Si l'on considère deux suites (h) »,. Il
et si, d'une part, les termes de la première suite sont tous inférieurs ou égaux à un terme quelconque de la seconde suite; si, d'autre part, on a lim. (r„ — ii„) = o, les deux suites ont une limite et
<:ette limite est la même pour les deux suites.
Soient (U), (\) les ensembles formés respectivement par les termes distincts de la suite (a) et les termes distincts de la suile (o). Cbaf[ue élément du premier ensemble est, par hypothèse, intérieur ou égal à un élément quelconque du second; d'ailleurs, à cause <\ù la condition lim. (a„ — v„) r= o, il y a des nombres pris l'un <lans (U), l'autre dans (V) qui diffèrent aussi peu qu'on le veut. Il suit de là (n° 47), que la borne supérieure de (U) est égale à la borne inférieure de (V) : soit A celte borne commune et £ un
Tasxebï I. — Intro.iuclion à la théorie des fonctions g
iS:> iNTnonrcnoN a l\ Tnt:oi\iK pes v"0^c■rIO^s
nombre positif quelconque; soity> un nombre entier tel que l'on ait i\, — u„ <^ z. sous la condition n > /;. Les inégalités
entraillent
la proposition est démontrée.
Les intervalles tels que [ii,,, v„), dont les bornes inférieure et supérieure sont deux termes correspondants des suites («, y), peuvent évidemment être caractérisés de la façon suivante :
i" La borne inférieure de l'un quelconque de ces intervalles est inférieure ou égale à la borne supérieure de l'un quelconque d'entre eux.
2° Lécartde l'intervalle (»„, i\,) tend vers zéro quand ii augmente indéfmiment.
Réciproquement si l'on considère une suite infinie d'intervalles
qui satisfassent à ces deux conditions, il est clair que les deux suites formées l'une, par les bornes inférieures, l'autre par les bornes supérieures satisferont aux conditions imposées aux suites [il), (v) du présent numéro en sorte qu'il existera un nombre A tel que l'on ait
lim. u„ = lim. i'„ = A ; ce nombre A appartient à l'un quelconque des intervalles (Uj,,r,),
{il,, Vi),...
Il y a plus, si l'on considère une suite cjuelconque .x,, Xo,..., X,,,..., dont on sache seulement que Xn appartient à l'intervalle {u„, Vn), quel que soit n, on peut alïïrmcT que l'on a
lim. Xji = A :
en effet l'écart entre A et .r„, qui appartiennent tous deux à l'intervalle ({{„, i';,), est moindre que Vn — u„.
La connaissance des deux suites (a), (v) pour déterminer le
CIIAl-mu: H. SI MES IMIMES 83
noiiihio A ollVo ceci de j)n'cieux qu'un Icrmc f|iiclconf|iic u„ de lu priMiiièrc siiile, tin lemic quelconque t^ de la seconde siiile ^jcuvenl rhv [iii- pour valeurs approchées de A, l'une par dc'faul, l'aulre par excès; la dillercncc cnlrc ces deux valeurs fournil luie limile supérieure de l'erreur commise.
In cas l'réquenl est celui où les suites (u), (v), outre ([u'ellcg satisfont aux conditions imposées, sont telles que l'on ait, quelque soit n,
l'n + y â "„■ v„4-, =Sr„.
rcxistenc(> de la limite, pour lune ou l'aulre résulte alors du n"57.
Telles sont les suites ([ue l'on di'duit d'un svnd)ole écrit comme un nondjre décimal qui aurait une inlinilé de cliiH'res, la première en prenant successivement un, deux, trois,... chiffres décimaux, la seconde en fo mu U le dernier chillrc dans chacun des termes de la première suite i n^ 18).
Telles sont encore les deux suites
Po i\ L
déduites d'une fraction continue illimitée (n" 38) en prenant les réduites de rang pair et les réduites de rang impair.
£9. — Examinons maintenant ce qui arrive si la suite infinie («) H,. u,,, ..., «„.
n'a pas de limite.
