iMuonrcTiOM a la TUKOUIE OES 1-ONCTIONS
si, quelque [)clil que soit le nombre posilif î, on peut lui faire correspondre un nombre naturel p tel que l'on ait | ;/., — A| <C £ pour tous les entiers /? supérieurs l\ p. S'il en est ainsi, tous les termes »„ de la suite apparlienucnl à l'intorvallo (.V — :, A -f- s) lorsque n est plus firaïul que p ; quelques-uns des termes «i,
a, , Ui, peuvent (Tailleurs appartenir à cet intervalle : en tous
cas, les termes de la suite qui n'appartiennent pas à cet intervalle sont en nombre iini. Kéci[)roquement, s'il existe im nombre A tel que, quelque soit le nombre positifs, le nombre de termes de la suite («) qui n'appartiennent pas à l'intervalle (A — s, A + i) soit toujours Iini, la suite a pour limite le nombre A ; car si l'on se donne i, et si l'on désigne par /> le nombre de termes de la suite qui n'appartiennent pas à l'intorvallc (A — i, A -i- c), u„ appartiendra certainement à cet intervalle si n est plus grand que p et l'on aura | u„ — A | < £ sons la condition n > yj.
Une suite («) ne peut avoir deux limites distinctes A, B, car si
la suite (n) a pour limite A cl si l'on prend i = - — ^ , tous les
termes de la suite, à partir d'un certain rang, appartiendront à l'intervalle (A — î, A -t- s) et leur difTérence avec B sera au
. , , , I \ - B I moms égaie a ■ ' ,
Les deux égalités li m. u„ = A, lim, (a„ — A) = o ont le même
n := oc n =i X)
sens.
Voici quelques exemples de limites :
Un nombre A peut être regardé comme la limite de la suite des
valeurs anprocliées de A à — , — :. ..., — , ... près, par défaut, '-^ lO lo- lO" 1 ' 1
ou de la suite des valeurs approcbées de A à — , — , , . — , ....
]o lo- ■ ■ lo"
près, par excès.
La suite i, -,
La suite i, - ,
, ... a pour limite o.
... a pour limite i, puisque la
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dillerence i — = - sera plus petite que i pour /?>•.•
Si l'on considère une fraction continue illimitée qui définisse •le nombre A, dont les quotients incomplets forment la suite a^»
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ClI.Vl'ITHi: II. SLITES IMINIES "JD
, cl tliint los rrdiiilrs successives soient les nombres clKininc (les suites
aura pour limite A; la dilTérence entre \ et le n" terme de cctic suite est alternativement positive et négative pour la |)rcniière ; elle ■est toujours positive pour la seconde, toujours négative pour la •troisième ; dans tous les cas, la valeur absolue de cette dillérencc peut être supposée aussi petite qu'on le veut, pourvu que n soit •suffisamment grand.
