Si les deux suites

ont respectivemement pour limites les nombres A, B, en d'autres termes, si l'on a

iiin. a„ = A, liiii. (,'„ = 1),

il cliaque svstème de nombres [)Ositifs £, y;, si petits qu'ils soient.

on peut lairc correspondre un entier positif m tel que l'on ait à la fois

sous la condition n ;> m ; on peut en effet faire correspondre à s l'entier p, à y; l'entier q tels que la première inégalité soit vérifiée pour/î >p, la seconde pour /2 > y , on prendra pour m le plus grand des nombres/), (j. Le lecteur étendra de lui-même ce théorème au cas de trois, quatre, ..., d'un nombre fini quelconque de suites, ayant des limites A, B, C, ... Si l'on a

lim. u„ = A, lim. y„ t= B,

on aura

lim. {ii„ -h r„) = A -f- B,

n = ce

lim. {ii„ — i'„) = A — B, n = 00

lim. (ii„i'„) = AB,

lim. /«jA =-^.

la dernière égalité toutefois suppose essentiellement que B ne soit pas nul : c'est la seule que je démontrerai, après avoir fait l'observation suivante.

II peut se faire que dans la suite

Vi' v^' "" v„

dont il faut démontrer qu'elle a pour limite p, certains termes,

dont le dénominateur se trouverait être nu], n'aient pas de sens : il est sous-entendu qu'on n'en tient aucun compte et que c'est de la suite débarrassée de ces termes que l'on s'occupe : tout d'abord, cette circonstance ne peut se présenter qu'au commencement de la suite ; en s'avançant assez loin, elle ne se présente plus, lorsque, comme on l'a supposé, B n'est pas nul ; si, en effet, on désigne par B' un nombre positif plus petit que | B | et par /) un entier positif tel que l'on ait, pour n >/),

CIIAPITUE 11. SLITKS INFINIES

on aura (') nécessairement | y„ | > IV. en sorte que i'„ ne pourra pas être nul.

Venons inainlenanl à ladénionslialion de la proposition annoncée :

Soient, en ^^énéral,

'hi — ^ = lk„ — At.„

quel que petit que soit le nombre positif a plus potil (pic | H | — B', on peut supposer le nombre entier p assez grand pour que l'on ait 1 £;, I <^y., I y;,, 1 <C <y-, sous la condition n > />. On aura alors

et

Bl

si l'on veut que le premier membre soit moindre que i, sous la condition n >/>, il suffira d'avoir choisi

On remarque qu'il n'y aurait rien à changer à ce qui précède pour démontrer que, quelque petit que soit le nombre positif s, on peut lui faire correspondre un entier y) tel que, sous les conditions n > p, m >> p, on ait

Les propositions du présent numéro, appliquées plusieurs fois, conduisent immédiatement à la proposition suivante : Si l'on a

lim. u„ = A, lim. i>„ := B, lim. n\

quels que soient les deux polynômes o {u, v, ic,) 'b [a, v, lu),

(1)11 n'est pent-ôtrc pas inutile d'observer que si a, p, v sont trois nombres positifs quelconques, l'une quelconque des inégalités | i a ± S | < V, entraîne les inégalités

78 INTUODLCTION' A LA TlIKOUIE DES l'0>'CT10>S

pourvu que 'b A, B, C) ne soil pas nul, on aura lim. ° ("»• '';.■ "'») o (A. V>, C)

Au lieu de trois suites, on aurait pu aussi bien considérer quatre, cinq, ... suites et des polynômes à quatre, cinq, ... variables.

55. — Il y a un inlrrèt évident, étant donnée une suite infinie

à savoir reconnaître si celte suite a une limite ou non.

Considérons, en même temps que cette suite, l'ensemble (U) desnombres distincts qui y figurent : je dirai de la suite qu'elle est bornée, ou qu'elle n'est pas bornée, suivant que l'ensemble (U) est borné ou n'est pas borné. L'ensemble (U) est en général infini :. pour qu'il en soit autrement, il est évidemment nécessaire que la suite {il) contienne une infinité de termes égaux : écartons provisoirement de nos raisonnements les suites de cette nature.