Si la suite («) n'a pas de limite, c'est qu'elle n'est pas hornée-, ou qu'elle a plus d'un point d'accumulation (n" 55).
1" Sup[)osons que la suite [u] ne soit pas i)ornée : alors, f[uel que soit le noinhrc positif A, et quel que soit le nomhre naturel p, il y a dans la suite, après le terme u,,, un terme ii„ plus grand que A en valeur aljsolue ; sinon, en effet, l'ensemble (U) serait borné, puisque tous ses éléments seraient inférieurs ou égaux en valeur absolue au plus grand des nombres | «, |, |«J,... |u„|, A. Après le terme n^, il y a de même un terme a,,, plus grand que A en
8^ INTRODUCTION A I.V TlIKOUir: DES FONCTIONS
valeur absolue; il y en a encore un autre après j/,,,... : il y a, après 11,,, une inlinité de termes plus grands que A en valeur absolue. Si l'on savait que la suite (h) n'est pas bornée en haut, on pourrait alVunKn- en vertu du même raisonnement, qu'il y a dans la suite, après tel terme (juc l'on vont, imo infinité de termes qui sont ]ilus grands que A.
2° Si la suite (u) admet im point d'accumulation a, on sait que quoique petit que soit le nombre positif i, il y a une inTmilé de termes de la suite dans l'intervalle {n — £, a + s) ; il y en a donc une infinité après un terme qiielconque ii„ : en sorte que si la suite a plusieurs points d'accumulation, on peut affirmer que, après chaque terme, il s'en trouve qui sont aussi rapprochés que l'on voudra de tel point d'accumulation que Ion veut ou encore, si la suite n'est pas bornée, qui sont aussi grands que l'on veut en valeur absolue.
60. — Parmi les suites qui ne sont pas bornées, il convient de distinguer celles qui jouissent de la propriété suivante : quelque ffrand que soit le nombre positif A, on peut lui faire correspondre vm nombre naturel p tel que l'on ait n,, > A, sous la condition n > P- Pour exprimer que la suite (a) jouit de la propriété qu'on vient de dire, j'écrirai, suivant un usage commode et très répandu
lim. u,i = -{- zc.
Je dirai aussi que ii,, croît indéfiniment avec n, ou encore que Un tend (') vers -h ce.
Les suites de cette nature ont, à cause de la façon régulière dont leurs termes croissent, quelque chose de commun avec les suites qui admettent une limite : elles n'en admettent évidemment pas, au sens qui a été donné à ce mot au n" 52 ; rien, à la vérité, n'aurait empêché de modifier la définition adoptée alors, de dire limite finie \)SiVloul où l'on a dit limite, et dédire ([ue a,, a pour limite -h oc, pour signifier que, quelque grand que soit le nombre A, on peut lui faire correspondre un entier/;, tel que l'inéga-
{') L'expression tendre vers rinfinl a été longtemps rejetéo du langage mathématique comme incorrecte ; il me paraît qu'on peut l'adopter pourvu qu'on l'entende d'une fa<on précise.
CIl.Vl'ITUr: II. SLITES IM IMES (S.>
lilé /j >./), onlraînc l'im'irnlili' ii„^- \. L'fnnui (raccoler prosque toujours l'épilhclc u linic » au mol limilc cl do, cliof|U('r dos liaMliidos invi'tôrécs, comme rollc (|iii coiisislc à dire, dans le cas (|iii nous occupe, que ii„ croit au delà de toute liniile, m'a décidé à adopter le mode de lan;,M<4^e qui est d'ailleurs le i)lus répandu, bien qu'il seud)le, d'un autre côté, assez singulier de ne pas oser (lire que u,, a une limite infinie, ou a l'infini pour limite, quand on écrit lim. ii„ = -i- x . Mais ce qui importe par dessus tout,
c'est de préciser le langage et les notations.
