CHAPITRE VI. rOIOILLE DES ACCROISSEMENTS FIMS

Enfin la fonction '>(./.■) admet, pour x = x^, une Jérivcc éyalcà

/;(-'-o.vo)'

comme il résulte imuiidialemcnl de l'égalité (i) quand on suppose f{xo -+- II, Vo + /') nul ; on en tire en clTet

'/' "~ /a^o + eA.Vo + o/,)'

et la proposition est évidente, à cause de la continuit(' des d('rivces partielles /j^, J'y.

Les raisonnements précédents montrent de suite que l'expression

— --Y, donne les valeurs de la dérivée de o (j:) pour toutes les

valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle (x^ — a, x„ -t- a).

A la vérité, la fonction y = o (x) n'a été défmicque dans le petit intervalle (.r,^ — a, x^^ -+- a); mais il est clair qu'on i)eut la prolon^rer ; si l'on pose maintenant j?, = a'o H- a, ji = o (.ri), la dérivée partielle y,' n'étant pas nulle pour x = Xi, y = j,, on pourra définir dans les environs de Xi, une fonction continue Oi.{x), annulant /(.r, y) et se réduisant à yi pour x ^^= jci ; on voit comme précédemment que pour les valeurs de x un peu plus petites que Xi, ç-i (x) coïncide avec '>(.'■) ; pour les valeurs de x un peu plus grandes que j'i , on adoptera pour y la détermination o, (.v), en sorte qu'on aura déterminé, dans un intervalle plus étendu, une fonction continue, annulant f(x, y), se réduisant à Jq pour x = x,^, etc. Sans que je m'arrête davantage sur ce sujet, on conçoit qu'on puisse définir une fonction y de x, jouissant de ces mêmes propriétés dans un intervalle borné par deux nombres a, a' auxquels correspondent les valeurs b, h' de y et tels que les systèmes {a, h), ou (a, h), tout en appartenant encore à l'ensemble (X-Y), ne soient plus intt'ricui's à cet ensemble, ou tels encore que la dérivée partielle /,J s'annule pour l'un de ces systèmes; toutefois ces cas limites demandent une étude particulière.

Laissant maintenant de côté les règles relatives au calcul, je vais montrer le parti qu'on peut tirer des dérivées pour l'étude des fonctions.