ENSEMBLES INFINIS. SUITES INFINIES. LIMITES
I. — ENSEMBLES INFINIS. BORNES SUPÉRIEURE ET INFÉRIEURE- POINTS D'ACCU.MULATION
43. — On a déjà introduit au n" 16 la notion d'ensemble de nombres.
Je rappelle qu'un ensemble de nombres (E) est défini (ou donné) lorsque l'on déiinit (ou lorsque l'on donne) le moyen de reconnaître, quel que soit un nombre, si ce nombre appartient ou n'ap[)artient pas à l'ensemble. On peut d'ailleurs raisonner sur un ensemble sans ([u'il soit délini, jjourvu qu'on le suppose déterminé, c'est-à-dire tel qu'on puis.<^e allirmer, d'un nombre quelconque, qu'il appartient ou qu'il n'appartient pas à l'ensemble. Tous les nombres qui appartiennent à un ensemble sont supposés différents : l'un quelconque d'entre eux e.st dit un nombre de l'ensemble. Il n'est pas question, dans la définition d'un ensemble, d un ordre quelconque attribué aux éléments.
L'ensemble (K) est ///y?/i/ si on peut anirnier qu'il contient plus de II nombres, quel que suit le nombre naturel n. Dans le cas contraire, il est fini. C'est surtout d'ensembles infinis qu'il sera question dans le présent chapitre.
Au lieu d'un ensemble (E) de nombres, je parlerai souvent d'un ensemble de points sur un axe : les deux notions sont identiques si l'on confond chaque nombre avec le point dont il est ra])scisse, chaque point de l'axe avec son al)scisse. L'ensemble de points {\i) est l'ensemble des points dont les abscisses sont les nombres de
Takberï 1. — Introduction ù la tliiorie des fonctions 5
66 l>TUOnUCTION A LA TllKORlK DKS lONClIONS
l'ensemble (E). On désigne souvent \u\ tel ensemble sous le nom d'ensemble linéaire.
44. — Un ensemble de nombres (E) est dit home en haut (ou à droite) (') quand il existe un nombre P auquel tous les nombres de l'ensemble sont inférieurs. Un ensemble est borné en bas (ou à gauebe) quand il existe un nombre p auquel tous les nombres de l'ensemble sont supérieurs.
Quand un ensemble (1'^) est borné enbaut. il existe mi nombre M, la home supérieure de l'ensemble, qui jouit des propriétés suivantes :
1° Aucun nombre de i E) n'est plus grand que M ;
2° Quel que soit le nombre M' plus petit que M il y a un nombre de (E) qui est plus grand que M.
Ce nombre M est d'ailleurs unique.
S'il V a dans l'ensemble (E) un nombre (pii soit plus grand que tous les autres nombres de cet ensemble, ce nombre-là est évidemment le nombre M : cette circonstance se présentera nécessairement si l'ensemble est fini.
On peut donc se limiter, dans la démonstration, au cas où, dans l'ensemble (E), borné en baut, il n'y a pas de nombre plus grand que tous les autres. C'est ce que je suppose dans ce qui suit.
Rangeons dans une première classe tout nombre rationnel qui est inférieur ou égal à un nombre de (E) et, dans une seconde classe les nombres rationnels qui sont plus grands que tous les nombres de (E) : il y a de tels nombres, puisque (Ey est borné en haut.
Ce mode de séparation des nombres rationnels en deux classes définit (n° 10) un nombre M rationnel ou irrationnel, dont on va prouver qu'il est la borne supérieure de l'ensemble, c'est-à-dire qu'il jouit des propriétés i° et 2°.
Quel que soit le nombre A appartenant à (E), il y a dans la première classe un nombre plus grand que A; en effet, il y a, par
(!) Celte dernière façon de parler est conforme à l'iiabitudo qu'on a de se représenter les abscisses comme croissantes quand on s'avance Aers la droite : tous les points (pii appartiennent à l'ensemble, ou, si l'on veut, qui représentent les noml)rcs de l'ensemble (E), sont alors en deçà (ou à gauche) du point V, ou du point dont l'abs'-isse est P.
