CII.VPITUE M. ÉTLDE DKS FONCTIO^^S
231. — (Ictle (leriiièrc formule, avec un léger changement dans la forme du dernier terme, peut se déduire aisément ilii ihéoièuie des accroissements finis et d<; la dernière identité du n 210.
Soient en effet /(.v) et ç(r) deux fonctions de ./• qui, dans l'inlervallc (rt, b], admettent des dérivées jusqu'à Tordre yj. Si l'on suppose que les (/> — i )"■' dérivées soient continues dans cet intervalle, il suffira d'ailleurs d'admettre l'existence de la yj" dérivée à h'nlcriciir de l'intervalle, La dérivée de la fonction
est égale (n" 210) à
f{:c) 'iW (.r) + (— i)'' - */>'') r^) 9 (^)-
La différence entre les valeurs que prend cette fonction pour .V = b, x= a sera donc égale au produit de 6 — a par la valeur de la dérivée pour une valeur | comprise entre a el b : en d'autres termes, on aura
( = (/> - «) [/(O ^["] (X) + (- I y- ' fi"^ (^)?m■
Celte formule est susceptible d'un très grand nombre d'applications ('). Si, en particulier '^ (./■) estun polynôme du degré yj — i., le terme /(|) ^i'')(|) disparaîtra du second membre; d'un airtre cûtéç;^''~') (.r) se réduisant à une constante, les quantités 'y^'~'>(6), o'''~*'(a) seront égales. Si l'on veut en outre faire disparaître les termes
il suffira de prendre pour 'i/ (a-) un polynôme qui s'annule pour 5C = 6, ainsi que ses y) — 9. premières dérivées, en sorte que b sera une racine multiple d'ordre p — i pour cp (r) ; prenons ce
(') ^oi^ flans le t. II de la 3® série du Journal de lÀouvillc, p. 39;}, le Mémoire de M. Daruoux, Sar les développements en série des fondions d^une seule varinblc.
392 INTROnUCTION A LV TIIKORIE DES FOCTIONS
polynôme sous la forme
on aura
La formule (i)devlcndra, après avoir divise pai ( — i)''"S
C'est la même formule que celle qui termine le précédent numéro, saufla différence entre les notations, d'une part, et d'autre part entre la forme du dernier terme de la formule rappelée et du second membre de la jirésente formule.
Au reste, il est aisé, en utilisant toujours l'identité du n" 210, et en rapprochant le raisonnement de celui qu'on a employé dans le numéro précédent, de parvenir à une formule un peu plus générale. Si on désigne en effet par /• un nombre naturel, au plus égal à p et par A [b — a)"" la valeur du premier terme de l'égalité (i), en sorte que la fonction de x
soit nulle pour x = a cl x =z b, la dérivée de cette fonction devra s'annuler pour un nombre z compris entre a et 6 et différent de ces nombres ; on en conclut
en sorte que, en adoptant pour le polynôme '^ (x) la même détermination que tout à l'heure, on aura
CHAIUTUE M. KTLDE DES FONCTIONS SqS
et, d'aulrc part,
C'est, pour r = i, la formule (2), et pour r — /), la formule rpii termine le préccdenl numéro.
Eu remplaçant dans la fornuile précédente h par n ~ /;, et £ par a H- 'jh, où 'j dési^'-no im nombre positif plus petit que i, elle de\ient
i..i...[p — i)-' ^' ri.2...(/) — i)-' ^
on donne habituellement à cette formule le nom de formule de Taylor ; le dernier terme s'appelle reste ou terme complémentaire. La nouvelle forme qu'on ^ient de donner à ce reste offre quelque intérêt pour certaines applications, mais la véritable importance de la formule de Taylor n'est pas dans ce reste ; elle est dans le fait que la fonction /(•/;), au voisinage d'une valeur a de la variable, se comporte à peu près comme un polynôme ordonné suivant les puissances ascendantes de l'accroissement h de la variable ; c'est sur ce point que je vais insister.
