CHAPITRE VI. rORMLLE DES ACCROISSEMENTS FHIS .IjS

de l'enscinblc (XV). Si l'on se place au puiiil de vue géométrique, l'ensemble (W)^ est représenté [)ar un rectanf.dc contenu dans le reclande qui représente l'cnseuible (\.Y). Puisque la fonction J'\, est continue, on peut supposer a. ^j assez petits jjour que la difTérence entre les valeurs que prend cette fonction [)0ur un système quelconque appartenant à l'ensemble (\-V)„ dilTèrent aussi peu que l'on veut de celle qu'elle prend pour x = Xy, v = v„ ; puisque cette dernière valeur n'est pas nulle, on peut supposer que la fonction/,, conserve le même signe dans tout l'ensemble (X\)y, et reste, en valeur absolue, supérieure à un nombre positif P, convenablement cboisi. D'autre part, la fonction y'^, étant bornée, reste inférieure en valeur absolue à vm certain nombre positif M ; rien n'empècbant de remplacer par un nombre plus petit le nombre a que l'on a cboisi tout d'abord, avec ^1», pour que les conditions précédentes soient vérifiées, je supposerai dans ce qui suit

a < \, |3. La fonction r := '^ (.'), qui doit annulcr/(.';, y), va être définie dans l'intervalle (x„ — a, ./■„ + a), et l'on prouvera qu'elle vérifie la condition j y — y,, | <iiJ'

Pour définir la fonction '> (.r), je montrerai que l'équation (en y) f(x, y) = G, où l'on regarde x comme un nombre fixe appartenant à l'intervalle (x^ — a, x,, -f- a), admet une racine et une seule, comprise entre y„ — ^j et y^ --i- jS : cette racine est la valeur qu'on attribuera à la fonction î5(x), pour la valeur de .r considérée. Tout d'abord, on reconnaît aisément que l'équation en y ne peut avoir plus d'une racine dans l'intervalle considéré ; si en effet elle en admettait deux, yict y^, la dérivée partielle /!,(■'% }'), où, bien entendu, X a la valeur donnée, devrait d'après le lliéorèma du n° 215 s'annuler pour une valeur intermédiaire à yi, y^, ce qui est contraire aux suppositions antérieures.

Ceci posé, si l'on fait x = x^ + h, y = y^, -+- /v ; en regardant toujours X, et par suite h, comme donnés, et en supposant que y appartienne à l'intervalle (y„ — f"^, y., -^ fi), on aura, puisque f{x„ j.,) est nul

(0 /v-^u -t- /'.Vu + '0 = ¥'^ (■''o + ^/'. .^'.+0^0 -^ ''l'y (''•0 + 0/., vo 4-6A-)

INTRODICTION A L\ THLORIE DKS FONCTIONS

5 désigne un nombre compris entre o cl i ; dans le dernier membre comme dans le second, les dérivées/.; et /,) doivent être remplacées par les valeurs que prennent ces fonctions pour x = .r,, + Oh, Y = v„ H Oh\

Puisque le système (.'•„ -+- 5/(, y„ -+- Ok) appartient à lenscmble partiel (X-V),,, on a certainement

en sorte que le l'acteur r -h -j^ est du signe de r, si l'on suppose

condition qui est compatible avec la supposition | /.■ | <[ jv, puisque l'on a supposé

Si donc on attribue ù /.• deux valeurs de signes contraires k' et k" satisfaisant l'une et l'autre aux conditions

l'expression

prendra deux valeurs de signes contraires, puisque h/y ne change pas de signe. D'ailleurs, si l'on regarde l'expression /(.ru-h/j, Xf^-^k) comme une fonction de la variable k, cette fonction est manifestement continue dans l'intervalle (//, /.") ; elle s'annule donc pour une valeur k^ comprise entre k' et k" et, par suite, plus petite que fj en valeur absolue : c'est y„ -hk^ qui est la racine unique de

' et r,

l'équation (en y) f(x, y) =-- o, comprise entre y„ dont on a affirmé plus haut l'existence.

Ce qui précède suppose évidemment que /( ne soit pas nul ; pour h = G, la seule valeur de k comprise entre — i^ et 4- '[•j qui annule /(^o, Jo + ^0 est /v = o.