CIIAITIIIF, II. ENSEMBLES IM IMS 67
hypotlièse, dans (E) un nonihrc l> plus {^Tand que \ cl los nombres rationnels compris enlic V cl !> doivent figurer dans la première classe.
Quel (juc soit le nombre '/ de la première classe, il y a dans (E^ un nombre plus grand que n ; en elîet n a été rangr dans la [)remièrc classe soit parce qu'il y a^ait dans (K) un nombre A plus grand que lui, soit parce qu'il était égal à un nombre V de (E), dans ce tlernier cas il y a dans ( E) un nondjic A plus grand que A' ou que k.
11 résulle de là qu'il n'y a pas dans la première clause un nombre a plus grand que tous les autres de la même classe, car les nombres rationnels compris entre a et le nombre A de l'ensemble qui lui est supérieur appartiennent à la première classe.
S'il y a dans la seconde classe un nombre plus petit que tous les autres de la même classe, c'est ce nombre là qui est le nombre M défini [)ar la décomposition ; sinon le nombre M que définit cette décompoï-iliun est irrationnel.
Dans les deux cas la première classe cuiislituc la classe iidérieure relative au nombre M, et ce nombre M est plus grand que n'importe quel nombre A de (E), puisqu'il y a, dans la première classe, un nombre n qui est plus grand que A, et que M surpasse : le nombre M jouit de la propriété i°.
Si M est plus petit que M, il y a dans la première classe un nombre o plus grand que M , dans l'ensemble un nombre A plus grand que a, et par conséquent plus grand aussi que M'. Il y a même une infinité de nombres de l'ensemble qui sont plus grands que M', car s'il y en avait seulement n, entre le plus grand de ces n nombres et M il n'y aurait plus aucun nombre de (E). Remarquons toutefois que la démonstration de celte dernière propriété de la borne supérieure suppose qu'on soit dans le cas que l'on vient de traiter, où (E) ne contient point de nombre qui soit supérieur à tous les autres.
L'existence de la borne supérieure M de l'ensemble (E) est donc établie dans tous les cas, soit que cette borne appartienne à l'ensemble, dont clic est alors !c plus grand nombre, soit qu'elle ne lui appartienne [las. Il est clair qu'un nombre [)lus grand ou plus pelil que M ne peut jouir des propriétés qui ont serxi à le définir: ce nombre M est vmi([ue. Si l'on sait d'un nombre M qu'il est
plus grand que tous les nombres de (E). on jicnl anirnier que l'on a M^M.
De même, si un ensemble (E) est borné en l)as. il existe un nombre m, la borne inférieure de (E), qui jouira des propriétés suivantes : tout nombre de (E) est supérieur ou égal à m ; quel que soit le nombre ni' plus grand que m, il existe au moins un nombre de l'ensemble (E) qui est plus petit que m' : il en existe une inlinité, si voisin que ni soit de m, lorsqu'il n'y a pas dans (E) un nombre qui soit plus petit que tous les autres ; lorsqu'il existe un tel nombre, c'est lui qui est la borne inférieure. Si im nombre m' est plus petit que tous les nombres de (E), on peut adirmer que l'on a m' ^ m.
Par exemple, o est la borne inférieure de Tensemble des nombres positifs, et la borne supérieure de 1 ensemble des nombres négatifs.
Un ensemble borné (sans épithète) est un ensemble borné en baut et en bas.