De même, j'écrirai lim. ii„ = — ce, et je dirai que //„ tend vers
— y., pour signifier f[uo, quolrjuc grand en valeur absolue que soit le nombre négatif A, on peut lui faire correspondre un entier /' tel que l'on ait ii„ •< A, sous la condition n >/>.
Il est clair que la supposition lim. ii„ = ± y, cnlraîne la con-
n = yj
clusion lim. — = o.
61. — Si la suite (u) n'est pas bornée en baut, on peut en exlraire une suite infinie de termes y,, v.,, ..., v,,, ... dont les rangs /;,, n„ ..., rij,, ..., (ju'ils occupent respectivement dans la suite {il), aillent en croissant, et tels que Ion ait lim. v^, = + ce.
Soit en cflet (a) «,, a,, ...,.a,„ ...
une suite infinie de nombres positifs croissants, tels que l'on ait lim. a^ = H- 00 ; ce sera, si l'on veut, la suite dos nombres naUi-
rels. On prendra pour v,, le premier terme de la suite (u) qui soit égal ou supérieur à a, ; en d'autres termes, si /?, est. dans la suite (u) le rang du premier terme égal ou supérieur à «,, on prendra r, =r «„ ; on prendra de même v., = u„ , en désignant par n., le rang, dans la suite (n), du premier terme plus grand que a.,, puis v.^ = ii„ , en désignant par n.^ le rang, dans la suite (a), du premier terme plus grand que d^, etc..
Il est clair quo, dans la suite (u), ii„,^ doit suivre ii„ , que «„ doit suivre (f„ . elc..., en sorte (pie l'on a n^ <i n.^ <i n^ <C ... Comme
SO IMUOniCTION A L\ TIIKOUIK «ES rONCTIOS
les lermcs de la suite (//' finisscnl \^av dépasser tel nombre positif que Von veut, la proposition est évidenle. Par c\cni[)lc, de la suite
1 loi,
on peut extraire la suite i, 2, 3, ..., dans la([uelle le n'' ternie augmente indélinimenl avec n.
Un raisonnement analogue montre cpic si un ensemble infini (E) n'est pas borne en haut, on peut en extraire une suite l\, v.,, ..., v„, ... telle fpie l'on ait lim. v„ = -H ce ; on prendra alors pour
n = ce
r, un nombre de (E) supérieur à a,, pour t'^ un nombre de (E) supérieur à a,, de... On ne sera jamais arrête : dans ce cas, toutefois, la suite l'i, v.,, ..., i\„ ... n'est pas définie comme elle l'est dans la démonstration précédente, elle ne pourrait l'être que si l'ensemble (E) était lui-même détini.
62. — Si l'on n'a pas lim. I iin | = -f- oc, on peut affirmer que
la suite infinie (a), qu'elle soit bornée ou non, admet im point d'accumulation. En clTel, affirmer qu'on n'a pas lim. | u„ | =+ ^,
n = ce
c'est affirmer l'existence d'un Jiombrc positif A tel que chaque terme de la suite («) soit, suivi de termes inférieurs ou égaux à A en valeur absolue ('), tel par conséquent qu'il y ait une infinité de termes de la suite inférieurs ou égaux à A en valeur absolue, c'est donc affirmer l'existence d'une infinité de termes de la suite dans l'intervalle ( — A, H- A), ou encore l'existence, dans cet intervalle, dun point d'accumulation de la suite, soit que l'intervalle contienne une infinité de termes inégaux (n" 49), soit qu'il contienne vme infinité de termes égaux (n° 55).
(') En cdct, s'il n'existait pas un parcit nombre A, c'est que cpiclquc soit le nombre positif A, il y aurait un terme de la suite (u) tel que tous les termes suivants fussent, en valeur absolue, plus grands que A, c'est donc qu'on aurait
lim. I u„ j = + ce.
/t = oc
CUAI'IUΠh. SUITES IMIMES 87
l'ai- cvonq)!!' la suite
(jui n'est pas Ixiriii'c cil liatu. qdmot /.rro pDui' puinl (racciimulalion.