Supposons que la suite {a) ait une limite A; elle est alors bornée, puisque, quel que soit le nombre positif £, ses termes sont, sauf un nombre fini d'entre eux, a, />, c, ..., /, tous compris dans l'intervalle (A — £, A -i- c), en sorte que la valeur absolue de l'un quelconque de ses termes est au plus égale au plus grand des nombres l^z], |/>i, \c\, ..., \l\, |A — c], |A -h cj.

D'autre part, et pour la même raison, le point A est un point d'accumulation de (L) et il est le seul : il faut bien en effet qu'il y ait dans l'intervalle (A — c, A -h s) une infinité de points de (U), puisque, en dcbors de cet intervalle, il ne s'en trouve qu'un nombre fini ; puis, tout point d'accumulation de (U) appartient nécessairement à cet intervalle et, par conséquent, coïncide avec A, puisque ô peut être supposé aussi petit qu'on le veut.

Réciproquement, si l'ensemble (L) des nombres distincts qui se trouvent dans (a) est borné et s'il admet un point d'accumulation unique A, ce point ou ce nombre A est la limite de la suite [u). En effet, si A est un point d'accumulation de (U), il y aura, en désif'-nant par s un nombre positif quelconque, une infinité d'éléments de l'ensemble, ou de termes de la suite, qui appartiendront

CnAPITUE H. SUITKS INTIMES yg.

à l'intervalle (A — i. A -+-£): ceux des points Je l'ensemble qui sont en dehors de rot intervalle sont en nombre fini (n ' 51), et, [)ar consécjuent (n" 52), A est la limite de la suite a).

Ainsi, pour que la suite («), dont on suppose qu'elle ne contient pas un nombre infikii de termes égaux entre eux, ait une limite, il faut et il suffit que l'ensemble (U) soit borné et admette un point d'accumulation unique ; ce [)oint est la limite de la suite.

ISi la suite (n) contient une [infinité de termes égaux à un nombre A, elle ne peut évidemment avoir d'autre limite que ce nombre. On fera rentrer toutes les suites dans un même énoncé en convenant d'appeler point (Vacciunulalion d'une suite (u) soit un point d'accumulation de l'ensemble (L) des termes distincts de cette suite, soit un nombre qui figurerait une infinité de fois dans la suite («) : on pourra dire alors :

La condition nécessaire et suiïlsanfc pour qu'une suite ait une limite est qu'elle soit bornée et n'admette qu'un point d'accumulation.

Observons en elïet que si A est un point d'accumulation d'une suite infinie quelconque (h), on peut allirmer que, quelque soit le nombre positif £, il y a une infinité de termes de la suite qui appartiennent à l'intervalle (A — £, A -r- z), soit parce que A est un point d'accumulation de l'ensemble (U) des termes distincts de (u), soit parce qu'il y a dans celle suite une infinité de termes égaux à A. Si la suite n'admet pas d'autre point d'accumulation, et si elle est bornée, il n'y a en dehors de cet intervalle qu'un nombre fini de termes : en effet, d'une pari, il ne peut y avoir en dehors de cet intervalle qu'un nombre iini d'éléments distincts de l'ensemble (U), sans quoi cet ensemble admettrait un second point d'accumulation ; d'autre part il ne peut y avoir en dehors de l'intervalle un terme qui soit répété une infinité de fois dans la suite, puisque ce terme devrait alors être regardé comme un point d'accuiuulation, non de l'ensemble, mais de la suite : le raisonnement qui a servi dans le cas où on avait alfaire à une suite ne contenant pas une infinité de termes égaux s'applique donc encore.

56. — Voici une autre forme de la condition nécessaire cl suffisante [)<j\iy qu'imc suite h,, «., ..., u,,, ... ait une limite.