232. — Supposons que la fonction f(.c) admette dans l'intervalle (A, B) des dérivées jusqu'à l'ordre/) inclusivement et que la p" dérivée soit bornée dans cet intervalle (c'est ce qui arrivera si elle y est continue) ; supposons que a soit intérieur à l'intervalle (A, B), la formule précédente sera valable pourvu que la valeur absolue de h soit suffisamment petite, et l'on voit que, pour les valeurs x = a 4- A de la variable voisines de a, la fonction /(.r) se comporte comme une de ces expressions très voisines d'un polynôme ordonné suivant les puissances croissantes de la variable //. ou .X — a, dont il a été question au n" 173, dans lesquelles seul le coefficient de la plus haute puissance de la variable n'est pas une constante, mais bien une fonction bornée de celte variable ; pour
?>f)^ INTRODUCTION A. L.V TIIKOUIE DES FONCTIONS
les petites valeurs de // celle expression se comportera comme mi polynôme; elle fournira, en prenant im, deux, trois, ... termes, des valeurs approchées de la fonction ; le premier terme qui n'est pas nul dans le second membre donnera le signe de /(a + h) [ou de /(.ï-')] pour les petites valeiirs de h [ou pour les valeurs de ./' voisines de a|; la jiaritr et le signe de la prcuiicre des dcrivéesy (o), /"(rt), ... qui n'est pas nulle renseignera sur le sens de la variation de f{.v) pour x = a, etc. Tout ceci a été suffisamment expliqué à propos des polynômes pour que je ne m'y arrête pas davantage. Je rappelle enfin, que si l'on se fixe le nombre naturel /9, il n'y pas, en dehors du second membre, d'autre expression de la forme
Ao -+- Al h + ... + A^, h!"' -h A, /<'',
où A„, Al, ,.., A/,i soient des constantes et A,, une fonction bornée, qui puisse être égale à /{a -+- h) pour les petites valeurs de //. En d'autres termes, un développement de cette nature n'est susceptible que d'une seule forme. Celte remarque est souvent utilisée pour le calcul de la r* dérivée d'une fonction /(.>'), r étant un nombre naturel <Cp- Si l'on a pu en effet calculer d'une façon ou d'une autre le développement
A„ -+- Al /i H- ... -+- Ar h'- H- ... -t- A,, 1 h!'' ' -t- Xj, lO',
on aura
Il convient de noter le cas où a est nul : on suppose bien entendu que G appartient à un intervalle où la fonction f(J-) admet des dérivées jusqu'à l'ordre p inclusivement ; on a alors, en remplaçant h par X ;
elle convient particulièrement à l'étude de la fonction pour les petites valeurs de x. Il va de soi que, si l'on connaît d'ailleurs un
CIIAriTHE VI. LILDE DES FONCTIONS OQ.J
dcvoloppcmcnt en série cnlièrc
f ./■) = flp H- «1 .r -f- ... H- n^, , .r)' — ' -f- a^, .W + ...,
on connaîtra par là même les valeurs pour x = o des quantités /(g), /" (o), /"(g), ...,//'-' (o); quant au reste ou au terme complémentaire, c'est le produit par x'' de la somme de la série convergente
0^, -+- «^ + 1 .'• + Cl^, .:. 2 .T- -h ...
233. — L'étude d'une lonction aux environs d'une valeur'/ de la variable se ramène, en posant x = a -i- h, au cas où la valeur de la variable, au\ environs de laquelle on veut étudier la fonction, est nulle ; de même, si l'on veut étudier la fonction pour les valeurs de la variable très grandes en valeur absolue, on posera
./■ == - ; c'est ce qui a été déjà dit, à propos des polynômes ou des
fractions rationnelles, (n'"* 173, 174). Je me limiterai donc, dans ce qui suit, au cas où l'on veut étudier une fonction aux environs de la valeur o de la variable.
I. Cette étude, est très facilitée lorsqu'on peut ordonner la. fonction sous une forme telle que
/(^) = ?o(-'') + ?.(•'•) + ••• + 'fi-CO'
où '^0 (•"'?)' '-^1 (•^')' •••' ^^^^ ^^^ expressions aisées à calculer, dont chacune, lorscpie x tend vers o, est infiniment petite par rapport à celle qui la précède : on entend par là que les rapports
?i(i^), 'hM, 'hia:), ...
ont pour limite o quand ./: tend Acrs o. S'il en est ainsi, il est clair que chacune des expressions
?0 '•'■)> 'fo (-'') -^ ?, {■'•)' ?„ (•^') + 'fl (•0 + ?2 i^'h ■ • •
constitue une expression approchée de /(•'"), pour les valeurs de x voisines de o, en ce sens que l'erreur relative commise en remplaçant f{x) par l'une de ces fonctions tend vers ^o quand x tend vers o : si le premier terme que l'on néglige, dans la suite
3ç)6 INTRODUCTION A LA TIlKOnlE DES FONCTIONS
Ço (•'■). '-;,(.«'), ... est infininicnl p^Hil avec .r, c'est-à-dire, tend vers o avec x, l'erreur absolue est infiniment petite avec .r. Suivant que l'on aura
liin. o„(.r) = + 30 , liin. '-f'„(.') = — '-c , H m. 'f „ (.'') = A,
il est clair qu'on aura de même
Uni. / .#■) = + 00 , lini. J\.r) =- — X , Uni. /"(./) = A,
Uni. /*(./■) = o.
11 est bien clair aussi que, pour les valeurs de x suffisamment voisines de o, le signe de f{x) est le même que celui de '>„ (./■). Cela revient à dire, dans le cas où ç^o(-Z") est infiniment petit (absolument) avec j?, que la fonctiony(jî) est croissante ou décroissante pour X = o suivant que la fonction çîoG'C) est elle-même une fonction croissante ou décroissante, pour x ^ o.
