CHAPITRE VI. — KOUMULE UE8 ACCROISSEMENTS FIMS

il suffit de prendre

en désignant par M la borne supérieure de la fonction | / (x) \ dans l'intervalle (a. b).

Le nicnie théorème montre encore que, si la fonction /(.r) admet une dérivée /' (x) dans l'intervalle (a, h) et si la dérivée /' {x) est continue dans le même intervalle, le rapport

tend uniforniément vers /' [x] quand //. tend vers o, c'est-à-dire qu'à chaque nombre positif c correspond un nombre positif y; tel que l'on ait

pourvu que | h \ soit inférieur à r, et que x appartienne à l'intervalle {ji, b), ainsi que x -h h.

En effet, on a, en désignant par 0 un nombre compris entre o et I,

et, à cause de la continuité de la fonction / (.r), il existe un nombre r, tel que l'on ait

|/'(.r + eA)-/'(.r)I<s.

pourvu que h soit inférieur à y; en valeur absolue et que ./; et x -+- h appartiennent à l'intervalle {a, b).

219. — Supposons que la fonction r = f{x, y) des deux variables X et j soit déterminée dans l'ensemble (\Y) des systèmes de nombres x, y qui vérifient les conditions a <x < a',b ^y ^b' ; et que, si l'on attribue à y une valeur fixe appartenant à l'in • tcrvalle (/>, 6), la fonction de x, z=^f{x,y), évidemment déterminée dans l'intervalle (a, a') y admette une dérivée ; celle-ci sera dite la dérivée partielle de la fonction f{x, y) par rapport à

364 INTUODUCTIOX A I. V TIUÔOUIE DES FO^iCTIONS

j: et se représentera [ku- l'un ou l'aiilrc des symboles/',, ^^ : on

écrit quelquefois, plus cxplicilenient /' (.r, y), ''- ^^.' • De même si, .r étant un nombre fixe appartenant à rinterYallc(a, a), la fonction de V, r =f{x, j), déterminée dans l'intervalle (6, 6), y admet une dérivée, celle-ci s'appellera la dérivée partielle par rapport à y

de la fonction /(.c, y) et se représentera par/,, ou g^-

Les suppositions faites sur la fonction /(,c, y) impliquent la continuité de cette fonction, soit par rapport à x, soit par rapport à y, mais séparément ; on n'a pas supposé, jusqu'ici la continuité de la fonction des deux variables x, y dans l'ensemble (X^), au sens du n 165.

Je me propose d'abord de montrer que les liypotlièscs que l'on a faites entraînent cette continuité au sens du n" 165, si l'on y ajoute la supposition que les fonctions /', /' sont bornées dans l'ensemble (XY) (').

Posons en effet, pour la commodité de ce qui va suivre,

Soit (Xq, y,,) un système de nombres appartenant à l'ensemble (XY). Soient enfui h, k des accroissements donnés à x^, y^ tels que le système (x^ -+ h, y^ + /.) appartienne comme [x^, y„) a l'ensemble (XY). Si l'on a < x„ < a, b < y g < //, ce que l'on pourrait exprimer en disant que le système {x„, jo) est intérieur à l'ensemble (XY), il suffira, pour que le système (xo + h, y» H- A) appartienne à l'ensemble (XY), que /( et /,• soient suffisamment petits en valeur absolue. Notons, en passant, que si les systèmes (Xq, r„) et [x., -+- h, }',) + A) appartiennent tous deux à l'ensemble (XY), il en est certainement de même du système (x,. H- 7.h, y,, -+ j^A) pourvu que a, fj soient des nondjres qui appartiennent à l'intervalle (o,i).

Ceci posé on a évidemment

/ (-^0 + /' /o + A-^ -/(.r^.Vo) =f{.r, + A. V, + A) - f {.r, + h, y,)

(') On verra jilus tard qu'il eu est néccssaircineiit ainsi si ces fonctions sont continues dans renscmble (XY) ; c'est l'extension aux fonctions de deux variables d'un théorème établi au n" 160 pour les fonctions d'une variable.

ciiAPiTnr: vi. — ronMir.E des accroissements finis 305

La quaiilitt'/ {.r, + //, v,, + A) — / (.''o -^ /'- V.,) peut rire regardée coinnie raccroissemcnt de la fonction (de j)/(jf„ -H /', }') (jiiaiid on passe de la valeur y„ de celte variable à la valeur y^ h- A; : on aura doue, par le premier ihédrèuic du n" 216. applitpic à cette fonction dune variable, cpii. dans l'intervalle [h, h') admet la dé rivée •b {x^ h- h, y).

