P.. , P, IV P

est compris entre ^j- et ^j . ^j' entre ^j et ^j ,...: en d autres termes on a

P P P I' 1' Qo Q. ^ <.>; ^ Q3 ^ Qi '

et, en continuant de proche en jiroclie,

Ainsi les termes de la suite indéfinie, on les indices sont pairs, I' P P.

vont en augmentant; ceux de la suite indéfinie

Vi Va v'-i/i - 1

(') .l'invoque ici celle proposition ])icn clcmcntalre d'algèhre ; si l'on considère l'expression

\x + ïi

oi'i A, 15, C, D sont des nomlircs fixes, tels que W) — HC ne soit pas nul, et dont les deux derniers G, D sont positifs, la valeur de cette expression, pour

toute valeur positive de x, est comprise entre ^ et ^; j'aurai encore à utiliser

la proposition plus générale que voici : si j-j, .r^ sont deux valeurs positives de X et y^, Y) les valeurs correspondantes de y, la valeur de y qui correspond à x est ou n'est pas comprise entre y\ et y^ suivant que x est ou n'est pas compris entre Xi et xy. Cela résidtc, si l'on a eut, de ce (pio v peut se mettre sous la

forme

AD — BC A C-^ ^ ~ C , n '

que l'on olilicnt en faisant la di\ision algéliri([uc de \x + 15 par Cj- -|- I); cette forme montre que y augmente ou diminue ipiand .r augmente suivant que AI) — HC est positif ou négatif.

TAîi.NKnv I. — IiilioJuclion à la tlicorii) îles fondions 4

5o IMUODLCriON A I.V TIIKOUIE DES FONCTIOXS

OÙ les iudlL-es sonl ini[>aii-s. vont cmi tlimiiiuanl ; un lenue f|uclconque de la suile (E) est plus pelit (|u"uu Icuiuo ({tiolcDiKjuc de la suite (E'). Ces diverses proposilions résultent aussi facilement des secondes égalités (2), (3). Ajoutons aux conditions déjà imposées aux nombres flo- <^i--., ««,••• celle d'être des nombres entiers (au moins égaux à i à partir de n,). Les nombres P„, Q,i seront entiers ; les nombres Q„ seront tous positifs ; ils iront en croissant, comme il résulte des formules (1) du n" 34 et, puisqu'ils sont entiers, ils croîtront indéliniment, quand ti croîtra indéliniment, c'est-à-dire que, quelque grand que soit le nond^re positif L, il existera un nombre entier m tel c|ue, pour n égal ou supérieur à m, on ait Q„ >> L. La même chose aura lieu pour les nombres P„ si a„ est nul ou positif; si a^ est négatif P, = a„ a. H- i, sera négatif ou nul, et celte dernière circonstance ne pourra se présenter que si l'on a ÛQ = — I, o, = I ; Po = a,, P, + Pq, sera sûrement négatif, ainsi que les nombres P3, P4,...; les valeurs absolues de Pi, P.,, Ps,... iront en augmentant et en augmentant indéfiniment avec l'indice.

Les fractions à termes entiers rf sont irréductibles pour /2 >■ i

•In

comme il résulte de légalité

P„Q.-I -P«-lQn = (- I)"-^ qui montre que P», Q,i ne peuvent avoir d'autre diviseur commun que l'unité ; ceci a encore lieu pour la fraction ;>' si elle n'est pas nulle.

La valeur absolue 7-^ — tt de la dilférence entre deux fractions

consécutives jy , r-f peut, pour des valeurs suffisamment grandes

de n, être supposée aussi petite qu'on le veut, puisque lorsque n croît indéfiniment, il en est de même de Q„; ainsi, il existe des nombres qui diffèrent aussi peu qu'on le veut pris l'un dans l'ensemble (E) des nombres c[ui constituent la suite (E 1 et l'autre dans l'ensemble (E') des nombres qui constituent la suite (E'j. Ces deux ensembles (E), (E), dont tous les éléments sont des nombres rationnels, jouissent des propriétés spécifiées au n" 17 ; ils définissent un nombre A compris entre deux nombres quelconques, pris l'un dans l'ensemble (E), l'autre dans l'ensemble (E').

ClIAPITIUi; I. FIl.VCTIONS CONTINUES 5i

36. — Si les nombres cnliors a^,, ai,.... a,„... ont ûlo déduils (lu nonil)rc irrationnel A par la suite des opérations qui ont été décrites au n'^ 33 et forment la suite ind(''liiiie des ([uotients incomj)lcts. auxquels correspondent les quotients complets A , A A,,,..., on a vu que ce nombre A. égal à l'un quelconque des nombres

était conqiris entre deux termes consécutifs de la suite des fractions limitées

ou des réduites

il ne peut donc être autre que le nombre défini par les deux ensembles (E), (E'); c'est d'ailleurs ce qui résulte encore des é<-'alités (^i) du n" 34, qui peuvent évidemment s'écrire, en donnant maintenant à \„ la signification de quotient complet correspondant à a,,.