II. Un cas particulier très fréquent, est celui oii la fonction /(.r), dans le voisinage de ./: = o, peut se mettre sous la forme
où a,,, a,, ..., 7./, sont des nombres croissants, où A„, \^, ..., A^, ,, sont des constantes et A^ une fonction de x, bornée lorsque x reste voisin de o. Tel est îe cas pour les polynômes et les fractions rationnelles (n"" 173, 174). Tel est encore le cas pour les fonctions développables en une série entière en x
rj„ -t- a^.r + a. y- + ... -h rt/,i.r''~* -h a^^xi' H- ...,
que je suppose absolument convergente pour les petites valeurs de X, en prenant pour A^, la somme de la série convergente
Tel est encore le cas pour les fonctions pour lesquelles les formules du numéro précédent sont valables, en supposant, bien en-
CIIVMTHE VI. LTLUi: DES F0^GT10^•S .><)7
tendu, que le coeriitienl ilc .'■'' clans le terme com[)lémentaire, suit une function bornée.
Dans ces diflerenls cas, les nombres a„, a,, ..., a,, sont entiers cl l'on peut supposer que ./■ tende vers o, soit i)ar valeurs positives, soit par valeurs néj,'alives. 11 en serait autrement si (juelqu'un de ces nombres était ou un nombre irrationnel ou une fraction irréductible à dénominateur pair, aufjud cas on ne pourrait considérer que des valeurs positives de .r.
Notons que la forme considérée sera [)arli(ulicreuient utile si le nombre 7.,,, au moins, est positif, puisque alors, l'erreur commise en néglij^eant le dernier terme est inliriiment petite avec./'.
Notons encore que plusieurs expressions du type considéré peuvent se cond)iner par addition, soustraction, multiplication; et même par dl\ision (en elTectuant cette dernière opération par une règle analogue à celle qui sert pour les polynômes) de manière à reproduire des expressions qui soient encore du même type, et servent au même usage. Il con\iont toutclbls d'observer que ces expressions finales n'auront le plus souvent d'utilité que dans le cas où elles contiennent au commencement des termes à coefficients constants, non nuls, et où le dernier tcime est infiniment [)ctit avec x.
111. Plus particulièrement encore, il arrive fréquemment qu'on ait affaire à des expressions de la forme .7;"'P (./;) dans laquelle P(j?) est, soit une série entière en x, soit une de ces sortes de polynômes ordonnés suivant les puissances entières de x, dans lesquels le coefficient de la plus baule puissance de ./• est une fonction bornée, au lieu d'être une constante, comme les expressions que l'on a considérées dans le numéro précédent. Dans les deux cas, je suppose essentiellement que P(j") commence par un terme constant, différent de o, en d'autres termes que P (o) n'est pas nul. Il est clair que deux expressions de ce type, x"'V (x), x"Q{x), si on les multiplie l'une par l'autre, reproduisent une expression du même type rc"' + " R^.'), où 1\(./-) = P (./-y Q (./■); si l'on suppose en particulier
P(.r) = rr,, + n^.r -+- ... + ri,i.r' ' -h a,..r'", 0(.f) = 1)^^ -+- h^.r -+- ... H- li,^i.i' ' -+- b,x''.
OU
ù a„, «,, ..., «,.i, /'„, l>t, ..., l>,-i sont des constantes et a^, brdes
SgS lNTnODUCT10>- a la TFlÉOniE DES FONCTIONS
fonctions bornées, on aura ilc môme
]\ ./•) = c„ -+- Cj.T +- ... -i- c,.|,r' • -+• c,..'r'',
où les consLanlcs r„. c\, — c,.i ne dcpcndionl que des constantes
a , a,.i. 6y, ..., /',., et auront les mêmes valeurs que si l'oai
avait multiplié simplement les deux polynômes qui se déduisent dePï^.'.'), Q(.'") en supprimant les termes complémentaires a,x'\ brX'' ; de même encore si l'on divise l'une par l'auLre les expressions a:'"P(.r), x"Q[x), on aura une expression du même type./;'""" S'(«;), S(.'") commençant par un [lolynome (/„ H- f/,j; -i- ... -t- c/,.„i jc'"~' à coefficients constants, qui serait le même que celui obtenu cn^fTectuant la division de
et en s'arrètant dès que le reste est divisible par .r''.
De même encore si l'on élève à une puissance a l'expression x"'P(j:), on obtiendra l'expression
dans laquelle on a posé
et dans lacjuelle, si a est un nombre irrationnel ou une fraction irrcduclible à dénominateur pair, on doit supposer a^ > o, pour -que ttg ait un sens. On a d'ailleurs
■où il est clair que A est une fonction bornée dans le voisinage de o. On voit de suite que le second membre peut s'ordonner sous la forme
