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riIAPITUE VI. KTIDE DES KON'CTIONS 3<)9

que les cocITicicnts constants 1,-^, /.\,, ..., A",. i ne dopendcnt t|Me de a„, a,. ..., o^i, que ces coefliciciils sont les mêmes que si l'on s'était servi, au lieu de '^{■r), du polynôme qu'on en déduit en

sui)i)rimanl le dernier terme — ./;' et si l'on avait limité au terme

le développement de [i + 9(j')]^ ; de cette façon on aura mis la puissance a" de x'" P(.c) sous la forme .c'"" ï (.»•), appartenant au Ivpc considéré.

L'exemple qu'on vient de traiter suggère la remarque suivante qui peut être commode. Si dans l'expression

-^0 + '-^iJ + •■• + A,i y— ' + \,y

dans laquelle \„. A,, ..., A,.i sontdes constantes et A,, une fonction bornée quand v reste voisin de o, on remplace y par l'expression

OÙ a,, y.,, •••• y-r-i sont des constantes et y.r une fonction bornée lorsque x est voisin de o, on obtient une expression delà forme

où B„, B,, ..., B,.i sont encore des constantes et B,. une fonction bornée ; pour calculer B„, Bi, ..., B,.i, il suffit, dans le polynôme en y

Ao -h A,y -h ... -H A, iV - ' ,

de remplacer :/; par le polynôme

d'ordonner par rapport aux puissances de x, en négligeant les termes de degré égal ou supérieur à ;•.

Ce que je viens de dire suffit amplement pour que le lecteur comprenne que, si l'on veut parvenir à ces expressions approcbées d'une fonction qui permettent de la calculer approximativement et

lOO INTUODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

de se rendre coinplc de son allure pour les valeurs de x voisines de G, on peut, dans bien des cas, se borner à elïccluer des calculs sur des polynômes ordonnés suivant les puissances ascendantes de la variable. Toute rbabilclc consiste à ne conserver dans ces polynômes que les termes dont on a besoin pour arriver au résultat désiré. Les remarques qui précèdent suffiront le plus souvent à atteindre ce but.

234. — Les observations que l'on a faites dans le précédent numéro sont particulièrement utiles pour déterminer les limites, pour une valeur donnée de la variable, d'expressions qui, pour cette valeur, prennent une forme illusoire ; telles sont par exemple les expressions

./• — sin X . . , p , (3.r — tt) tn-.r

la première pour .1; = o, la seconde pour .r ^= -^ . Les fonctions,

pour ces valeurs respectives de x, ne sont pas définies ; elles sont définies pour les valeurs voisines ; il est naturel de se demander si elles ont une limite, et d'une façon plus générale comment elles se comportent : il suffira pour la première de remplacer au numéra-

teur sin x iiar x — tt H — — ... ; elle deviendra alors, après

avoir effectué la division par ./;%

et l'on voit de suite que la fonction considérée admet n pour limite, pour.': = o; on dit, avec la mémo signification, que, pour X = G, sa vraie valeur est ,> ; on voit de plus que si on lui attribue

effectivement cette valeur, elle est continue pour x = o et passe par un maximum.

Pour l'expression [2 x — -) tg- x, on y fera x = ^ -h h ; elle

deviendra

2/1 2 h ces- h

tg- /( sin- h

CIlAI'iriU: \I. KILDE DES li.)NCTI(JNS .'jOI

ot ne reniplaraiit sin /; ot cos // iiar h — ,. -4- ..., i h ....

3 1 — li^ -i- ... :j /|

lorsque .'• s'approche de '.y (^ *' — t,) tg^ -c se comporte comme

la fraclion — ^, et tend vers -{- oc ou veis — x> suivant que x •i

s'approche de -" par des valeurs phis grandes que -, ou plus petites; la dilTérence

(2 X — -) ly- ./• i— -

a poiu" limite o, quand .c s'approche de - Soit à évaluer l'expression

pour des valeurs positives très grandes de x; on devrait, d'après la

règle donnée au n° 232 poser x = - et étudier la fonction trouvée

pour z voisin de o ; on va faire exactement les mêmes calculs, sans toutefois faire ce changement de variables ; on a

\^x- H-.r-v-i=:.Mi-t-^. -+- ^ T

Ta5.nerï I. — Introduction à la théorie des fonctions 26

.'i02 INTUODUCTION A. LA THÉORIE DES FONCTIONS

et par suite

le second membre, ponr.x = 4- so , admet la limite - dont il s'approche en décroissant.