So

iNTUonucTio.s A LA Tiiicoiur: ni:s konctions

Supposons que celte limite existe et soit égale à A ; quel que soit \c nombre positif ô on peut lui laire conespondrc un entier /) tel

que l'on ait [A — ii„ \ << -- sous la coiuliliou ii >/>• Si donc n et m sont supérieurs à /^ on aura | u„ — «,„ | << £ puistpie l'on a évidemment | u,, — ii,„ \ ^ | ii„ — A | -h | A — u,„ \.

Kéciproquement, si à chaque nombre positif - on peut faire correspondre xm nombre naturel p tel que l'on ait \um — n„\ << s ^ous la seule condition que m et n soient supérieurs à p, on peut aflirmer que la suite (u) a une limite.

Cela est évident s'il y a dans la suite une inllnité de termes 4gaux à un nombre A, puisqu'on pourra toujours prendre ll.n = A .

S'il en est autrement, comme je le suppose dans ce qui suit, la suite (u) comprend une infinité de nombres distincts, qui forment un ensemble infini (l). Cet ensemble est borné, car si l'on suppose m >/>, tous les termes de la suite sont compris dans l'intervalle (a,„ — s, «,„ -+- ê) , sauf un nombre fini de termes pris dans la suite limitée u^, 11.2, ...,iim — i. L'ensemble ^L) admet un point d'accumulation qui ap[)artient nécessairement à l'intervalle (»,„ — c, Uni -+- î), intervalle dont l'écart est 2î : il est donc impossible que l'ensemble (U) admette deux points d'accumulation distincts A, A', puisque la distance de ces deux points devrait être au plus égale au nombre positif 2 s, qui peut être supposé aussi petit qu'on le veut. Donc :

La condition nécessaire et suffisante pour que la suite u^, u.,, ..., ii,„ ... ait une limite est que l'on puisse faire correspondre à chaque nombre positifs un nombre naturel p tel que l'on ait, sous la seule condition que les nombres naturels a et m soient supérieurs à p, I ii,n — «„| < E.

On observera que si cette condition est vérifiée, on peut prendre pour valeur approchée de la limite, un terme quelconque u,„ (m >/)) : l'erreur commise est alors au plus égale à z.

Si la suite u,, u.^, ..., a„, ... n'a pas de limite, on peut affirmer l'existence d'un nombre positif a, tel que, pour une infinité de couples de nombres n, m, on ail ] n„ — n,n | >> a ; le raisonnement est le même qu'au n" 53.

57. — Considérons une suite a^, u,, ..., u,,, ... telle que chaque

CIIAI'IIKE II. Sinr.S IMIMES 8i

terme soit t'y:al ou siipcriciir à ceux qui lo prcct'dcnt ; aulroinciil dit, on a //„ + 1 ^ Un, <|ucl (|uc soil n ; si tous les Icnncs sont inl'criouis à un iiomhic livc A. la Miilc a une liuiilc. En ellet, l'cnseuihlc [{]) des nonihrcs dislincts (|ni appartiennent à la suite est borné ; sa borne inférieure est //,, sa borne supérieure a est inférieure ou éyalc à A. Soit £ un noni})re positif quelconcpie, il y a cerlaincinent un nombre de (L), un li rme de la suite (//), qui est phis graïul que a — i ; soit a,, un pareil terme : les tenues suivants, su[)éricuis ou égaux à iij„ seront aussi plus grands que V. — £ ; aucun de ces lernies ne pouvant dépasser c/., on aura y- — ";i <! s. sous la condition n^ p : la suite a pour limite sa borne supérieure.

Si une suite »,. n,, ..., ii,,, ... est telle que chaque terme soit égal ou inférieur à ccnix (jui le précèdent; autrement dit, si l'on a «,,-f 1 â n„, quel que soit //, et si tous les termes sont supérieurs à un nombre (ixc lî, la suite a une limite, qui est, celte fois, la l)orne inférieure de l'ensemble (U) des nombres distincts qui ligurent dans la suite. Cette limite est inférieure ou égale à lî. La démonstration est la môme. Au surplus on ramènerait ce cas au précédent, en changeant tous les termes de signe.