A„ est plus grand que a„ et la diil'érence A„ — a„ est plus petite que i; enfin Q„i A„ + Q„, est plus grand que C^l-l <^n + Q»-2 = Qî ; ces égalités montrent donc que A est

Pn Pn

compris entre -^ — * et ^- , puisque les deux seconds membres sont

de signes contraires; que A est plus grand ou plus petit que —

suivant (|ue n est pair ou impair : tpie la dilTérence entre A et

-- ' est moindre en valeur absolue que „-^ — , d'où il suit, en

changeant// en /i + i, que la différence entre A et ^- est moindre,

\)-i l^Tnonl•(■.TIO^ a i..v Tiiiiouir: des FO^CTIO^s

en valeur absolue, que •^--^- ; on voil aussi, eu passant, que

P Pn

" a}i[n-oclie plus de \ que " — ^ : A est plus i^rantl que lonlcs les Q V" - 1

réduites de rang pair, plus petit que toutes les réduites île rang impair; il est compris entre deux nombres qnelconcpies pris^ l'un dans l'ensemble (E), l'autre dans l'ensemble (E), il est égal an nombre défini par ces ensembles, et l'on a une limite supérieure de l'erreur que L'on commet en cboisissant pour valeur approcbée de A \\n nombre pris dans l'un ou l'autre ensend)le. On peut avoir aussi mic limite inférieure de cette erreur; en eiVet la réduite

"-rnJ: est comprise entre A et ", en sorte que l'erreur commise

Qn + •> V"

en prenant -" pour A est supérieure en valeur absolue à la dilié-

rence entre les deux réduites ~, T^-^f et par suite, en vertu de&

équations (3) n" 34 supérieure à rz-ri^-^- et, a Joiilori,h.

Par exemple, si le nombre A dont on part est le nombre 7i, on trouvera les réduites successives

-, -^ = 3,1^2.... ^^^ = 3,1/,. oo,.., ^ ^3 = 3,T',.o.,2o...

37. — Ne supposons plus maintenant que la suite illimitée de nombres entiers a^, a,, ..., a,,, .-. ait été déduite du nombre donné A, mais bien que ce soit cette suite qui soit donnée; on suppose toujours, bien entendu, que les termes soient, à partir de (II, au moins égaux à un ; les conclusions du n'' 35 subsistent ; les ensembles (E), (E') définissent un nombre que je désignerai encore par A ; je vais prouver que si, sur ce nombre ainsi défini, on fait les opérations du n° 33, on retrouvera précisément, pour la suite des quotients incomplets, la suite même 0^, a^, ..., a„, ...

Tout d'abord les inégalités

où (li est plus grand que i, montrent que ciq est la partie entière

CIIAITinE I. lUACTIONS flOMlNLES 53

«le A f|ni. par suite, pciil èlie mis sous la forme

A — Oo -+- — ,

A, ilésif:nant un nombre posilifplus grand que i ; c'est le premier quotient comi)lct engendre par le nombre A ; puisque A est compris entre les nombres

qui a[i[)artirnneiil respectivement auv ensembles (E), (!•]), il faut que A, soit compris entre '/, et '/, h ; c'est-à-dire que ^/, est la

partie entière de A,. An lieu de continuer le raisctnnement sous lelte forme, ce qui serait d'ailleurs facile, raisonnons par induction : admettons que, en parlant du nombic A, défini par les ensembles (E), ; E), on ait fait la suite des opérations décrites au n° 33, qu'on ait trouvé n^, a,, ..., a,i i pour les premiers quotients incomplets et soit A„ le n'' quotient complet : A ou

P^^ A„-^P„, (J„rA„"-+-Q7-2'

devra être compris entre les deux fractions P„, a„ -4- P„2

P„l (fl„ H '- ) -f- P„-2

\ fin 1 /

qui appartiennent respectivement aux ensembles (E), (VJ) et, par suite, An ilcvra être compris entre a„ et '/„ -h ; '/„ est donc ia

partie entière de A„, c'est-à-dire le n" quotient complet. La proposition est démontrée.

Il en résulte que le nondjre A, défini, comme on l'a expliqué, au moven de la suite indéfinie de nombres entiers a^, '?,, ..., ({„, ..., est irrationnel, puisque, s'il était rationnel, il donnerait naissance à une fraction continue limitée.