CHAPITRE VI. KTLDE DES FO>CTIO>S

la foncliiin proposée est donc croissante clans rinlervallc ( — x , i)^ en désignant par ce symbole un intervalle dont la limite inférieure est un nombre négatif aussi grand qu'on le veut en valeur absolue; clic est décroissante dans l'intervalle (i, -+- x ), elle passe par un uiaxinium pour ./• = i, ce maximum est i — m ; d'ailleurs pour X = -i- X , la fonction est égale à — x ; on résumé, cpiand .c croît de — GO à I, la fonction croît de — n à i — m, et quand X croît de i à -h go , la fonction décroît de i — m à — ce ; on conclut de là que, si i — m est positif, la fonction 'i x^ — 3 x* — m s'annule pour vme valeur de ./• inférieure à i et pour une valeur de ./; supérieure à i, et seulement pour ces valeurs ; que, si l'on a m= I, la fonction s'annule [)Our ,/; = i et seulement pour cette valeur ; enfm (jnc, si i — m est négatif, la fonction ne s'annule pour aucune valeur de x.

225. — 11 peut se faire que, dans l'intervalle oi'i on la considère, la fonction /*(.'■), que je suppose toujours continue, admette une dérivée, sauf pour quelques valeurs exceptionnelles ; une telle valeur x' sépare alors deux intervalles partiels (xi, x'), (x , x.) tels que la dérivée existe pour tous les nombres qui appartiennent à l'un ou à l'autre des deux intervalles, sauf toutefois pour le nombre ./; ; si la dérivée a le même signe pour toutes les valeurs de la variable qui appartiennent au premier intervalle, si, par exemple, la dérivée est positive pour les valeurs de x comprises entre x, et x', on peut affirmer que la fonction /(./;) est croissante dans l'intervalle [Xi, x), sans exclure les limites de cet intervalle ; en effet le théorème du n° 216 subsiste alors, ainsi qu'on en a fait l'observation ; il en est de même de ses conséquences. Si, de même, la dérivée est négative dans l'intervalle [x, x^), la fonction sera décroissante dans cet intervalle et présentera un maximum pour X ^= x' ', elle aurait passé par un minimum pour cette même valeur si la dérivée était négative dans le premier intervalle, positive dans le second ; elle varierait dans le même sons dans tout l'intervalle (Xi, x.^) si la dérivée avait le même signe pour toutes les valeurs de .a; appartenant à cet intervalle, les nombres Xi, x' , x.^ étant excejîtés au besoin.

Par exemple la fonction y = ('i^iy, continue dans tout intervalle, n'admet pas de dérivée pour x = o, pour toute autre valeur

o82 INTRODL'CTION A I..\ THÉORIE DES FO>'CTIO>'S

de X elle a pour tlcrivéc

pour X = G, la fonction v passe par un ininiiiinin.

226. — On voit d'après cela la marche à suivre pour ('ludior la variation dune fonction donnée par son expression analytique. On décomposera d'abord l'ensemble des valeurs de x, de — zc a -j- zc, en intervalles partiels tels que, dans chacun d'eux, la fonction soit définie et continue ; les bornes de ces intervalles pourront être des valeurs de x au delà ou en deçà desquelles l'expression donnée n'aura plus de sens ; de telles valeurs se présenteront par exemple quand l'expression contiendra des radicaux à indices pairs, des lo garithmes, des fonctions circulaires inverses, etc. ; ces bornes pourront encore être des valeurs pour laquelle la fonction est discontinue, ou des nombres aussi voisins que l'on voudra de certaines A'aleurs isolées de la variable, telles que x = o pour la fonction -, pour lesquelles l'expression considérée n'a pas de sens, mais

dans le voisinage desquelles elle grandit indéfiniment, ce que l'on exprime brièvement en disant que la fonction devient infinie. On se livrera à une étude analogue pour la dérivée, en se limitant toutefois aux valeurs de la variable qui appartiennent aux intervalles qu'il y a lieu de considérer, d'après l'élude préliminaire que l'on a faite de la fonction ; mais, cette fois, on portera essentiellement l'attention sur les valeurs de la variable pour lesquelles la dérivée change de signe, soit qu'elle s'annule, soit qu'elle cesse d'exister en devenant infinie, ou tout autrement. Ces nombres limiteront ainsi des intervalles pour lesquelles la dérivée conservera un signe constant. Les nombres qui bornent des intervalles soit pour la fonction proposée, soit pour la dérivée, étant ensuite rangés par ordre de grandeur^ on se trouve avoir décomposé le champ de la variable x en intervalles partiels pour lesquels on peut appliquer les théorèmes du n" 222 ; à l'aide de ces théorèmes et des remarques contenues dans les numéros suivants, on parvient à avoir une idée nette de la marche de la fonction.