/•(.,•„ + A, V, -+- A) --/>.'•, + A. vj == h ■> [x, -f- h,y, 4- pA),

en désignant par > un nombre positif, [)lus petit que i . De même, la quantité fix,-^- h, y,,) — / {.''o. Vu) est l'accroissement de la fonction (de x)f\x, y„) quand on [)asse de la valeur x„ à la valeur Xt, 4- /( ; on a donc, par le même tbéorème,

/(•'•o ^ A, y,) — /(•'•o. Jo) =-- A 'f (x, -+- ctA, vj.

en dt'signant par y. un nombre compris entre o et i : on en déduit

/(.'•„ -+- A. v„-|- A-) -/(-fo'^») ^ ^'-^ (.'•„+ A, j.,+ pA)-f- Ao (:r„-4-aA,yo);

si, par conséquent, M est un nombre positif auquel les fonctions •l) (.r, y), c; {x, y) restent inférieures en valeur absolue dans l'ensemble (XY), on aura

I /(.r, + A. v„ -+- A-) —f(.r„ yo) 1< H, si l'on a

La continuité est donc assurée.

Les fonctions /i, /l ou o (x, y), 'li {x, y), déterminées dans le même ensemble (XY) que la fonction y (,r, y), pcuventelles-mèmes donner naissance à des dérivées partielles prises par rapport h x et par rapport à Y ; mon but est maintenant de démontrer que si les il('rivé(;s partielles -i/^ et o[ existent et sont continues, (au sens du n" 165y), elles sont égales.

Conservons les notations précédentes : on obtient le même résultat en retrancbant l'expression f(x + A. y) — /(a?, y) de celle qu'on en déduit en y remplaçant y pai- v 4- A-, ou en retrancbant l'expression f(x, y -\- h) — / (x, y) de celle qu'on en

366 l'tTnoDUCTio^ a l\ tiiéouie des fonctios

dôduit en V iempla(;ant x par j: -i- h. L'expression

ffj; + /*, v)— /KmV)

regardée comme une fonction de y seul, déterminée dans l'intervalle [b, b) admet la dérivée 6 [x^, -+- h, y) — 'b (x-„, y). Si donc on applique le premier théorème du n° 216 à la fonction f [Xo, -+ II, y) — /(j"o» }')» on aura pour l'accroissement de cette fonction quand on passe de la valeur jo de la variable à la valeur y^ -i- k,

/(j-o 4- h,Y„ -+- k) —fi:r,„ y„ + A) —f{-r, + h, y,) -h / (.r„. y^) = k [■> (.r„ -4- /i. y„ + ?A-;; — <> (.r,,. y„ + p/cj],

en désignant par fi un nombre positif plus petit que i. Mais en vertu du même théorème, appliqué maintenant à la ditTérence des valeurs que prend la fonction de x, '!> (x, y^ -t- f:jk), quand on y remplace x par Xq -^ h et par x^, le facteur qui multiplie A", dans le second membre, peut s'écrire h 'ii'i {x^ -+- c/.h, y„ -i- j'i/c), en désignant par a un nombre compris entre o et i : l'expression 'b'j. [x^ -+• c/Ji, y,, 4- fjk) signille valeur de la dérivée par rapport à X de la fonction 'ii {x, y), pour les valeurs respectives x^ -+- 7.h, }'û "•" i^^' '^^ ^' y '■ Ofî 3 donc finalement

/(•'■„ + /i,yo 4- k) —f{.r,, y, 4- /.) — f {xj 4- A, v,,) + f {x,, y») = h k'I' [x, 4- a/j, y„ 4- [iAj.