Soit encore »„, ^= n", en clésif;nant par a un nonihic fixe quelconque.
Supposons d'aborcl '/ >> i ; on peut poser a ^= i -h 7., v. étant posilil"; on a alors
a" = (i -i- a)» > I -+- n-JL] il en résulte que l'on a lim. a" = + y^, puisque si A est un nom-
;i = ce
bre positif (pielconque, il suffira de prendre n supérieur à la partie
entière de — pour cpie n" soit plus grand que A.
Si a est plus petit que — i, on aura, d'après ce qu'on \ient de dire. lim. | a" | = -1- ce, mais a" étant positif pour ii pair, négatif
pour n iui[)air, on n'a ni lim. a" ;= -H ce, ni lim. a" = — co ;
on pourra écrire, si l'on veut, lim. a^" = -r- oc, lim. a~"~' = — vd .
Si a est compris entre — i et 4- i , en posant a = . et en remarquant alors que h est plus grand que i en valeur absolue, on voit que l'on a lim. a" = o. Dans ce cas, si a est positif, les termes de
la suite (ii) tendent vers o en décroissant; si n est négatif, ils sont alternativement positifs el négatifs, ils oscillent autour de o en s'en rapprochant de plus en plus, à mesure que n grandit.
Si a = I, tous les termes de la suite sont égaux à i ; la suite a I pour limite ; si r; = — i, les termes de la suite sont alternativement — 1 et -i- I ; elle a deux points d'accumulation — i et -+- i.
63. — Observons en général que si la suite (h) admet un point d'accumulation n, soit qu'elle n'admette que celui-là, soit qu'elle en admelt'^ d'autres, on jieut en extraire une suite infinie de termes /'i, V.2, ..., i';,, ,.., dont les rangs //,, //^ n,,, ..,, qu'ils occu-
85 lNTn01»L"CT10> A LA TllÉOUlE DES FONCTIONS
pent clans la suilc (u) vont en croissanl cl tcl;^ que ion nit
lim. Vf, = (i.
Soit en elTet
une suite de nombres posilifs décroissanls, tels (jue l'on ait lim, £,, = G ; ce sera, si l'on veut, la suite des inverses des nom-
bres naturels. On prendra ])our Vi le premier terme de la suite {ii) dont la différence avec n soit inférieure ou égale à i, en valeur absolue ; si n, est le rang- de ce terme dans la suite {n), on aura i», = H„^ ; on prendra pour i\ le premier terme de iii), venant après H„ , et dont la différence avec a soit moindre en valeur absolue que c^, ...; si n.y est le rang de ce terme dans la suite (a), on prendra t\ = «„ , etc.. ; le reste est évident. Inversement, il est clair que, si l'on peut extraire de la suite («) une autre suite ayant a pour limite, a est un point d'accumulation de la suite [ii).
On d('montrcra d'une façon analogue que si un ensemble lE) admet un point d'accumulation a, on peut en extraire une suite infmie i\, V.-,, ..., i'„, ... telle que l'on ait lim. v,, =z a.
Si la suite (a) a plusieurs points d'accumulation, on pourra en extraire ainsi diverses suites, dont chacune aura pour limite le point d'accumulalion qu'on voudra. La suite (u) apparaît ainsi, en quelque sorte, comme le mélange de plusieurs suites ayant des limites différentes.
€4. — Dans le cas où la suite (u) est bornée en haut, l'ensemble (U') de ses points d'accumulalion est lui-même borné en haut, car un point d'accumulation de la suite (u) ne peut évidemment dépasser la borne supérieure de cette suite. Cette borne supérieure joue dans diverses recherches un rôle assez important : observons d'abord qu'elle appartient certainement à (L') ; si en effet la borne supérieure B' de (U') n'appartenait pas à (U), c'est qu'elle serait pour cet ensemble un point d'accumulation.
