VX
et l'on ohlienl sans peine, en se seivanl des expressions Ironvécs pour les nombres a. [j, 7, ^) au umn en de P/, — ,, P/,j, ..., <.?'./ — j, la relation
La condition imposée est donc nécessaire: on va voir f|u"oll(' est suffisante.
Supposons en ellel fjiie les deux. Jiondjres irrationnels x' , x soient liées par la relation
oij V.. ^j. y, 0^ sont des entiers qui vérifient la condition
Développons .r en fraction continne et soit, en conservant toujours les mêmes notations,
• » — 1 -Vn — t- l „ — 2
Vn — 1 ^n ~r- ' Jn — 2
On en conclura
, rtA„ H- b X = . ■ ,
cA„ -t- a
en posant
n = aP,. . -+- pO, „ b = aP„ , H- pQ.,,.
c = -.'Pn- 1 + ôQ„ . , , (/ = 7P„ , -f- oQ„ , :
on vérifie de suite que l'on a
,„/ hc = (ao - Py) (P„, r)„, — P„, ()„.,) = ± I.
d'où il >-uil. en particulier, cpie it et c sont premiers entre eux. Mon l)ut est de montrer f|ue, en su[)posant n assez ^raïul, si l'on
développe en traction coutume inmtee, -, [)ent être regarde
es IMHOUUCTION A LA Tlll-OIUE lUCS FO>r,TIO>S
couiuic ravanl-clciniî'io rôdiiilc lie colle iVailion ronliiuie. dont- est
la dernière iriUiile ; s'il en est ainsi, laielalion entre x' cl \„monlic
clairement que la fraction conlinne illimitée dont les premiers
qnolients incomplets sont cenx de la iVaction conlinne limitée
ohtenne par le dévelopi)emenl de -, dont les qnolients incomplets
snivanls sont ceux qui fij^nrent dans le développement de An, est égale à x' ; le théorème énoncé sera donc complètement établi.
quaml on aura prouve la proposition relative a , -.,
Les dénouiinateurs des réduites étant essentiellement positifs, et allant d'ailleurs en croissant, il faudra pour établir celte dernière proposition, montrer que l'on peut supposer o <i tl <C c ; cela
d'ailleurs suffit : car s'il en est ainsi, la fraction irréductible -
jiourra èlrc développée en fraction continue limitée avec un nombre pair ou impair de quotients incomplets (n° 33), telle par
conséquent que, en désignant par ^l'avant dernière réduite, la
quantité ad' — b'c égale à ± i, comme (id — I)C, soit précisément égale à cette dernière quantité, en sorte que l'on ait a[d — (/) = c (6 — b') ; le nombre c, premier avec a, doit diviser d — (/', mais le dénominateur (/' de l'avant dernière réduite est plus petit que c; si donc d est aussi plus petit que c, c ne peut diviser la dillérence d — (/', à moins que celte dilTérencc ne soit nulle ; l'égalité précédente exige que l'on ait aussi 6' = /> et
-, est bien l'avant dernière réduite de la fraction continue éi^ale à - • (l ^ c
Tout est donc ramené à montrer que l'on peut, pour n suffisamment grand, supposer o <C d <Z c-
Or, quand n est très grand, les deux quantités
-, c In — (^ (t In — r, ^
sont très voisines de | = y./: -r- o^ ; on a en effet
i>;.<-±d lu — M.-- Lil .
CIlVl'ITRn T. FUACTIONS CONTINCTS 5r)
les seconds nionihics poiivcnl vive siinposi's aussi prlils qu'^n le veut ; il suflit clc les su[>[)()sor moiiulrcs que la valeur absolue de z, (|ui n'esl pas uulle [)uis((uc ./■ est irrationnel, pour être sur que À. a et, ivir suite, cet ^/ sont du même signe que q ; or, quitte à changer le signe des (jualre nombres a, lîi. y, r?, on peut supposer que I soit positif. On a d'ailleurs
cl, d'un autre cùté,
1 >• - ; 1 Q»-i < ';; ' . (:- - ^' Qn-, < ,4^ ••
il suffit donc de prendre // assez grand pour que l'on ait
on sera certain que ÀQ„i — a Qn—> ou c — (/ est positif.
41. — 11 est bien aisé de Miir que, si la suite des quotients incomplets est périodirpie, la valeur de la fraction continue est racine d'une équalion du second degré à coefficients entiers.
