CHAPITRE VI. ÉTLOn PES FONCTIONS '\O

en désignant par z un nombre compris entre a et.// ; pour rpic l'on ait I /' (z) I > A, il sulfil de choisir ./; de façon que l'on ait

l/(-'-)l>l/Wi + l'--l-^.

ce qui est certainement possible, puisque | /(■/") | grandit indéfiniment quand ./; s'approche de .'',. Désignons maintenant i)ar A,» A,, .... A„, ... uno suite de nombres j)Ositifs telle que l'on ait lim. A„ = -r- X ; par a,, a,, ..., a„, ... une suite de nombres in-

térieursà l'intervalle (a,./;,) tels que l'on ait lim a„ —■ .'■, ; désignons

enlin i)ar ç„, le nombre | déterminé comme on Aient de l'expliquer en prenant a =^ a„, A = A„ ; on aura

»n < Il < ■'■i, I /' il,) 1 > A„,

ces inégalités elles hypothèses faites sur les suites dont <i„ et A„ sont les n"" termes mettent en évidence la vérité de la proposition énoncée. 11 est bien clair que si, à l'intérieur de l'intervalle [a, .r,), la dérivée /' (.r) est soit toujours croissante, soit toujours décroissante, on aura, pour les valeurs de ./,■ intérieures à cet intervalle, soit lim. /" (.'•) r= + ce , soit lim. /' (./;) ^= — ce.

Il est clair auss? qu'on aurait un théorème analogue pour le cas où la fonction/ [x) augmenterait indéfiniment, en valeur absolue, quand ./; tend vers Xi par des valeurs plus grandes que Xi.

235. — Les règles que j'ai maintenant en vue concernent la recherche de la vraie valeur d'une fraction •'—W dont le numérateur et le dénominateur s'annulent ou deviennent infinis pour une même valeur de x.

Plarons-nous d'abord dans le premier cas, et supposons que les fonctions /(.a;), '^ (x) soient nulles pour ./; = a, que ce nondire a appartienne à un intervalle (/;, y) dans lequel les fonctions /(x), 'v (c) admettent des dérivées /' (x), d (x), dans lequel enfin les

fonctions '> (x), 'J (./•) ne s'annulent pas, sauf i)Our ./• = a.

Dans ces conditions, je vais montrer que, si le rapport --,-4^

tend vers une limite /lorsque ./• tend vers a par des valeurs a[)par-

^oS

INTRODUCTION .V L\ TIlÉOniE DES FO^iCTIONS

tenant à l'inlervallc (p, q), le rapport -'—V^/v tendra aussi vers celte

limite.

Si^ en elTct, le rapport VVJ tend vers /, à chaque nombre positii' c correspondra un nombre positif z^, tel que l'on ait

sous Ta condition que ,r appartienne à rintcrvalle (/). (j) et que Ton" ait

Pour ces mêmes valeurs de x, on a

fji) — /•c^)-/(^o =IJÏ)

? étant un nombre compris entre j? et a et satisfaisant donc aux inégalités o < | ; — a | < r. : on aura par conséquent

fJ:'') /

ainsi, à chaque nombre positifs correspond un nombre positif /; tel que les inégalités o < | ■'' — « | < ^^j entraînent l'inégalité

en supposant toujours que ,/; appartienne à l'intervalle {p, 7). C'est dire que lorsque x tend vers a, le rapport -V.( tend vers /.

On ne peut pas conclure de la démonstration précédente que, réciproquement, si le rapport t-^, tend vers la limite / lorsque x

tend vers a, le rapport "^-7-/— x tend vers la même limite; on peut toutefois affirmer l'existence d'une suite infinie de nombres c,, I2,

cnAPlTUF. M. — ÉTUDE DES FONCTIONS ko-J

appaitcnanl à l'inlcivallc (/), 7^ et ayant pour limlle le

nombre a, telle que l'on ait

En effet si. en supposant

lim. J^^, =-- l.

on considère une suite infinie de nombres x^, x,^, ..., x,,, ... appartenant à l'ialervallc (/), q) et ayant a pour limite, on aura

lim. f-YA = l :

or, à chaque nombre x„ correspond un nombre £„, compris entre x„ et a, tel que l'on ait

et l'on aura évidemment

11m. ?„ = a, lim. -^-Ife = '•

Si, donc, le rapport -'-r-T^' s tend vers une limite lorsque./; tend

vers a, cette limite ne pourra être autre que /. Il en sera ainsi, en

particulier, si les deux fonctions /' (./■) etç:' (.r) sont continues pour

.c = « et si l'on a o' la) § o. Au surplus, cette conséquence est

contenue dans le théorème direct.

Revenons maintenant à ce théorème et à la règle qui en résulte.

r i^) • Il peul arriver que, pour x = a, les termes du rapport"' , --- r soient

nuls ; dans ce cas il semble qu'on n'ait rien gagné à l'application de la règle ; toutefois le nouveau rapport peut être plus simple que l'ancien ; il peut être plus facile d'en calculer la limite. Au surplus on peut appliquer à ce rapport la même règle qu'au précédent : si, dans l'intervalle {p, q) les fonctions/' (.c), '^' (./;) admettent des dérivées/" (./;), '>"(•'-■)' ^' '^^ fonctions d {x) et o" {x) ne s'annulent

4o8 INTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS

pas pour d'autre valeur que ./• = a, si enfin le rapport'-,,, . . tend

f ( —\ vers une limite / quand x tend vers a ; le rapport-; , .; tendra vers

la même limite, et il en sera par conséquent de même du rapport

•^ etc

D'ailleurs, si dans Tinlervalle (/^ 7) les fonctions / (./;^, ç; (.r) admettent des dérivées d'ordre i, 2, ... /et sont, pour x = a, nulles ainsi que leurs dérivées jusqu'à l'ordre / — i, si les fonctions ç; [x), d {x), ..., ç.'' (.r) ne s'annulent pas pour d'autre valeur que X = a, la suite d'égalités, obtenues par l'application répétée du théorème du n° 217

oîi les nombres r, |', ç", .... ^^'- ') sont compris entre xci a, met directement en évidence cette proposition : si, dans les conditions

fi) [x] spécifiées plus haut, le rapport •[,-, / -; , tend vers une limite /,

lorsque x tend vers a, le rapport -M-x tend vers la même limite. Si l'on considère par exemple le rapport

dont le numérateur et le dénominateur s'annulent pour x = o, on voit, en appliquant la règle précédente, que, [x tendant vers zéro, il doit tendre vers la même limite que les rapports successifs

I — cos a- sin X I

dont le dernier est évidemment la vraie valeur que l'on cherchait.

Considérons maintenant un rapport-'-^ dont les deux termes

deviennent infinis pour x = a; je ferai tendre x vers a par des valeurs moindres que a ; le raisonnement serait le même si x tendait vers a par des valeurs plus grandes que a. Je supposerai