45. — Le lecteur observera que celte notion de la borne supérieure ou inférieure d'un ensemble aurait pu être placée immédiatement après les définitions des nombres irrationnels, de l'égalité et de l'inégalité. Quoiqu'on n'ait pas dégagé jusqu'ici la généralité de cette notion, elle était le fond même des considérations du chapitre précédent. La définition d'un nombre irrationnel revient à considérer ce nombre comme la borne supérieure et la borne inférieure des ensembles de nombres rationnels qui constituent la classe inférieure et la classe supérieure. La définition de la somme de deux nombres A, B revient à regarder cette somme comme la borne supérieure de l'ensemble des nombres rationnels distincts que l'on obtient en ajoutant deux nombres rationnels moindres respectivement que A et B, et comme la borne inférieure de l'ensemble des nombres rationnels distincts que l'on obtient en ajoutant deux nombres rationnels respectivement plus grands que A et B. Cette définition conduit maintenant à la généralisation évidente que voici :
Si deux ensembles (E), (E') bornés en haut, ont pour bornes supérieures M, M', l'ensemble des nombres distincts que l'on peut former en ajoutant un nombre de (E) et un nombre de (E') a pour
CHVriTUE II. ENSEMBLES IM INIS
Gq
borne supriicure M -t- M'. Une pro[)osilion analogue conccrnctait les bornes inférieures,
!)(> nitMiie, en conservant les mêmes notations, mais en supposant que les éléments de (K), (E') soient des nombres [josilifs, ou voit cpie rensendilc des nombres dislinds obtenus en nuilti[)liaut un élément de : !•]) par x\n élément de (1'^') admet le produit MM' comme borne sup(''rieure.
46. — r.cs propositions que voici sont tout aussi évidentes : convenons de dire cpie l'ensemble (E') est contenu dans l'ensemble (E), ou (pie rcnscudjle (E) contient l'ensemble (E'), lorsque tout élément de (E) appartient à{E). Si l'ensemble (I']) est borné en liant et contient l'ensemble (E'), ce dernier est aussi borné en baut et sa borne supérieure est au plus égale à la borne supérieure de (E). Si l'ensemble (E) est borné en bas et contient l'ensemble (E'), celui-ci est borne en bas et sa borne inférieure est au moins égale à celle de (E).
47. — Soient (E), (E')dcux ensemblesdont on sait que tout nombre de (E) est inférieur à tout nombre de (1^]') : (E) est certainement borné en baut, soit M sa borne supérieure ; (E') est de même borné en bas, soit m' sa borne inférieure. On aura m' ^ M : Si l'on avait en effet m' -< M, il y aurait un nombre A' de (E') qui serait inférieur à M ; conirairement à l'bypothèse, il y aurait donc un nombre A de l'ensemble (E) supérieur au nombre A' de l'ensemble (E ). Ainsi la diiïérencc entre un nombre appartenant à (E) et un nombre appartenant à (E) est au moins égale à m' — M.
Si donc on peut trouver dans (E) et dans (E') des nombres aussi voisins qu'on le veut, on peut être certain que l'on a m' = M. On a considéré au n" 17 deux ensembles de nombres rationnels qui étaient dans ce cas, le nombre qu'ils servaient i définir n'('tait autre f[uc la borne supérieure de l'un, la l)orne inférieure de l'autre.
48. — Si un ensemble (E) est borné (en baut et en bas), il admet une borne supérieure M. une borne inférieure m ; la différence M — /// est un nombre positif, qui ne pourrait être nul que si l'ensemble E se réduisait au seul nombre M =^ in ; on voit de
7© INTRODUCTION A L\ TlIKOniE nF.S FONCTIONS
suite qiK^ M — //( esl la borne supérieure de l'ensornble des îionilires disliiicls obtenus en prenant la valeur al)Sobic de la diiVérence de deux nombres qui appartiennent tous les deux, à (K), J'appellerai M — m rrnrl de l'ensemble (E) ; j'emploierai aussi les mots (( écart de deux nondjres a, h » pour désigner la valenr absolue de la différence a — h.
On appelle intervalle de deux nond)res distincts a, h, et l'on désigne par [a, h) l'ensemble des nombres a, h et de tous les nombres réels compris entre a et l> ; le plus petit des nombres n, /» est la borne inférieure de cet ensemble; le plus grand en est la lîorne supérieure ; l'écart de l'intervalle, ou de l'ensemble, est le nombre positif \ (> — a\.
Ces diverses dénominations se justifient pleinement quand on substitue les points aux nombres ; soit que l'on attribue une réalité à la représentation géométrique, soit qu'on la regarde (n" 28) comme une simple façon de parler, capable de soulager la pensée par les images concrètes qu'elle rappelle.