Supposons, en elTet, en désignant toujonrs par a^, a^, ... la suite des quotients incomplets, que la période commence à a^ pour se terminer à ^/„i, en sorte que l'on ait
«/i = «0' "n -(- 1 = «1, a>r,— l = Cln—l, Clin = «o'
Remarquons en passant que l'hypothèse «„ = a^ exige que a,, soit au moins égal à i. On aura, en conservant les notations antérieures, An = A, An + i = A,, puisque le quotient complet A„ (n" 38) [)eut être regardé comme la valevu- tle la fraction continue illimitée
iln + l -t- ...
identique à celle qui di'finil \ ; mais on a en général
f30 INTRODUCTION A I..V TIIKOnir DES lONCTIONS
A sera donc la racine posilivc de réqualion du second degré à coefficients entiers
Par exemple, en supposant n — i = 3, «^ = i , a, = 2, a^ = 3 ; on voit que la valeur de la l'raclion continue périodique est égale à
On ramène aisément à ce cas celui où la période ne commence pas au premier quotient incomplet. On doit à Eulcr et à Lagrange d'avoir établi la réciproque de celte proposition, c'est- à-dire la périodicité des quotients incomplets de toute fraction continue dont la valeur est racine d'une équation du second degré à coefficients entiers, à racines réelles et irrationnelles.
Soit (')
(l) ax- -t- a ^x + -; = 0 ■'
ime telle équation, dont les coefficients c/., 'i^j, y sont entiers, ^j- — ay /étant positif sans être le carré d'un nombre rationnel; désignonsen les racines par A, A' et supposons qu'on développe la première racine en fraction continue; soit a^, a,, ..., a„, ... la suite des quotients incomplets, et reprenons pour le reste les notations ordinaires. Le if quotient complet An étant lié à A par la relation
» "n — 1 An -h l n — i
' — 0„iA„^0„/ -on aura
«rP»,, A„ + P„,)- -^ 23 (P„, A„ + P„,) (()„ i A„ + Q„ .) -^Y '0..j A„ + ()„,)2 = o,
c'est-à-dire que A„ sera racine de l'équation du second degré à coefficients entiers
(M La démonstralion donnûc ici est duc à M. CiivnvEs (Bulletin, des Sciences ■matliémal'qiies, 2' série, t. I, p. 4i).
flIl.VI'ITIir. I. I-HACTIONS CONTl>UES 6bi
OÙ l'on suppose
Il est l)i<'n alst' de voir que a,,, ^j,,, '/„ sont en valeur aLsolue. moindres que des nombres lixes. Soient en cllet,
£„i. £„— ;. sont moindres que i, en valeur absolue (n° 35; ; cesdeux, nombres sont d'ailleurs de signes contraires ; en remplaçant dans les expressions de (/.„, ^j„, y» et en se rappelant que A. est une racine de l'équation ( i) on trouve
a„ = :>. (aA -f- S) e„i ^ a ^4=^,
\ V'h — ) V'«— 2/ V'« — lV/1 — -
V,, = 3 ;aA -h pi £„ . -4- a 7v"^^ ,
^■In — 2
d'où l'on tiéduit innnédiateuient
Quant à ,'5„, si l'on observe que ("j',-^ = j^""" — A est pluspetit en valeur absolue que ^^ j-^ (u° 35), et que, par
conséquent, £„.rT est plus petit que i en valeur absolue, on,
•In — 2
voit tuut de suite que l'on a
l?J<2laA-i-p|-+-|aI;
<Î2 INTRODUCTION A LA TllÉOniE DKS 10>c:TlONS
les nombres ciUiors a„, 2 [•:>„, '/„. dovanl rosier inférieurs en valeur absolue à des nombres lixes, ne peuvent, lorsque l'on l'ail varier//. présenter qu'un nombre fini d'arrani;euienls ; il faut donc que, pour une infinité de valeurs de //, on retondje sur la même équation du second degré, ctque, par suite, deux quotients complets A,„ et \m-\-p soient la même racine de la même équation du second degré ; or l'égalité A,,, -4-;- = A,„ entraîne
La périodicité de la suite des quotients incomplets est établie.
Par exemple en prenant a = i, j'i = o. y = — :î, on voit que les valeurs absolues de a», y» devront être au plus égales à o, celle de lif-j,, au plus égale à 7.
