ÉTLDE DES FONCTIO.NS AL MOYEN DES DERIVEES

222. — Soit/(.r) une fonclion admettant dans l'intervalle (a, h) une dérivée/' (.'•), il résulte immédialemcnt de la définition de la dérivée que si la fonclion /(./■) est constante dans l'intervalle (a, b), la dérivée f (./•) est nulle pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à cet intervalle, que si, dans ce même intervalle, la fonction /(x) est croissante, la dérivée/' (./) n'est jamais négative, puisque le rapport

étant positif, sa limite, pour h = o, ne peut être négative; enfin que, si la fonclion f(xi est décroissante, la dérivée / (x) n'est jamais positive.

On est tenté de regarder comme évidentes les réciproques de ces théorèmes ; cela serait légitime s'il était vrai qu'un intervalle (a, b) pût toujours être décomposé en un nombre fini d'intervalles partiels tels que dans chacun d'eux la fonction /(:r) fût ou constante, ou croissante, ou décroissante ; c'est la fausseté, que l'on a mise hors de doute, de celle supposition, qui rend nécessaire la démonstration des théorèmes suivants.

i" Si la fonclion /(./•) admet dans l'intervalle (a, b) une dérivée /' (x) et si cette dérivée est constamment nulle, la fonction f(x) est constante dans l'intervalle (a, b).

Soient en effet x^, x., deux valeurs quelconques qui appartiennent à cet intervalle, on aura (n° 216) (0 /(^.)-/(^i) = (^.-^i) /'(;).

en désignant par £ un nombre compris entre x., et x^; mais, par hypothèse, f (z) est nul ; on a doncf(x.^) = f{x^).

La fonction f[x) conserve toujours la même valeur dans l'intervalle (a, b)\ cette valeur est nécessairement f{a) ^=f(b).

2° Si la fonction f{x) admet dans l'intervalle (a, b) une dérivée f{x), si, dans cet intervalle, cette dérivée n'est jamais négative, si enfin elle n'est pas nulle pour toutes les valeurs de x qui appar-

CIIVPITIir. M. KTLUC DES FONCTIONS Syf)

tienru'iil ù un intervalle {a , h) conlemi dans rinler\alle (a, b), la ronctioii /(.'•) est croissante dans rinlervallc {a, b).

Soient encore .Tj, x., deux valeurs quelconques appartenant à l'intenallc (o, b) et soit Xi < ./-^ ; IV-galité (i) montre, puisque la quantité/' (|) est positive ou nulle, que l'on a f{'\^ < /"(.r^). Mais, dans l'intervalle (./*!, x.,) la fonction f[x) ne [>eut cire constante, puisque la fonction f (.r) n'est pas constanuucnt nulle dans cet intervalle ; il existe donc un nombre ./;' compris entre Xi et x.^ tel que la valeur de /('* ) diffère au moins de l'une des quantités /(•^i)' /(•''.) î les quantités Xi, x, x., tilant d'ailleurs rangées par ordre de ,i;randeur, on a f(Xi)^f(x') ^ J (x.j) ; comme les deux égalités ne peuvent avoir lieu simultanément, il faut que l'on ait fi-'^i) <./{•''■:)■ C'est ce qu'il fallait établir; on prouvera de la même façon le tbéorème suivant,

3° Si, dans l'intervalle (a, b), la fonction f{.r) admet une dérivée f (x) qui ne soit jamais positive, si cette dérivée n'est pas nulle pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à un intervalle (a', b') compris dans l'intervalle (a, b), la fonction f(x) e&t décroissante dans ce dernier intervalle.

223. — Si une fonction y(./) est définie dans l'intervalle (a, b), on dit qu'elle admet un maximum pour la valeur £ attribuée à x^ valeur appartenant à l'intervalle (a, b), mais distincte des limites <2, 6, s'il existe un nombre positif £ tel que l'on ait, pour toutes les valeurs de // auti-es que o et inférieures à £ en v-aleur absolue,

si, dans les mêmes conditions, on avait

on dirait que la fonction fi-f) admet un minimum pour x = z.

Si la fonction y (x) admet un maximum ou un minimum pour

X -^ :, et si pour cette même valeur clic a une dérivée, cette

dérivée est nulle ; cela résulte du raisonnement employé au n" 215 :

pour // positif et suffisamment petit les deux rapports

.fa + h)-f(^) fa-h)-fiz) h ' —Il

38o INTRODICTION A I.A TIIÉOUIE DES FONCTIOS

finissent par cire ccilainciiicnt de signes conlraircs ; leur limite commune, pour h = o, est donc nulle.

Si donc la fonction /(.') admet ime dérivée dans l'intervalle (a, b), on devra chercher les valeurs de ./; qui lui font acquérir un maximum ou un minimum parmi celles qui annulent la dérivée ; mais le' choix et la distinction de ces valeurs exigent une élude plus approfondie.

224. — Le cas le plus simple est celui oii, la fonction /(■') étant continue dans l'intervalle (a, b), cet intervalle peut être partagé en un nombre lini d'intervalles partiels tels que dans chacun d'eux la fonction varie toujours dans le même sens; si, par exemple, la fonction est croissante dans un intervalle et décroissante dans l'intervalle suivant, il est clair qu'elle présentera un maximum pour la limite commune aux deux intervalles ; on dit que, pour cette valeur, elle cesse de croître pour décroître ensuite ; de même, si la fonction est décroissante dans un intervalle et croissante dans l'intervalle suivant, elle passe par un minimum pour la valeur de la variable égale à la borne commune des deux intervalles.

On est certain d'être dans ce cas si, dans l'intervalle (a, b), la fonction f{x) admet une dérivée et si l'intervalle (a, b) peut être divisé en un nombre fini d'intervalles partiels, tels que dans chacun d'eux la dérivée y (.r) ait un signe déterminé; si dans un intervalle partiel la dérivée est positive, la fonction est croissante, etc. Peu importe d'ailleurs que dans un intervalle partiel la dérivée s'annule, pourvu qu'elle ne change pas de signe et qu'elle ne soit pas nulle pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à un intervalle fini.

Les valeurs qui fournissent les maxima sont alors caractérisées par ce fait que la dérivée y est nulle, qu'elle est positive pour les valeurs plus petites, négative pour les valeurs plus grandes ; de même pour les valeurs qui fournissent les minima, la dérivée est nulle et passe du négatif au positif.

Par exemple l'expression li x^ — 3 .c^ — m, où m est une constante, admet une dérivée dans tout intervalle ; cette dérivée est i2x' (i — x) ; elle est positive pour toutes les valeurs de x inférieures à I, négative, pour toutes les valeurs de x supérieures à i ;