CHAPITRE VI. rOUMULE DES ACCROISSEMENTS FIMS SGq

CCS extensions que je n'en aurai guère besoin dans le présent ouvrage, où la considération des fonctions de deux variables n'est introduite qu'en vue de la théorie des fonctions d'une variable.

220. — Considérons une lonclion J'{n, v) des deux variables n, r déterminée dans l'ensemble (UV) des systèmes de valeurs attribuées à u, v qui satisfont aux inégalités

Je suppose que celte fonction admette des dérivées partielles y'î,, /, bornées dans l'ensemble (UV) ; elle est alors bornée dans cet ensemble : Supposons maintenant que u et v soient des fonctions de la variable x, déterminées dans l'intervalle (a, b), admettant dans cet intervalle des dérivées u' , v', et que les bornes respectives de ces fonctions u, v appartiennent respectivement aux intervalles (A, A), (B, B). Il est clair que la fonction /(«, v), où l'on regarde II, V comme les fonctions de ./• que l'on vient de dire, est elle-même une fonction de :c continue dans l'intervalle {a, b). Il est naturel de chercher si elle admet une dérivée par rapport à x.

Soient j?„,j:^, -h /des valeurs de a; appartenant à l'intervalle fa, 6), soient Hq et ii^ -h h, v^ et v^ -f- k, /{Hq, Vq) et /( a^ -h h, Vq -h /.) les valeurs correspondantes des fonctions u, v, f[ii. v).

On aura, en attribuant encore à o {a, v), 'J>(«, v) le même sens

qu'à /;„ y;'

en désignant par ^^ un nombre positif plus petit que i ; on aura donc

/(h, -4- h, !■„ + k) — f(ii,„ i'„) /

Si l'on suppose maintenant que / tende vers o, la limite du premier membre, si elle existe, sera la dérivée cherchée ; dans le

Ta:«sert F. - înlro. ludion h la théorie des foncliotii -4

second membre .' , cl -t ont certainement pour liaiiles les valeurs

u[jri''o ^c* fonctions u, r pour:»; = .*•„ ; la quantité 'i> («,j+ /'. f-\) -+- j^^»') a pour limite '^(«o, «'„), si la fonction 'l> [n,v) est continue pour le sy&lème (»„, c^), et la quantité

a pour limite la valeur, pour u =; u,,, de la dérivée, par rapi)ùrt à n, de/((i, y^,) considérée comme une fonction de u (').

Si donc on ajoute aux suppositions déjà faites la supposition que Tune au moins des dérivées partielles /1,/v est continue dans l'ensemble (UV), on peut alliimer que la fonction f{ii, r , regardée comme une fonction de x, admet une dérivée dans l'intervalle {a, b) et que celle dérivée est

fu «' -T- fv y'-

Gonsldérons par exemple la fonction a', on pourra prendre pourxV A' deux nombres positifs quelconques et pour B et B' deux nombres quelconques ; les dérivées partielles par rapport à u et ài' seront respectivement vif~~' et a' log u : il est aisé de voir qu'elles sont continues pour chaque système de valeurs appartenant à l'ensemble (LV) ; on en conclut que si u, v sont des fonctions de x définies dans l'intervalle (a, b), continues dans cet intervalle et y admettant des dérivées u', v', telles enfin que la première a soit toujours positive et par conséquent supérieure à un nombre positif A, la fonction de x, u", admettra pour dérivée dans l'intervalle (a, b),

ijf — 1 (^,(j' f ii,y ]or,- j^y

Je n'insiste pas sur l'extension à des fonctions /{u, v, ir, ...) de trois, quatre, ... variables u, u, te, ..., que l'on considère comme des fonctions de x, du théorème précédent, lequel, ainsi que le

(') C'est pour mettre en évidence ce fait qu'on suppose seulement l'existence de cette dérivée, que je n'ai pas appliqué le thcorùme du n» 216 à l'expression J (uo + h, D(,) — y(uo, Vûj. Quant à la petite difficulté tenant à ce que li pourrait être nul pour des valeurs de / aussi petites qu'on veut, on la lèvera comme on n" 212.

CIIM'ITUK VI. l'OllMLI.E DES ACCRUISSEMIÎMS FINIS Sjl

lecteur n'a pas manque de s'en apercevoir, constitue une extension du théorènic du n" 212.