Un ensemble de points borné à droite a tous ses points en deçà d'un certain point de l'axe. Il existe un point M. la borne supérieure ou la home de droile, tel qu'aucun point de l'ensemble ne soit au delà de M et tel que si M' est un point quelconque en deçà de M, il y ait certainement un point de l'ensemble au-delà de M'; si M ne fait pas partie de l'ensemble, il y a une infinité de points de l'ensemble aussi voisins de M que l'on voudra. De même pour la borne inférieure (ou de gauclie), si l'ensemble de points est borné à gaucbe.
Un intervalle {a, h) n'est autre cliose que le segment de droite dont les extrémités sont les points d'abscisse a, h ou plus brièvement les points a, h. Un point (ou un nombre) appartient à cet intervalle, s'il est, soit a, soit b, soit compris entre a et /> ; il est inter:eur a. cet intervalle, s'il est compris entre a et b. Le
, ,,. ,, , . a -\- I) centre de 1 intervalle est le point .
Un ensemble borné en haut et en bas (à droite et à gauche), dont les bornes su[)éricurc et inférieure sont M, m est figuré par des points appartenant à l'intervalle {m. M), etc.
Je continuerai, dans ce qui suit à employer le langage géométrique, et j'emploierai indifféremment les mots « point » ou « nombre ».
CIIAPlTlli: 11. KNSEMIILES IMIMS -I
49. — Vu pniiil (l\irciuiiuln/i(tii d'un ensemble inlinl (II) est un point, qui peut crailleurs appartenir ou ne pas appartenir à (E), mais aux oin irons duquel se trouvent une inlinité de points de (K), D'une faron [)lus précise a sera un point (r.ucurnulation de (F.) si, quelque petit que soit le nombre iiosilifz, il \ a dans (ly) un point autre que a, dont la distance au point n est moindre que £ ; s'il en est ainsi, on peut aHirmcr qu'il y a dans ( E) une infinité do points dont la distance à a est moindre que -, car s'il y en a seulement p, soit a,, celui de ces points qui s'écarte le moins de a : il n'y aurait pas dans (E) de point, autre que a, dont la distance à a fut moindre que \a — a^, | ; a ne serait pas un point d'accumulation.
On peut présenter les clioses un pou dilléremmcnl : soit a un nombre ou un [)oint quelconque; l'ensemble des distances du point a aux points do (E), autres que a, est borné en bas, puisque toutes ces dislances sont des nombres positifs ; si la borne inférieure de cet ensemble des distances est o, le point a est un point d'accumulation de (K), si la borne inférieure est le nombre positif '7., le point a n'est pas un point d'accumulation et l'on peut affirmer que la distance à '< d'un point quelconque de (E), autre que (i, est au moins égale à a ; en d'autres termes, si l'on regarde a comme le contre d'un intervalle dont l'écart soit moindre que 2fjL, il n'y aura pas dans cet intervalle de point appartenant à (1^) autre que a ; au contraire, si a est un point d'accumulation, tout intervalle, si petit qu'il soit, dont a est le centre, contient une infinité de points de (E).
Par exemple, o est un point d'accumulation de l'ensemble des fractions dont le numérateur est i et le dénominateur un nombre naturel : il n'ap[)artient pas à cet ensemble.
Lorsqu'un ensemble infini est borné en haut, sa borne supérieure est certainement un point d'accumulation de cet ensemble quand elle ne lui appartient pas : elle peut d'ailleurs être un point d'accumulation, tout en lui appartenant. De même pour la borne inférieure, quand l'ensendile est borné en bas.
50. — Un ensemble infini (E) borné en haut et en bas, admet au moins un point d'accumulation ap])artenant à l'intervalle [m. M) des bornes inférieure et supérieure de l'ensemble.
