CHAPITRE VI. — iOUMLLE DES ACCHOISSEME.NTS JIMS OyJ

JSi maintenant, pour chaque valeur de ./; = Xq -+- h, appartenant à l'intervalle uvy — a, x^ -+- a), on attribue à y la valeur de celle racine unique que l'on vient de spécifier, il est clair qu'on aura défini, dans l'intervalle ixo — a, x^, -t- a), une fonction y =r:,(x) qui, mise à la place de y dans la fonction y'(.f, y), rendra celle fonction toujours nulle. La fonction c (./.■) se réduit à y„ pour x = x^^. Elle est continue pour cette valeur ; en clTet raccroisscmcnt k\ = o{x^) -+- II) — /(•'^u) Je celte fonction quand on passe de j.',j à x,, -+- // est inférieur à j3 en valeur absolue ; le nombre positif p

n est assujetti qu a la contlition [î > .j a, cl pourvu que cette

condition reste vérifiée, rien n'empêche, dans les raisonnements précédents, de remplacer a et j'B par des nombres plus petits et même de les faire décroître Indéfiniment : la continuité pour Xi = x^ est donc assurée.

Soit maintenant Xi une valeur de x intérieure à Tintervalle {x„ — a, x^ -h 7.), et soit ji = çi(5Ci). On peut raisonner sur Xi, ji comme on a foit sur a^o» Jo» déterminer deux nombres positifs ai, ^'^1 assez petits pour que l'ensemble (XY)i des systèmes de nombres x, y qui vérifient les conditions \ x — Xi | ^ tz^ I }' — yi I - l^i ^'^'^^ contenu dans l'ensemble (XY)„. Au point de vue géométrique, l'ensemble (\Y)i sera représenté par un rectangle intérieur au rectangle (XY)o. Puis, on pourra définir dans l'intervalle {Xi — ai, .ri H- ai) une fonction J = 'f i («ï") qui annule f{x, y), qui se réduit à ji pour x = Xi, qui est continue pour cette dernière valeur, qui enfm vérifie la condition | y — yi | <il^i, et par conséquent la condition | y — y„ | < j'i, puisque l'ensemble (XY)i est contenu dans l'ensemble (XY)„ ; mais, pour une valeur de X appartenant à l'intervalle [xi — ai, Xi -i- ai), et par conséquent à l'intervalle (./;, — a, .r„ -h a), l'équation (en y), f{x, y) = o ne peut avoir deux racines distinctes o (x) et Ç/i (x) satisfaisant à la condition | y — y„ | < /5 ; il faut donc que dans rinlervalle (^1 — a», Xi 4- a,), la fonction o^ix) coïncide avec la fonction 0 (x) ; celle-ci est donc continue en Xi et, par suite, pour toutes les valeurs de x intérieures à l'intervalle {x^ — a, .r„ -+- a). On peut dire aussi bien qu'elle est continue dans tout l'intervalle, y compris les bornes, quitte à remplacer a par un nombre un peu plus petit ; mais, en modifiant légèrement le raisonnement précédent-,

076 INTRODUCTION A L\ THÉORIE HES FO>XTIONS

on voit sans peine qu'il n'csl nullement nécessaire de rcslreindre rinlervalle.

Il reste à montrer (|ue la fonction (^{x) est la seule fonction continue dans l'intervalle (.r^ — a, x^ -H a) qui annule /(./•, y) et se réduise à Vy pour x = a'^. Observons que la fonction continue

fi - I 9(-^) - vo I

doit atteindre son minimum dans l'intervalle, et que, puisque cette fonction ne s'annule pas, il y a un nombre positif X auquel elle reste supérieure ou égale. Supposons maintenant qu'il existe une autre fonction 6 {x) satisfaisant aux conditions imposées à ç; [x) ; puisque, pour une valeur de x appartenant à l'intervalle considéré, l'équation (en v), f{x, v) = o, ne peut avoir qu'une seule racine pour laquelle on ait ] y — y^ \ «< fi, et que cette racine est y = 9 (x), il faudra que, pour une telle valeur de X, on ait soit 6{x)= ç, {x), soit | -!> {x) — Jo 1 ^ i^ ^ ^^"^ ^^ ^^^" nier cas, on aurait

I .} (x) — 9 [x) I = I ['} (x) - yo] — [9 {x) - Jo ] I ^1 ^l^)-ro 1-1 ?(''•)- Vo I»-

La fonction '!f(x) — 9 {x) étant continue dans l'intervalle considéré, la proposition énoncée résulte évidemment dulemme suivant, que l'on aura plusieurs fois l'occasion d'appliquer.

Soit g (x) une fonction dont on sait qu'elle est continue dans l'intervalle (c, d) ; que, pour cliaque valeur de x appartenant à cet intervalle, elle est soit nulle, soit égale ou supérieure au nombre positif)., en valeur absolue; enfin qu'elle est nulle pour une valeur x,, de l'intervalle : on peut affirmer que la fonction f/ [x) est nulle dans tout l'intervalle (c, (/).

On peut en effet diviser cet intervalle en intervalles partiels assez petits pour que, dans chacun d'eux, l'écart de g (x) soit moindre que ). ; dans chaque intervalle partiel, la fonction \ g{x) \ est, ou bien nulle, ou bien supérieure ou égale à X ; elle est nulle dans celui qui contient x^, aux bornes de cet intervalle, dans les intervalles conligus, etc..