221. — Soit /(./;, y) une fonction des deux variables :/•, v déterminée dans l'ensemble (^W ) défini par les égalités

admettant des dérivées partielles /;, f'^ bornées dans l'ensemble (XY) et dont lune au moins est continue dans cet ensemble (XVi ; on peut écrire, on désignant par (./•, y), {x -h h, y -+- k) deux systèmes qui appartiennent à l'ensemble (XV i , l'égalité

fyj. ^ h, y -I- A) =/(.,-, y) + l,f,{:c + 0/,, V + 0A-)

+ A/;(.v-4-e/,, v + eA-),

où 0 désigne un nombre positif plus petit que i ; f, [x -+- Oh, y -+- Ok) ct/y(.r -h Oh, y + Ok) désignent les valeurs ^respectives des dérivées partielles/;, Jl pour les valeurs x + Oh, y + Ok des variables. Si Ton regarde en effet j;, y, h, k comme des constantes, ladérivée {par rapport à /) de la fonction (de t) f{x 4- ht, y + /./) sera, en vertu du tliéorème précédent,

hf (./■ + /(/. V + kl -h A/; (./• + A/, V -4- A/;,

et il suffit, pour obtenir l'égalité à démontrer, d'appliquer le tliéorèmedun''216 à l'accroissementde lafonction/(a;H- /;/, y-r-kl), quand on passe de la valeur o de la variable t à la valeur i .

Si, en conservant la même signification à la fonction f{:c, y), on savait que l'équation f{:c, y) = o, pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à l'inlcrvalle [a, a') contenu dans (A, A), est vérifiée quand on y remplace y par une fonction continue de j-, y = 9(-^), dont les valeurs appartiennent à l'intervalle B, B), et qui admette une dérivée y' =-■ o' (./•), le tliéorème du numéro précédent donnerait immédiatement l'expression

de la dérivée y' de '> (./) ; en elTet, quand on regarde y comme étant égal à oix), la fonction f(x, y) devient une fonction de x qui est nulle pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à Tinter-

Sya INTRODUCTION A LA. TIIKORIE DES FONCTIONS

valle (a, a) ; il doit i.lonc en ôUc de même de sa dérivée, et celte dérivée, d'après le numéro précédent, est f'^ -+- v'/v, d'où l'on déduit immédiatement la valeur de y', en supposant que /y soit diiïérenl de o.

Pour ce qui est de l'existence d'une fonction Y = © [x) et de sa dérivée, la proposition qu'on va développer fournit un renseignement essentiel. Je supposerai toujours la fonction /'(.r, y) déterminée dans l'ensemble (XY) qu'on a spécifié plus haut, je supposerai de plus qu'elle admet dans cet ensemble des dérivées partielles bornées et continues au sens du numéro iG5 (').

Le lecteur pourra se représenter, ainsi qu'on l'a expliqué au n° 172, le système (.c, y) comme un point dont les coordonnées sont x, y. L'ensemble (X\) sera alors l'enscndile des points situés à l'intérieur et sur le contour d'un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes : de là l'expression système intérieur à l'ensemble, dont je me servirai plus loin, pour désigner un système (./;, y) dont les éléments vérifient les conditions A <i x <^ A', B<y<B.

Ceci posé, supposons que, pour le système (.x'„, j„), intérieur à l'ensemble (W), on ait f{x\,, y^) = o. La fonction /{.r,,, y„) est déterminée aux environs du système (x„, y,j). Supposons enfin que la dérivée partielle /y ne soit pas nulle pour x = x^^, y = y„. Je vais montrer que, dans ces conditions, on peut regarder x^ comme le centre d'un intervalle (x„ -r- a, x^ -+- c/.) dans lequel il existe une fonction continue y = ç> (x), qui annule l'expression /{■'^> y) pour toutes les valeurs de x appartenant à l'intervalle considéré et qui se réduit à y^, pour x = .r,,. Celte fonction o (x), est entièrement déterminée par les conditions qui précèdent ; elle admet

pour dérivée — '^*

Tout d'abord, puisque le système (Xq, r,j) est intérieur à l'ensemble (XY), on peut fixer deux nombres positifs a, ,3 tels que les systèmes de nombres x, y qui vérifient les conditions

I^-^J^a, Iy vj^;5,

systèmes dont je désignerai l'ensemble par (XY)„, fassent partie

(i) On verra uUcricurcincFit qu'elles sont ccrtaincnicnl bornées si elles sont continues.