La fonclion de .'• définie par la si-iie

(l) J'(x) = y b" cos -a" .r,

OÙ a et h sont des nombres posilils dont le premier est un entier impair et le second est plus petit que i, et qui vérifient en outre une inégalité que l'on introduira plus tard, fournit, comme Weierstrass l'a montré, un exemple simple de fonction continue sans dérivée.

Je désignerai dans la suite par S„(.r) la somme des n premiers termes de cette série et par R„ (.'•) son reste. La série Ih", qui a ses termes positifs, étant convergente et les termes de cette série étant supérieurs ou égaux, en valeur absolue, à ceux de la série (il, celte dernière est absolument et uniformément convergente ; elle représente une fonction continue dans tout intervalle. Celte fonclion étant évidemment paire, il suffit, pour l'étudier, de considérer les valeurs de x qui ne sont pas négatives.

J'aurai affaire, dans ce qui suit, aux valeurs de la dérivéo S'„{x) de S„ (:/•) : cette dérivée est égale au prcduilpar rdc

— TT > ft'-' li'-> sin rjCJ X ;

sa valeur absolue est au plus égale à

rt" /^" — I

ah — I

Le reste R«(a:) est compris entre les deux bornes h" b"

'llO l.MUODl CnoN A LA TUKOUIE DES FONCTIONS

qu"il petit craillcnrs altoiiulrc; il allcint la première pour les

valeurs île .'• fiui sont de la forme —'—'" — , la seconde pour celles

•qui sont do la forme — /-, en désignant par j> un nombre entier ;

■en effet, si «" x est un nombre entier, il en est de même de fl""^ ' X, a" + * .r, ... ctc ; tous ces nombres entiers sont de même parité que a" ./•.

Quoique cela n'intervienne pas dans la démonstration qui va suivre, il convient d'observer que R" (./;) est nul pour les valeurs

<le :r qui sont de la forme -P^^ .

On peut dire encore que si l'on écrit :/■ dans le système de numération dont la base est a, la série f{x) s'évalue sous forme finie pour toutes les valeurs dex dont la représentation analogue a la représentation décimale (n° 11), comporte une mantisse dont le nombre de chiffres est limité : si ce nombre de chiffres est n, la

.fonction /(x) est égale à S,, (.r) ± — - — -, , suivant que le nombre

-entier a"x est pair ou impair. On observera en passant que les nombres x pour lesquels la mantisse est limitée, et pour lesquels le nombre entier a"x est pair ou impair, forment deux ensembles dont chacun est dense dans tout intervalle (').

Ces remarques suffisent à reconnaître presque immédialtement que la fonction /(.c) ne peut avoir de dérivée, au sens du n" 204, |30ur la valeur Xy de x, d'ailleurs quelconque, en supjiosant

Si l'on désigne en effet par a = — , a = — j^ les valeurs ap- |Drochées de Xq, h -^ près, par défaut et par excès, on aura

.fW)-m S,.(aO-S,.(.) ^ ^ «;^^

(') M. F. Klein, dans un cours professé à Gœltingtic dans le semestre d'été <lc 1901, auquel je me permets de renvoyer le lecteur, a fait une élude très intéressante, au point de vue de la représentation graphique, de la fonction y = J(x) et des courbes qui la représentent approximativement [y = S„ (x)] ; j'ai d'ailleurs profité sur quelques points de la forme qu'il a donnée à la démonstration de A\ EIERSTRASS.

CIIAI'IIUE M. FONCTION SANS DÉRIVÉE '| I 7

en prenant le signe -+- ou le signe — suivant que r est impair ou pair. Or, le premier terme du second membre est au

plus égal, en valeur absolue, à z -,^^ — (u" 217) : ce second

membre, en valeur absolue, sera donc supérieur ou égal à

■.ia"b" a"b" — I a"h" (-.ial) — 2 — r .

I — h " ab — I ab — i

en d'autres termes si l'on désigne par À le nombre, positif [);ir bypotlièse,

2ab — 2 — ab — I

on aura

> X oL"b" ;

quand n augmente Indéfiniment le second membre augmente indéfiniment; or cela est incompatible avec l'existence d'une dérivée pour ./: = a"„. puiscpie les nombres a, a', qui comprennent tonjours a:,j, s'en rapprocbent indéfiniment.

Mais on peut aller plus loin et, en modifiant im peu la condition d'inégalité imposée à a, b, montrer cpie la fonction /"(./•) n'admet, pour X = x^, ni dérivée à droite, ni dérivée à gaucbe et qu'elle n'est, pour celte valeur de x, ni croissante, ni décroissante.

Désignons, en effet par -r, celui des deux nombres a, a' qui s'approclie le plus de .c„ en sorte que sa difTérence avec a\, soit au plus égale, en valeur absolue, à -7, , et que le nombre

cos ~a"x„ ^^ ( — i)- cos T.(a"x,^ — .v)

eoit du signe de ( — i) , puisque a'\i.\, — s est au plus égal à - , en

valeur absolue.

Soient en outre

x„ est compris entre ces deux nombres et comme sa différence

Tasxebt I. — Iiitioduclion à la théorie des fondions 2~i

4i8 i>TRonucrio> a i.v théouie des fonctions

avcr leur demi-somme est au plus égale à —jj, les dllTérences positives X — .ro, .''o — ^' sont au plus égales à -^, au moius égales

On a d'ailleurs.

■A>o) -/(-^O S,.(.r„)-S1(.T') ^ R,.(.r„)-Rr(.r')

Les deux fractions

sont au plus égales, en valeur absolue, à - , . On a, d'un autre côlé

l\„(x') = R„(a:")= — (— iyb"{i ~h h -^ l>' -h ...): R„(.T„)=:(— i)-//' [(— l)' cos r. rt".r„ -h (— i)' h CCS - a" ^ ' ./•„ -h ...].

Il en résulte que la diftérence R" (a?") — R„ (•'^'o) est égale au produit de — ( — 1 j'i" par la somme de la série

I -h ( — i)' cos T. a".rQ -+- h [1 H- ( — i)- cos T. a" -^ 'j-J + .., ;

les coefficients de b, b^, ... sont positifs ou nuls ; il en est de même, comme on l'a déjà fait observer, de ( — i)' cos t: a"xQ ; la somme de la série est donc supérieure ou égale à i et, puisque x" — £c^

est au plus égal a —7;, on peut écrire

X — Xq ^ '6

A" étant un nombre au moins égala i. On trouvera de même, en désignant encore par A' un nombre au moins égal à i