CHAPITRE VI, ÉTt DE DES FONCTIONS

Si l'on suppose (1) A, .-:. /,^ = ... 3^ A,,:^ |^^ et si Po^ supprime l'indice o qui airccte x, on trouve

/(,. + „/,) 'Ij [,. .H („ ,) Aj ^ 'ii^i=-L)/ ia- + (« 2) A] ...

±-/(.r-4-/0q=/,y) = /("/■(") (rc -f- 0/j/,),

on désignant par 7 un Jionibrc compris entre o et i. Le premier membre est la différence if de la fonction/ (./•) pour la suite de valeurs en progression arithmétique

X, J- -h /(. :c -\- ?.h, ..., :r -+- nli

de la variable : on la représente souvent par le symbole \"f(j:) ; on pose ainsi

A*/ (a-) = A/ (x ^ h) — If (,r) =f ;.r -H 2/0 — 2f(x -f- h) + /-(x) AT" (•^) = Ay (^ + A) - Ay (.-) =./ ,.r -i- :i/0 o/(x 4- -jh)

Dans le même symbolisme, h qui est la différence de deux valeurs .consécutives de la variable, se représente par A.r, et l'on voit que la dérivée n'' peut être regardée comme la limite de l'expression

quand /; ou Ar tend vers o ; la nolation ^~, pour représenter la dé- .rivée n" est en quelque sorte le résidu de celle remarque.

229. — Si la fonction /(./;) admet une dérivée dans l'inlervallc {a, b) et si les nombres .r,, x.^, appartiennent à cet intervalle, il y a une racine de /' (j.-) comprise entre .x-, etx^; supposons que la fonction /(./■) s'annule pour les valeurs .»;,, x.,, x^ de la variable, .que je suppose toujours appartenir à l'intervalle («, h) et que je suppose en outre, rangées par ordre de grandeur ; il y aura une yacine £, de/' (.r) entre .r,, x.^ et une aulre racine |o entre x., et

0^3 ; si donc la fonction /' (./•) atlniet une clcrivéc /"" (./•) dans l'intcrvalle [a, h), f (./) s'annulera pour une valeur do x comprise entre

1, et c.^, par suite entre .r, et .r., ; il est clair qu'on peut continuer ainsi et énoncer de suite le théorème suivant :

Si, dans l'intervalle (a, />), la fonction /(■*•) admet des dérivées jusqu'au (n — i)"... ordre, inclusivement et si elle s'annule pour les n nombres distincts .r,, x,, ..., ./•„ appartenant à cet intervalle, il \ a une valeur de .'", comprise entre le plus petit et le plus grand des nombres ./■,, x.,, ..., ./•;,, pour laquelle /"(" — *J (./•) s'annule.

Cette proposition peut se généraliser encore.

Supposons que pour .'■ = ,/•, et pour x = x.^ la fonction / (./■) s'annule et que, en outre, la dérivée /''( x) s'annule pour x = .ïj ; alors f (x) s annule pour un nombre ç, compris .'•, et j\, ; mais f (x) s'annulant pour ./■ = Xi et x = r,. il faut que /"' (./•) s'annule pour un nombre ç., compris entre .r, et z, et, par suite entre x^ et x., ; on voit que le nombre .i\, parce qu'il annule non seulement y (.c) mais encore/' (./•), joue en quelque sorle le lôle de deux racines ; c'est une circonstance qu'on a observée déjà pour les polynômes. Les remarques qu'on vient de faire conduisent immédiatement à la proposition que voici, et suffisent, avec un peu de réilexion, pour en reconnaîlre la vérité..

Soient Xi, x.,, . .. .'„ n nombres distincts, auxquels correspondent les nombres naturels a,, ao, ..., a„ ; je suppose que .x, (/ = i,

2, ..., /() annule la fonction /(•'•) et ses y.i — i premières dérivées; si a, était égala i, il faudrait entendre simj)lement que .r, annule/(j?). 11 existe un nombre x compris entre le plus petit et le plus grand des nombres ./■,, x.^, ..., x,, qui annule la dérivée de f[x) d'ordre a, -+- a^ -H ... H- a„ — i.

