctions (28) a un indice pour toute valeur positive de u. et, d'après un raisonnement déjà présenté antérieurement, cet indice est constant quel que soit a. En faisant successivement a ^ o, + QO , on voit que ,/, j'.,, ...,/„) a même indice que ig^, <j,, ..., (Jn].
Si, d'autre part, les relations (22') ne sont vérifiées simultanément en aucun point de S, c'est l'indice du système (28'; qui restera constant pour toute valeur de 'x, de sorte que J\, f.,, ■■.,fn, donneront le même indice que — </,, — (/.,, ..., — (j„. Il en résulte (comme on le voit à l'inspection de la formule (1 1 )}, que les indices de /i,/^, ■■■> fn et de (/,, g.^, ..., g,,, sont entre eux dans le rapport ( — i ;".
Le théorème est donc démontré.
(') l'oixc.viiL. — Journ. de Molh., « Sur les courbes définies par les équations différentielles », 4® série, t II, [). 177 (i88()).
(-; BoHL. — Journ. fiir Mallt., t. lU-, i(jo!\. — Les énoncés donnés par les deux auteurs cités diffèrent entre eux et de celui du texte en ce tju ils j)articularisent (chacun d'une manière différente) le choix des Ibnctioiis r/. Mais leurs raisonnenienls (qui sont d'ailleurs également différents) s'étendent d'eux-mêmes au cas où ces fonctions sont prises arbitrairement. La démonstration que nous donnons ici est celle de M. I^oincarc.
NMTi: sru Ml i;i.ni KS applications m; i, imik.i. m; kisoneckkii ^(Gç)
Si les (Jcii\ iutlices considérés iic sont pas égaux eu valeur absolue, il léstillc des relations '^'^'i , ' 'l'i' . que la (juanlilé
/iî/i -^ J'ai 2-+- ■■■ -^^.kin
ne peut pas être de signe constant sur S.