Les valeurs trouvées plus haut pour a„, y„, où l'on a déjà observe que Zi,-i et 1,1-1 étaient de signes contraires, montronl que a„ et '/„ sont de signes contraires pour de grandes valeurs de 11, car si on meti„i, c,, — 2 en facteurs, les facteurs restants
2 (aA -+- ^) + a -;;!F^- . -2 (aA + P) + a .^^^ ,
sont du signe de 2 (aA + fj) = a (A — A'), puisque les autres termes peuvent être supposés aussi petits qu'on veut. Cette observation jointe à l'identité
/, ^^ - A a„v„ = (P„- 1 Q„, - \\,, 0„,Y (4 3^ - A ay) = 4 P- — 4 av,
suffirait à montrer que les valeurs absolues des nombres entiers 2,j«, 2a„, 2y«, dont les deux derniers sont de signes contraires, ne peuvent dépasser un nombre iixe, ^ify- — l^y par exemple, et par conséquent à établir la périodicité de la suite des quotients incomplets.
Cette périodicité résulte donc, ainsi que Ilermile en a fait la remarque ('), de ce que, pour des valeurs suffisamment grandes de n,
(^) Dullelin des Sciences mathématiques, 2« série, l. 1\, p. 11.
flIlAIMTUr: 1. IHACTIONS CONTINUKS 63
T('(|iialion < -i) a sos racines désignes conlraircs ; or ce point résnllc immt'dialomonl d'^ ce (|ne les deux racines A„, \'„ de celle rijnalion sont liées anx racines A, V de réijnalion (i) par les relations
dont la seconde montre que pour de grandes valeurs de ii,
— (V^-^ ibuiiiil une xalcur très approchée de A', ; en ell'el p(»iir de
Wn - 1
•Grandes valeurs de /;. .."— ^est voisin de A; la tlin'éreucc entre
A,, et — (l -" peut s écrire V" — i
(- iV-'
outre l'intérêt que ce résultat présente en lui-même, on voit, puisque les nombres Q„ -i. ()„-> sont positifs, cnie A^, est nécessairement négatif [)Our les grandes NaliMus de ii ; quant à \„. (jui est un quotient complet, il est sùreuKMit positif pour /; > i . Un a ainsi une seconde démonstration de la périodicité.
42. — ^lentionnons, pour terminer ce sujcl, ime autre obscrvalion de Ilermite, relative à une ])roposition que l'on doit à Galois.
On a vu au commencement du numéro |n-écédent qu(>, si la période d'une fraction continue périodirpic commençait au premier terme et était formée des quotients incomplets d^, <"/,, ..., <i„ — i, la valeur de cette fraction était racine de l'équation
«•etle équation a une seconde racine, comprise entre o et — r, comme on le voit en substituant ces deux nombres, à la place de ,/•, dans ré([iia[iun [)récédentc; désignons cette seconde racine [lar
— v. ï étant un nombre positif plus grand que i; r sera la ra-
64 INTROnUCTIOX A L\ TIIÛOIUIO DES FO>CTIO>"S
cinc positive de r(''([iiaUon d'où l'on lire
>. Il — .
or, on voit inimédinlcnicnt, par les relations (i i du n" 34, qui donnent
-fe-
Qi,-i o;r->
que, si l'on développe en fractions continues liniilécs les fractions r^ — \
/.''"' j on trouveles quotients incompletsr/,,- 1, On — i, .... <'/,, «^pour la première, et On—i, a,, — !, ..., '/j, ''/, pour la seconde; en sorte que ;y^-^- n'est autre cpie ravant-dcrnière réduite de la fraction continue limitée formée au moyen de ces quotients incomplets n„ — i,
an-i, ..., «0' ^û dernière étant p" — *; si donc, quel que soit le
nombre ç i)lus grand cjue i , on développe r^ — ^ ~ — ^ en
fraction continue, on trouvera d'abord les quotients incomplets
«H — 1, 0)1 — 2 ^0» puis ceux qui proviendraient de la réduction
de £ en fraction continue ; si maintenant 1 vérifie l'égalité
il faut que le développement de | en fraction continue soit périodique, commence par n,„ et que la période soit formée des quotients incomplets a„, a„- i, •••, <ii, «o-
CIIAPITllK II