La proposition suppose que la fonction /*(,/•) admette des dérivées jusqu'à Tordre a, h- a^ + ... -+- 7.n — i inclusivement, dans un intervalle dont les bornes sont respectivement le plus grand et le plus petit des nombres Xi, x^, ..., ./•„. Il est même bien aisé de voir, en remontant les raisonnements précédents et en se reportant au n" 215, que si l'on est assuré de la continuité, dans tout l'intervalle considéré, de la dérivée d'ordre y.i -+- a^ -4- ... + a,, — 2, l'existence de la dérivée d'ordre a, + a^ H- ... h- a„ — i n'est nécessaire pour la validité du théorème qu'à Vinlerieiir de cet intervalle. Il est à peine utile de dire que l'existence de la dérivé»

ClIAPmΠ\I. KTl DE DFS FONCTIONS SSq

d'ordre r/.y -+- ^-' -H . -H 7.„ — i dans luul riiilcivallc Implique l'exislcnce et la conliniiih' dans ce même intervalle des dérivées d'ordre moindre.

230. — Supposons cjue, dans l'inlcrvalle [a, h) auquel appartiennent les nondires j'\, j:,, ..., ./„, la fonction J[-c) admette des dérivées jusiju'à l'ordre />= ai -+- a^ + ... -f- a„, inclusivement. On a vu au n" 174 comuient on pouvait construire un polynôme P (.r) de degré inférieur à/), qui pourj;=j;,(/= i, 2, ...,/j), prenait, lui et ses a; — 1 premières dérivées, les mêmes valeurs respectives que la fonction y (•'") et ses a, — i premières dérivées, en sorte que pour .'■ = ./•, la diilerence /(•'") — P (•'■) soit nulle ainsi que ses y.i — I premières dérivées. Dans un grand nombre de cas, ce polynôme fournit une valeur approchée de f\x) pour les valeurs de X qui sont comprises entre le plus grand et le plus petit des nombres .ri, Xi, .... ./■„ (interpolation). Le théorème précédent fournit une expression, qui peut être utile, de l'erreur que l'on commet ainsi, pour une valeur donnée Xq de x, que je suppose appartenir aussi à l'intervalle (a, b\

Je représenterai celte erreur par

en sorte que l'on ait

Jix,) - V {,;) - A (..„ - .ri)^4 (.r, r,)'-2 . . . (.,„ :,„)«. o.

A étant un nombre dont je vais chercher une évaluation. Considérons la fonction de x

où A est, bien entendu, le même nond)rc que tout à l'heure; ce fonction est nulle ainsi que ses a, — i premières dérivées pou x = Xi(< = I, 2, ... n), puisqu'il en est ainsi de /(./;) — P {x par hypothèse, et du dernier terme, en vertu de sa forme ; elle est encore nulle pour x = Xo ; sa dérivée d'ordre /) devra donc s'annuler pour un nombre | intermédiaire au plus petit et au plus grand des nombres x,, Xi, ..., ./■„ ; or la dérivée d'ordre/) du po-

SgO IMRODLCTIO.X A LA TllÛOnii: DES FONCTIONS

lynome P {x) est idenlicjuemenl nulle, on aura donc

ty(^')(;i i.-i .../)A = o et, par suite, en mettant ,>• à la place de x^.

fÇr) = P (.-,.) + (^-x.)''(.r-x,)^...(.r-.r^ .,^„ ,

Si, en particulier, on veut que le polynôme P et ses p — r premières dérivées prennent respectivement pour ./; = x^, les mêmes valeurs que/ (.r) et ses/> — i premières dérivées, on devra prendre (n" 174 .

et la formule générale conduit à celle-ci :

qui suppose l-'existence des p premières dérivées dans l'intervalle {a, b) auquel sont supposés appartenir les nombres x, x, ; z est compris entre ces deux nombres.

(') La méthode qui vient de servir pour la drterminalion du nomlire A s'applique dans beaucoup de questions analogues. Je me contente d'écrire les formules suivantes que le lecteur n'aura aucune peine à établir par nette voie.

(1) /A -/(«)=i^:^[y'^6)+/^>]-':^[/^fc)-/,a)] + ^/va),

(ir /,M -/«)='—[/'(. +roo + ,r{^i±^)] + ^^^ra;

Pour chacune de ces trois formules on suppose que, dans l'intervalle (a, b) les dérivées de la fonction J (x'. existent, au moins jusqu'à l'ordre le plus élevé de la dérivée qui figure dans la formule ; ; représente toujours im nombre compris entre a et b. La formule (I) est un cas particulierd'une formule générale qui sera établie plus tard ; la formule (III) ne difTère que par les notations d'un résultat établi au n° 228 pour n = 2.