Or, il est bien aisé de voir que tout point d'accumulation a de (U') est un point d'accumulation de la suite (u) et, par conséquent, un élément de (U'). Soit en effet i un nombre positif cpielconque :
CIIAI'IlUi: li. SI II r.s IMIMES 8^
il V a dans (L i un clrinciil (> lel (|iio l'on ail | '/ — '^ | <C ' ; ''
élant un clément de (L') nuti(> (juo a, c'ost-à-diic un point d'accumulation de (a) autre fpie '^ il y a une inlinil('' de termes u„ di'
la suite (h) tels cjuc l'on ait [A — ",il<C " ■> ^^oh l'on déduit
I '/ — "„ I -<! î î " C-t donc l)i(Mi un |)oinl (raccuimilalion de ((/), donc un élément de ( L ), connue on l'avait annoncé.
Ceci posé, soit a la borne supérieure de la suite (a) et A la borne supérieure de l'ensemble (L) de ses points d'accumulation. Puisque A est un point d'accumulation de la suite (ft), on peut, de cette suite, extraire une autre suite {y) ayant A pour limite ; mais on ne peut cerlainement pas en extraire une autre suite ayant pour limite un nombre A plus j.:rand que A, car ce nondjre A' serait alors un point d'accumulation de (a), donc un élément de (L) et il n'y a pas dans (L ) de nondjrc plus grand que A. Cette remarque justifie le nom de plus grande des limites de la suite (u) que l'on donne quelquefois au nombre A.
Celui-ci peut encore être défini de la façon suivante : Soit i un nombre positif quelconque, il n'y a qu'un nombre limité de Icrnics delà suite (u) qui dé[)assent A -i- £ ; car autrement il y aurait un point d'accumulation de cette suite dans l'intervalle (A -t- £, a), c'est-à-dire un point de (L ) au-delà de A. Au contraire, il y a une infinité de termes de la suite qui dépassent A — £, puisque A étant un point d'accumulation de la suite («), il y a certainement une infinité de termes de cette suite dans l'intervalle^ (A — £, A -1- c). Ainsi les nombres plus petits que A sont caractérisés par ce fait qu'il y a une infinité de termes de (H)(|ui les dépassent, et les nombres plus grands que A par le fait qu'il n'y a qu'un nondDre fini de termes de [ii) (|ui puissent les dépasser. Si la suite («) est bornée en bas, il y auta lieu de même, de considérer la plus pclile de ses limites, qui est la borne inférieure de l'ensemble (L') de ses points d'accimiulation. Si la suite a une limite au sens propre du mot, l'ensemble ([]') se réduit à cette limite^ avec laquelle se confondent la borne supérieure et la borne inférieure de (L').
1)0 IMUODLCnON A L\ TllÉOIUE OKS l'ONCTIONS
m. — ENSEMBLES DÉNOMBUVIM^ES
65. — La façon même dont on a lattaclic la notion de limite à celle d'ensemble pose la question suivante :
Les termes d'im ensemble (E) peuvent-ils être rangés dans un ordre tel que
(il) »,. Il, u,„ ...?
Il importe d'abord de bien préciser ce qu'il faut entendre par là.
En disant que les termes de l'ensemble (1']), qui, par hypothèse sont tous distincts, peuvent être rangés dans l'ordre «,, «,, ..., on entend que, quel que soit l'élément de l'ensemble que l'on considère, il y a dans la suite (u) un terme (et un seul) qui lui est égal et que, inversement, tout terme de la suite («) appartient à l'ensemble (E).
Plaçons-nous à un autre point de vue, qui va nous permettre d'introduire ime notion im[)ortante.
66. — Considérons deux ensembles (E), (E) : imaginons qu'on puisse faire correspondre à chaque élément n de (E) un élément a de (E) (') et un seul, qu'à deux éléments distincts a, h de (E) correspondent toujours deux éléments distincts a' , h' de (E'), enfin que chaque élément de (E') soit le correspondant d'un élément de (I{) : deux éléments distincts de (E') seront nécessairement les correspondants de deux éléments distincts de (E , puisqu'à un élément de (E) ne correspond qu'an élément de (li) : an lieu de dire que l'élément r/ de (E') correspond à l'élément in) de E, et que a est l'élément de (E) auquel correspond l'élément a! de (E), je dirai plus simplement que les éléments «, a pris, le premier dans (E), se second dans (E'), se correspondent.
