Le symbole
où l'on imagine que les fractions s elagenl indéfiniment est, en supposant comme ci-tlessus rjue a^ soit un entier quelconque et a^, «2, «;„ ... des entiers positifs au moins égaux à un, est ce qu'on appelle une fraction conlinuc il/iinilre (arithmétique) ; on appelle valeur de celte fraction conliinic le nondjre irrationnel A dont la définition a été précisée plus haut ; inversement, ce nombre A, si l'on fait sur lui les opérations décrites au n° 33, engendre la fraction continue illimitée précédente, dont a^, Hi, a,^, ... sont les quotients incomplets : quant aux quotients complets correspondants, il convient de remarquer que, de môme que A engendre la fraction continue dont les quotients incomplets sont Qq, r/j, a.,, ..., le premier quotient complet Aj engendrerait la fraction continue illimitée dont les quotients incomplets sont a^, a.,, «3, ..., le n® A„ engendrerait la fraction continue illimitée dont les quotients incomplets sont a^, dn^ y, ^n ^-i, .-. Par exemple, si l'on prend, en général
on définira un nom])re irrationnel A, lié au nondjre c qui sera défini plus tard, par la relation
A = ^^tJ.
Il est clair que deux suites illimitées distinctes
Oq. o,. •••' «n
satisfaisant aux conditions précédemment expliquées, ne peuvent servir à former deux fractions continues illimitées
CIIAI'ITIU: I.
IHACTIONS CONTINUES
(loiil les \;t!eiirs soient égales, puisque la suite des (|U()lienls inc()ni[)lels est eiUièreuient déterminée |)ar la valeur de la Iraetion.
Au icste, si l'on eniplcjie les mêmes notations pour désij^'ucr les éléments analoi,nies formés avec les deux suites, mais en accentuant les lettres (pii se ra[)[)i)rlei;t à la seconde, on voit que si l'on suppose d'abord
fin
(t'n > On
et [lar suite
puis A', >> A„, les égalités P., A„-f-P„,
• / I „ — 1 An H- P„ — 2
montrent que A' est plus grand ou plus petit que A suivant que n est pair ou impair. On peut donc reconnaître l'ordre de grandeur de deux nombres sur leurs développements en fraction continue, comme sur leur représentation décimale.