Mais si, au lieu de parti i de l'expression /(x^, 4- /i, y) — f{^o>y) considérée comme une fonction de y, on était parti de l'expression f{x, yo 4- k) — y ('^, y») considérée comme une fonction de x, il est clair qu'on aurait mis le premier membre de l'égalité précédente sous la forme hko'y {x^^ 4- yjh, y^ -\-fjk) en désignant par a', jv' des nombres compris entre o et i comme a et p : on en conclut l'égalité

'l'^ (jr,j + a/(, yo 4- ^k) = '^'^ (:c„ 4- a'A, y, 4- p'A),

égalité qui subsiste quelque petits que soient les nombres k et k en valeur absolue ; elle subsistera certainement pour h et A' nuls, c'està-dire qu'on aura

•K ('>Co. }'o) = ?r. (i^o, yo)

r.lIAlMTIlF. M. l'ORMI I R DES ACCROISSEMENTS FIMS .IGj

si les deux fonctions 'ji^ ^^j sont continues pour le système (xo.jy) au sens qui a été précisé à la fin du n° 165. Si, en particulier, les deux fonctions 'b\ et ç»'^ sont continues dans tout l'ensemble (\Y), elles sont identiques dans cet ensemble

Celte circonstance se présentera en particulier, quelque soit l'ensemble (X\), si la fonction y" (jj, y\ est un polynôme ; les dérivées y,' J'.j de ce polynôme sont des polynômes, ainsi que les dérivées d»^ et r^'y : il n'y a aucune difficulté à former séparément ces deux polynômes, puis à constater leur identité.

Que l'égalité 'j»! = ■pj, puisse être en défaut quand les deux fonctions 'i/^, d,j ne sont pas continues pour le système x^, Vo, c'est ce que montre clairement (*) la fonction

f (x, v) = V- arc I": " x- arc Ig ■- .

Je supposerai, pour définir entièrement celte fonction, qu'une expression de la forme arc Ig , est nulle quand a et 6 sont nuls,

qu'elle est égale à + - ou à — 7- quand h est nul, sans que a le

soit, suivant que a est positif ou négatif. Si A est un nombre positif quelconque, il est clair alors que la fonction /(je, y) sera définie dans l'ensemble ( W) dont les éléments sont des systèmes de deu\ nombres x, y qui vérifient les conditions — A ^x^ A, — A S y ^ A. Le lecteur reconnaîtra sans peine que celte fonction/ (x, y) admet les dérivées partielles du premier ordre

y^ =■ ç (x, y) =: y — "xx arc tg ■- , f'^ = 'l (.r , y) = — x -h ay arc tg -

qui sont définies dans le même ensemble ; ces formules conviennent encore quand les variables x ou y sont nulles : c'est ce dont le lecteur se convaincra aisément ; il en est de même des formules

sauf dans le cas où l'on a à la fois x = o, j =- o, cas où ces for- {') ScHWAUZ. — Ges. math. Abhandlungen, H, p. u8o.

368 ïNTRODUCTIOX A LA THÉORIE DES FONCTIONS

mules n'ont pas de sens. Il est crailleurs impossible d'allribue.r à la IVaclion ' j '—,> pour .r = o, y r= o: une signification telle qu'elle

soit continue pour ce système, car on peut faire tendre .r et v vers o de façon que la fraction tende vers tel nombre qu'on veut, compris entre — I et H- I ; quelle que soit la valeur qu'on lui attribue pour X = o, j = o, la traction sera discontinue pour ce système.

Toutefois, la fonction o {x, y) a, quelque soit x, une dérivée par rapport à y ; pour x= o, la fonction se réduit à y, dont la dérivée par rapport à y est i ; 0]^, pour o; = ô, j =^ o, se réduit à i ; de même 'b (x, y)', quel que soit y, a une dérivée par rapport à x ; pour y = 0, '1j'(x, y) se réduit à — .'•, dont la dérivée par rapport à a: est — i ; les deux: dérivées O;,, 'ii'j. ne sont pas égales pour X =^ o, y = o.

Revenons au cas général, pour expliquer les notations usuelles. Les dérivées partielles de fj. par rapport à x, y se représentent les premières par

la seconde par

dxdy '

dxdy '

dydx

àydy

Jxyy

de même les dérivées partielles de/^ par rapport à x, y se représentent, la première par

la seconde par

Jyy Jy

Avec ces notations, le tbéorème précédent revient à dire que, sous les conditions de continuité précisées plus baut, on a p^,j=fyj.; sous ces conditions l'ordre dans lequel on prend les dérivées est indifférent.

Les notations précédentes, et la proposition relative à l'interversion s'étendent sans aucune difficulté aux dérivées partielles d'ordre supérieur au second, d'une part, aux fonctions de plus de deux variables, de l'autre. Je crois d'autant moins utile d'insister ici sur