Si jine fraction à termes entiers^ approclic plus d'un

nondjrc A (pic la ii° réduite j^, le dénominateur y de celle fraction

est plus grand que Q„, (on siqipose y positif). L'inéi,Mlilé

oT.

traduit la suiiposilion que l'on a faite. Puiscpie A est compris

Pn Pn l ,■

entre ^" et -^ — et qu'il apj)roclie plus de la première réduite que

delà seconde, puis(|ue, enfin, ' approclie plus de A que ^", il faut

P • • Pn Ph

que'- soit compris entre ~ et ;,— — ; sa différence avec l'une ou

l'autre des deux fractions est donc moindre en valeur absolue (pie

56 I>TUODUCTI()X A LA ÏIIKOUIE DES 1- ONCTIONS

leur dilTércncc iiuilucUo. et l'on a

7 <in-l

^ 1/)Q,,-1 — yPn-ll ^ I .

mais comme le nombre positif \j)Qn — i — 7P„i|, qui ne peut

être nul puisque les doux fractions-. — ^^^- ne sont pas égales,

7 V" — 1 est au moins rgal à un, il faut que 7Qm i soit plus grand que Q»iQ>i i, c'est-à-dire que (j soit plus grand que Q„.

40. — La condition nécessaire et suffisante [)our que deux noiul)rcs irrationnels x et ./.•' donnent naissance à deux fractions conlinues illimitées telles que la suite des quotients incomplets prise dans la première à partir d'un certain rang soit identique à la suite des quotients incomplets prise dans la seconde à partir d'un certain rang est qu'il y ait entre les nombres x, x' une relation de la forme

, arc H- p

yx -h o'

où 7., ^, y, r) sont des nombres entiers, que l'on peut évidemment supposer sans diviseur commun, et qui, alors, doivent vérifier

la relation

ao — Py r= ±: I .

Soient en effet

les deux suites de quotients incomplets auxquelles donne naissance le développement des irrationnelles x, x' en fractions continues ; supposons que l'on ait

a» .^ 2 = «fl

et reprenons les notations habituelles en accentuant les lettres qui se rapportent à la seconde suite. D'après ce qu'on a dit au n" 38, A^ sera égal à A'^ et l'on aura

CIlAl'inu: I. lUACTIONS CON'TIMJKS O7

En l'Iiminaiit A,, oiiUe ces deii.v cqnallinis, un Iroiivera ciilic x et ./•' iino rt'lalioii de la forme