CHAPITRE VI. KTIOF. DES FONCTIONS '{OÇy
qu'il existe un intervalle (/>, (i), où p est plus petit que a, à l'intérieur duquel les fonctions fi.c), '> (.r) admettent des dérivées y (./■), ç/' (./•), cl à l'intérieur duquel aucune des fonctions /{.c), '> (•'•>./ (■'■)' ?'(•'■) "C s'annule. Dans ces conditions, on peut énoncer le théorème suivant.
Si, lorsque ./■ tend vers a par des valeurs comprises entre // et a^ les fonctions f(.r) et '> (x) grandissent indéfiniment en valeur
absolue et si le rapport •V?-^ tend vers une limite /, le rapport
•^-î^ tend vers la même limite.
Soient, en elTet, a et c deux nombres intérieurs à l'intervalle
(/), a), y. étant supposé plus petit que ./•, l'égalité où 4 est compris entre a et .r, entraîne la suivante
on peut prendre a assez voisin de a pour que les valeurs du rapport ^ , y' soient aussi voisines qu'on voudra de / pour les valeurs de z
comprises entre a et a ; ç est une de ces valeurs ; a étant ainsi fixé, on peut prendre x assez voisin de a pour que les rapports-
--,--; j F^— soient aussi petits qu'on le veut, et que, par conséquent ç,(j-; f^xj ...
le second facteur du second membre soit aussi voisin de i qu'ort le veut ; il en résulte qu'on peut prendre a et x assez voisins de a pour que le second membre soit aussi voisin de / qu'on le veut. Cela revient à dire que le premier mend^rc tend vers la limite l quand ./; tend vers a.
On montrerait sans peine que, réciproquement, si le rapport J-1^ tend vers une limite / quand .'• tend vers a, il existe une suite
infinie de nombre ci, £.^, ..., |», ..., plus petits que a et tels quel'on ait
lun. ;„ = a, hin. ;— yr-^ = '•
4lO INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS
en sorte que si le rapport-^, \^ ""^ limite pour ./• = fl, cette
limite ne pont vive que /.
llcvenons au lliéorcmc direct. Une scmbh^ pas, tout d'abord, qu'il y ait grand a\ anlafi:c à appliquer la refile qu'il exprime à la recherche
de la limite d'un rapport =^-77^ dont les deux termes deviennent
/■' (x) infinis pour ,'■ = a. puisque les termes du rapport'77-T— : ne sont
pas définis pour ./• = a, et que ces termes grandissent indéfiniment en valeur absolue quand x s'approche de a, au moins par une suite de valeurs convenablement choisies ; mais ce dernier rapport peut se présenter sous une forme plus simple, qui permette d'obtenir la limite cherchée.
Soit, par exemple, en désignant par n un nombre positif, la fraction
gX
dont les deux termes augmentent indéfiniment quand x tend vers o par valeurs positives : pour en obtenir la vraie valeur, on est amené à chercher celle de
-"■ar"'i (■)"
on a diminué d'une unité l'exposant de - ; en continuant de la
même façon, on arrive à le rendre nul ou négatif et à s'assurer que la limite cherchée est o.
Si c'est pour x infini qu'on a à chercher la vraie valeur de la
fraction-'-^ , il suffira d'y poser x = - et de faire tendre r verso, ç (or) -^ ^ z
On est ainsi amené, par les règles précédentes, à chercher la
limite du rapport