Soit par exemple la fonction

CIIAI'ITRE Yl. ÉTUDE DES FONCTIONS 383

elle n'a de sens ni pour les valeurs de j: [)1us [ictlles que — 'i, ni pour x= O', sa dérivée, pour les autres valeurs de j:, est

elle est positive pour x <i — 2, négative pour ,/: compris entre — 1 et /i, positive pour x > 'j ; si l'on désigne par i un nombre positif, aussi petit que l'on veut, la fonction est continue de — .'1 à — c, de + i à H- ^ : si l'on considère la suite des nombres

— '1. —2, — £, -+■ Z, Ix, -t- CO ;

ot que l'on exclue l'intervalle ( — h, -f- 1), la fonction sera continue et admettra (sauf pour ,ï; = — 4) une dérivée de signe constant dans chacun des autres intervalles. On en conclut que lorsque x

varie de — .\ a — 2, la fonction augmente de o à y/ -, qu'elle diminue depuis celte valeur jusqu'à

(juand ./; varie de — 2 a — i, qu'elle diminue encore depuis

jusqu'à (?'' \^S quand x varie de c jusqu'à -+- 4, enfin qu'elle augmente quand x varie depuis -l- /j jusqu'à -+- x; .

Il reste à avoir des valeurs approchées des noudjres (i) et (2) pour c positif et très petit; on les déduit des formules

la première, où le dénominateur peut être supposé aussi grand qu'on le veut, montre que lorsque £ tend vers zéro, l'expression (i) a pour limite zéro ; on voit de même que lorsque - tend vers zéro,

384 INTRODUCTION A LA TIlÉOniE DES FONCTIONS

l'expression (2) angmenle indôfininicnt pnr valeurs positives ; c'est

ce qu'on exprime plus brièvement en disant que, ,v croissant de — 2

à zéro, y diminue depuis V / - jusqu'à o, et que, x croissant de-

depuis o jusqu'à + /|, y diminue depuis + 00 jusqu'à la valeur

t'4 \/8. Des deux valeurs v/- et e* \/8, la première est un maximum correspondant à la valeur x = — 2, la seconde est un minimum correspondant à la valeur x = 4 ; enfin on voit de suite que lorsque .r augmente indéfiniment par valeurs positives, il en est de même de y.

227. — Il est quelquefois commode, pour reconnaître si une valeur a de x qui annule la dérivée f (x) d'une fonction /(x) fait acquérir à cette fonction un maximum ou un minimum, de recourir à la dérivée seconde/' (x), à supposer qu'elle existe. Si/" (a) est un nombre positif et si la fonction/" (x) est encore positive pour les valeurs voisines de a, ce qui arrivera assurément si elle est continue, on voit que, dans un petit intervalle comprenant a, la fonction/' (x) sera croissante ; puisqu'elle s'annule pour j; = a, elle passe pour cette valeur du négatif au positif, il en résulte que, pour x^=a, la fonction /(./•) présente un minimum. De même, si pour x = a, le nombre/" {a) est négatif et si la fonction/ (x) est continue pour X = a, on voit que, pour :/: =^ a, la fonction /(x) présente un maximum. Si l'on a/" (a) = o, on pourra recourir à la dérivée troisième ; si celle-ci n'est pas nulle pour j; = a et est continue pour cette valeur, elle conservera le même signe dans un petit intervalle comprenant le nombre a ; dans cet intervalle la fonction /" (.r) croîtra constamment ou décroîtra constamment ; puisqu'elle s'annule pour X = a, elle changera de signe en s'annulant ; la fonction /' (x) admettra donc un maximum ou un minimum pour x = a ', comme elle est nulle pour x = a, on voit que, dans un petit intervalle comprenant ce nombre, elle reste négative ou nulle si a: = a correspond à un maximum de /' (x), positive ou nulle si x= a correspond à un minimum de /' {x) ; .dans le premier cas la fonction/ (.r) est décroissante dans ce même intervalle, dans le second cas elle est croissante : elle ne présente, pour x = a, ni maximum ni minimum. Si l'on a f" («) = o, on recourra à la dérivée

