CHAPITRE \I. ÉILDK DES FONCTIONS /n I

quand - tond vers zéro; on a désigné par /(-)./(,) ce que deviennent les dérivées 7 (■'). 'f (•'") qnand on y remplace x par - . Le changement de variable est évidemment imilile et il

suflira de chercher la liniile du rap[)ort-^-j-- quand ./• grandit

indéfiniment.

Considérons par exemple, en supposant n positif, la fraction

îog\I-

dont les deux termes sont infinis pour j; = -+- x ; le rapport des dérivées de ces deux termes est n.';", ce rapport grandit infiniment quand x augmente indéfiniment par valeurs positives ; il en est de même de la fraction proposée.

236. — On peut rapprocher des règles précédentes, connues sous le nom de règles de l'IIospital, la remarque suivante, que l'on doit à M. Appcll.

Considérons deux séries entières

^0 -H fe,.r -+- ... H- /;„.r'» + ....

dans lesquelles les coefficients a„, l>n{n = o, i, 2, ...) soient tous positifs ; je suppose que, pour le nombre positif x = A, les séries précédentes soient divergentes, mais qu'elles convergent pourvu que .'■ soit positif et plus petit que A ; je ne considérerai, dans ce qui suit que de telles valeurs do la variable x. Il est, tout d'abord, bien aisé de voir que, si ./; tend vers A par valeurs plus petites que A, la somme de l'une ou l'autre série augmente indéfiniment; en efïet, puisque la série à termes positifs

est divergente, on peut prendre n assez grand pour que la somme de ses n premiers termes dépasse tel nombre |)osilif P que l'on voudra, puis ./; assez voisin de A pour (pic la valeiu" du polynôme ^0 "^ ^i'" "*" ••• -i- «^'i — 1'"~' soit aussi voisine qu'on voudra de

'H 2 INTRODUCTION A L\ TIllCORIE DES FONCTIONS

cello qiril proiul quand on y reniplacc x par A, cl soit, par conscqucnl, au moins égale à P. 11 en sera de même, a fortiori, de la sonmie de la série, pour celle valeur de .r et pour les valeurs plus grandes.

Ceci posé, désignons par /"(.'.■) et g [x) les sommes respectives des deux séries proposées, par /»(a:), g„{x) les sommes de leurs n premiers termes, par 1*,, ('), <«„(./■) les restes correspondants, la proposition que j'ai en vue est la suivante.

Si l'on a

(i) - li.n. ^' = /.

on aura aussi

(2) lim. /J^) = /.

Sous le bénélice de la supposition (i), on peut faire correspondre au nombre positif £, si petit qu'il soit, un nombre positif/? tel que,

sous la condition n ]>y^ le rapport , " soit compris entre / — s et

/ -f- £ ; il en sera de même des rapports.

a„J-" an + 1 J-" + ^ an ^ ».«•" + "'

a„3-» + g» + lO-" + ' + ...-ha„ + m^"+'" b,.x" + fc„ ^ j.T" +' + ... 4- h„ + ,„a-" + '" *

On voit donc, en choisissant pour n im nombre supérieur à p et en faisant grandir m indéfiniment, que l'on a

n étant ainsi fixé, je vais supposer que x tende vers A. Puisque les séries

««A" + a„ + lA" + ' -H .... 6„.\''-+-'>« + iA" + * + ...

sont divergentes, il résulte d'une remarque antérieure que F„(a;)

ciiAi'irur: m. — ûtide des fonctions '|i3

et G„[:i-') auyniculent inJcIiniincnt, comme /(.') cl y G'-'), quand x se rapproclie indcfinimcnl de A. On a d'ailleurs

, . Ml)

f{x) ^ /J.r) + F,.(.T) ^ F^) "^ 1' ,. (r) . g [x) (jn (.'•) + C;„ f.r) G„ (.lO ^ ^ g,, (.r) '

lorsque j: s'approche de A, les [)o!ynomes /'„ (./), (j„ (c) icstent inférieurs à /„(A), ^-, (A), les quantités 1*\,('), (J/i(') grandissant indéfiniment; on voit de suite (|ue, dans le dernier membre, le second fadeur tend vers i ; le premier facteur reste compris entre / — c, / j £ ; le produit finit donc i>ar rester lui-même compris entre deux nombres qui sont, l'un [)lus petit que / — i, l'autre plus grand que / -h £, mais aussi voisins que l'on voudra de / — £, l -\- i : comme i peut être pris, aussi petit qu'on le veut, on voit que le

rapport '^^^ sera aussi voisin qu'on le voudra de /, pourvu que x

soit assez voisin de A.

La proposition énoncée et la démonstration subsiste quand on a

/ = o ; si l'on avait lim. :- = -f- ^ , on voit de suite, en rcnvcrsant les rapports, que l'on aurait alors

lim. M£l = o •!'«. hik^ = ^:o

Une proposition analogue concerne les deux séries

/■(a-) = a^ -1^ ai j- -^ ... -h a„.r" -+-..., g (x) =zb^-^ b^ X -f- ... + b„x" -i- ...,

dans lesquelles les coefficients sont toujours positifs, mais que je suppose maintenant convergentes quelque soit ./;, en sorte que /{-'')> 9 (•'■') ^0"'' ^cs fonctions entières. Si l'on a

lim. ""'J = l

n r=:. CD 1*11

on aura aussi

lim. flÙ = l

4l4 IMROni'CTlON A r.A TUKORIE OES FONCTIONS

La démonstration est la nièinc, si ce n'est qu'on a à faire intervenir la remarque suivante; n étant fixe, le rapport

fn(-r)

où /„ (./•) désigne la somme des n premiers termes et F„ (./•) le reste correspondant d'une série entière, à coellicicnts positifs, toujours convergente, tend vers o quand x augmente indéfiniment par valeurs positives.

Dans les deux propositions, on a supposé que tous les coefficients des deux séries étaient positifs ; on aperçoit de suite qu'il n'y a aucun incon\énient à ce que certains coefficients soient nuls dans l'une des séries, pourvu que les coellicicnts correspondants de l'autre série soient nuls aussi ; naturellement on n'aura pas à

considérer les rapports ~ pour lesquels a,', et l>„ sont nuls. Enfin,

on voit aussi aisément qu'il pourrait y avoir au conuuencemenl des deux séries des termes nuls ou négatifs^ mais en nombre fini ; lesdeux propositions subsisteraient.

Considérons, par exemple, une série

dans laquelle je suppose seulement que l'on ait

liiii. a„ = /.

/étant un nondjre positif; il ne peut y avoir au commencement de la série qu'un nombre fini de termes nuls ou négatifs ; pour 5C = I, la série est divergente, puisque / n'est pas nul ; pour a? positif et plus petit que i, elle est convergente, puisque la limite du rapport d'un terme au précédent, dont le rang augmente indéfiniment, est x. Si on compare cette série à la série

on voit que l'on a

]i,n. (.,. ty,çr) = l,

en supposant quejc tende vers i par valeurs plus petites que i.

cn.vpiTUE VI. — lONC'iiMN SANS di:iuvi:e 'i 1 >