Proposons-nous d'obtenir une expression approchée, pour les valeurs de .v voisines de o. de la fonction

en désignant par a un nombre donné quelconque ; le logarithme de cette fonction sera

I 7." T a'' T^ OL* T"*

en posant

on a donc

y = e^°S :- ^ e^ X 6'= = e^ fi -4- ^ -^

si l'on veut, dans l'expression que l'on cherche, ne garder que les termes de degré égal ou inférieur à 3 (en x), on s'arrêtera dans le développement de y au terme en z^, et l'on y remplace

z par -__ + ^---^.

- par —^ 3-.

on trouve ainsi

-+- A.rH.

CIIAriTRr M. KTIDE DES lONCTIONS ?io3

A «''lanl une fonction bornée pour les valeurs de x voisines de o. On conclura, par exeui[)le, tle celle formule que la limite, pour X = o. de

ou la liniilc pour m infini de

me ( m — —

est

Les exemples qui précèdent suffisent à faire comprendre l'usage des méthodes qui ont été expliquées dans ce numéro; il convient de rapprocher de ces méthodes les résultats suivants, relatifs aux fonctions ex[)onentielle et logarithmique, que l'on a établis aux n"^ 191, 192.

Quchjue soit le nombre [)Osilif /?, on a en supposant que j: Jie prenne que des valeurs positives

lim, (.ï" e~^) = o, lim. [x-" e"") = -f- ce , lim. \x" e^/ = + ^ ,

X = GO X = X> X :^ o

lim. (.r" log x) = o, lim. (.;~" log x) = o.

Pour des valeurs négatixes de :c, on aura en supposant toujours n positif, mais égal soit à un nombre naturel, soit à une fr-action irréductible dont le dénominateur est iuqoair.

lim. (./■" e~'') = -h co , lim. \x" e^ ) :r= o

La formule lim. {x — " log x) =o, par exemple, permettra au lecteur de reconnaître que la série

ICJ INTRODUCTION A I.\ THICOUIE DES KONCTIONS

csl toujours divcrtîcnlo ; il sulVil pour cela de la comparer à la série divcrgcnlc

et de constater, (n" 130). que le rapport du terme de rangp — i dans la première au terme de même rang dans la seconde, rapport qui est l'inverse de

-• (l0gp)«=r [/> " log/J

augmente indéfiniment avec p.

Lorsque x tend vers o par valeurs positives, l'expression x^ tend vers I, puisque son logarithme, dans les mêmes conditions tend vers o.

Les méthodes et les résultats qu'on vient d'exposer sont d'un usage courant ; hien que les règles que je vais expliquer, relatives à la recherche de la limite d'une fraction dont les deux termes s'annulent ou deviennent infinis pour une même valeur de x soient d'un usage moins fréquent, elles ont cependant quelque intérêt par elle-même ; avant de les établir, je démontrerai d'abord un le m me,

234. — Soit/(.r) une fonction admettant une dérivée f'{x) à l'intérieur de l'intervalle (a, j;,), oi!i l'on suppose a<Cx^, et telle que, pour les valeurs de x intérieures à cet intervalle, on ait

Ji'»- I /(•'■) ! = -+-=^;

il existe une suite infinie de nombres |,, ç^, .... |„, ..., tous intérieurs à cet intervalle et tels que l'on ait

lim. ç„ = .r,, lim. [ /' (?„) | = -h ce.

Soient en effet A un nombre positif quelconque, a et x deux nombres quelconques intérieurs à l'intervalle (a, 5C,), on aura