Tous les points de(E) appartiennent à l'inlcrvallc (m, M . Ecar-
tons le cas où m serait un point d'accumnlalion de (E i. cas on le thcorème se trouverait vérifié par hypothèse, et soit n un point quelconque de l'intervalle {m, M), autre que m ; il peut y avoir un iiomhrc fini ou infini de points de l'ensemble (E) qui appartiennent à l'intervalle (m, a) ; il y en a un nombre fini, si a est sullisamment voisin de m. sans quoi, m serait un point d'accumulation, il y en a une infinité si a est égal à M ; soit (A) l'ensemble des points a tels que dans l'intervalle (//», a) il y ait un nombre fini de points appartenant à l'ensemble (E) ; d'après ce qu'on vient de dire, (A) est borné en haut : soit a sa borne supérieure, qui est au plus égale à M; si petit que soit le nombre positif;, dans l'intervalle (m, ce — i) û n'y a qu'im nombre fini de points appartenant à (E) ; il y en a au contraire une infinité dans l'ensemble (m, y. -h ;), car, autrement, il y aurait dans (A) un nombre a. -\- i supérieur à a ; il y a donc une infinité de points de (E) qui appartiennent à l'intervalle (a — £, a H- c) ; par conséquent, a est un point d'accumulation de l'ensemble (E).
51. — Si un ensemble (E) a pour bornes inférieure et supérieure les nombres m. M, tout point d'accumulation de cet ensemble appartient à l'intervalle {m. M).
La distance d'un point de l'ensemble (E) à un point d'accumulation de cet ensemble est au plus égale à M — m. Il en est de même de la distance de deux points d'accumulation de (E),
Il est clair qu'on n'altère pas les points d'accumulation d'un ensemble infini (E) en supprimant de cet ensemble, ou en introduisant dans cet ensemble un nombre fini d'éléments. J'entends par là que si (E,) est l'ensemble infini que l'on déduit de (E) en en supprimant certains éléments, en nombre fini, ou en y introduisant certains éléments, en nombre fini, les points d'accumulation de (Ej) sont les mêmes que les points d'accumulation de (E).
Si l'ensemble (E ) est contenu dans l'ensemble (E), tout point d'accumulation de (E') est un point d'accumulation de (E). On ne peut pas affirmer que, réciproquement, tout point d'accumulation de (E) soit un point d'accumulation de (E').
Si l'ensemble (E) est borné (en haut et en bas) et n'a qu'un nombre fini /> de points d'accumulation a^, a.^, ..,, a,„ si l'on regarde ces points comme les centres respectifs de p intervalles, d'ail-
ciiAi'iTUi: II. — SUITES iM iMi:s 73
leurs aussi petits qu'on voudra, il n'y aura en dehors de ces iiiler\ ailes ({u"un noiuhie (ini de [wints dc(E). Soit en clTet 2 a l'écart du [)liis iMlil iiit(>rvallc : rcnsemblc (E,) des points de (E) qui sont situés eu dehors de ces intervalles est évidemment borné, puisqu'il est contenu tlans (!•>) ; s'il était inlini, il admettrait au moins un point d'accumulation a qui sérail aussi un point d'accumulation de (E) et par conséquent l'un des points </,, <i,,.--, <i,, '• or la distance d'un point quelconque de (E,), à l'un quelconque de ces points est supérieure à 7,^ puisque tous les points de (E,) sont en dehors des p intervalles.
Si l'on l'ait rentrer dans un ensemble les points d'accumulation qui ne lui appartiennent pas, il est clair qu'on ne modifie pas les bornes de cet ensemble.
Les notions de borne supérieure ou inférieure et de point d'accumulation sont fondamentales dans la théorie des ensembles denombres (ou de points). Avant d'aller plus loin dans cette théorie, il comient d'insister sur la notion de limite.
II. — SUITES IMLMES. LIMITES 52. — On dit qu'une suite de nombres
est déterminée quand le nombre qui figure à un rang déterminé est déterminé ; elle est définie (ou donnée) quand on définit (ou que l'on donne) le moyen de calculer un terme quelconque «„ connaissant son rang n.
En disant qu'une telle suite a une limite A, on veut dire queles termes de cette suite deviennent aussi voisins du nombre A qu'on le veut, pourvu que leur rang soit suffisamment grand. D'une façon précise, on dira que la suite («) a pour limite A, ou. mieux que iin, pour n infini, a pour limite A, et l'on écrira
liin. Un = A,