CIIAPITUK M. tTLDE DES FONCTIONS 385

qiialrièmc /'M-'") t-t l'on verra sans [)oinc que, suivant que l'on aura

la l'onclion /"(./•) admellia, pour x = a, un uiavimum ou un mlniuuuîi. pourvu toutefois que la fonction/"' soit continue pour ./; =-- a. Si l'on avait /'' (a) = o, on pourrait recourir à la dérivée cinquième, etc. On peut, en admettant l'existence et la continuité des dérivées successives /' (x), /' [x), /" {j.), ... de la fonction /(.'•), pour ./■ = a, fornnilcr la règle suivante : Si pour.'.- — ^ a la dérivée /" (.;;) est nulle ainsi que quelques-unes de celles qui la suivent, la fonction /(.'■) n'admet, pour x ^= a, ni maximum, ni minimum lorsque la première dérivée qui ne s'annule pas est d'ordre impair ; si la première dérivée qui ne s'annule pas est d'ordre pair, la valeur x =: a correspond à un maximum ou à un minimum, selon que cette dérivée est négative ou positive. Au reste, cette conclusion se retrouvera tout à l'heure.

228. — Les im[iortantes propositions établies dans les n'" 215 et 216 peux eut être généralisées de différentes façons. Voici, d'abord, une généralisation du théorème du n" 216 qui, outre son utilité propre, éclaire la notion de la dérivée n" (').

Soit f{x) une fonction qui, dans l'intervalle [a, h), admette des dérivées première et seconde, /"' [x') et/" (x).

Soit j'ij un nombre ai)partenant à l'intervalle {a, b) et hi, li^, deux nombres tels que x^ -+- /(,, j;„ -h li.,, x^ -j- //j -h /t^ appartiennent aussi au même intervalle ; posons

la fonction (de x) J\ [x), admettra une dérivée dans l'inlervallc (Xy, x^ li.^) et cette dérivée sera

ceci posé on a, en désignant par 0.^ im nombre compris entre o et i,

('j Je dois ce numéro à M. Darbolx.

Ti:«.'<EnT I — Iiitioiîuction ù la tliùorie des fonctions 25

Or, en vertu de la même formule, la quantité entre crochet? peut rtrc remplacée par A, /"' (.'•„ -+- S, A, + 'J,ll^, en désignant par 0, un nombre compris entre o et i ; on aura donc (Inalemcnt

On trouvera de même, en supposant que dans l'inlervalle (a, 6), Jla fonction f{x) admette des dérivées jusqu'au if ordre /' {x), f" [x], ..., /\''){x), et que les nombres

.r„ -h /'i -i- /(., :r^ + /(, -h li^, .... .'■(,-+- /'„-, -r /i,,,

•'"u + ^'i -)- ^2 -+- ... /'« appartiennent, ainsi que .r„, à lintervalle (a, b), f{.r, -T- /'. + U, -^ ... -i- /'„) — ^/(x,^ 4- /<, + h, 4- ... -4- //„.)

= liji, ... /«„/(") (.r, -h e,/t, H- e,/;,-h ... ^ 0„//„) :

dans le second membre, 0,, 0.^, ..., ^„ désignent des nombres compris entre o et i ; dans le premier membre, chaque sommation s'étend à tous les termes qui se déduisent du terme écrit en remplaçant la suite des indices par les autres combinaisons, du môme ordre, des nombres i, 2, ..., n.

Si la fonction /(") {x) est continue pour x = Xq, on voit que le premier membre, divisé par /<,, h.^ ... lin, a pour limite /v) {x^) quand les quantités /ij, Ji^, ..., /*„ tendent vers zéro ; d'une façon plus précise, si l'on désigne par ç. [Xq, h^, h.^, ..., h,,) ce premier membre, on peut affirmer qu'à chaque nombre positif £ correspond un nombre positif/; tel que l'on ait

o(ar„. /t,./»„ ...Ji„) .

sous les conditions