Cj II faut enlciiflrc par là que le fait de penser l^'lûmctit a de rcnseniblc E, -éveille la pensée de l'élément déterminé «' de l'ensemble E'.
CIIAPITIIE II. i;>Sl.MllI.r.S DKNoMItnAIII.ES () I
Je (jualilicrai iiiio tell(^ corrcspoïKlanro, l'Iahlic ciilif los ('h'menls des tlctix: ensembles, en disaiil (ju'cllo csl paifailo, ou que les cnseinl)I(^s se cniresporulenl j)arlailoiU('iil : au lieu de dire qu'il est possible d'élablir eulre deux enseiuiilos une corrcs|)(>ndanre parfaite, ou dit aussi que ces dcuv enseud)lcs ont nièuie pms.stincn.
On ne peut évidemment établir une correspondance parfaite entre deux ensembles dont l'un est fmi que si l'autre est aussi fini et comporte le même nombre d'éléments : c'est la possibilité d'une pareille correspondance qui pernic! d'afliriner (jue deux « collections d'objets » ont le même nombre (^naturel .
On n'a jusqu'ici considéré que des ensembles ou des sr.ites do nombres représentés par des points sur un axe ('). Mais il est clair <ju'on peut bien réunir par la pensée des objets autres que des nombres ou leur assigner un ordre. Dans ce chapitre même, il sera, par exemple, question d'ensembles dont les éléments sont des systèmes dénombres (n" 73). On peut raisonner sur des ensembles dont les éléments sont des objets quelconques, et, comme au n" 43, dire d'un tel ensemble qu'il est déterminé si Von peut al'iirmer d'un objet quelconque qu'il appartient ou ([u'il n'ap[)arlicnt [)as à l'ensemblc, que l'ensemble est défini si l'on définit le moyen de reconnaître d'un objet quelconque qu'il appartient ou n'appartient pas à l'ensemble : On suppose essentiellement que ces objets soient distincts. De même on peut concevoir une infinité d'objets rangés
-dans un ordre déterminé u,, »,. .... ii, , les lettres «,, ii,, ..-,
désignant non plus des nombres, mais des objets.
Les notions de borne, de Uinile, de point (racciunulalion, ne s'applifjuent plus à ces suites ou ensembles infinis, conçus avec cette généralité. Ces notions impliquent en cITct les notions de plus grand, de plus petit, de dillérence, qui jieuvent n'avoir aucune signification ])our les objets compris dans l'ensemble ou rangés dans la suite. Plus tard, on étendra c[ue!([ues-uncs de ces notions à certains ensembles dont les éléments sont des systèmes de •deux '^ou de plusieurs) nombres. La [)lupart de ces extensions pourraient d'ailleurs, sans difficulté, être présentées de suite. Mais la notion d'ensembles ayant même puissance, la possibilité
(') Sauf au II" 58 où il a ûlû ([ueslion iiiciJeininciil d'une suite inllnie ifiniervalics.
<)2 ïMnonrr.TiON a i.v thkouu: des i-onctions
ou l'impossihililé ilc ranger dans une suite Icllc que »,, ii.^, ..., Un, ... les éléments d'un cnseuihlc ne supposent en aucune façon que ces éléments soient des nonihres : aussi en introduisant ces diverses notions, ai-je eu soin d'emplover le mot « élément » et non le mot u nombre »,
\oicl quelques exemples de correspondance parfaite entre des ensend)les infinis, choisis d'ailleurs dans le cas qui nous intéresse le plus immédiatement, celui oii les éléments sont des nomlnes (ou des points).
67. — Considérons d'une part l'ensemhlc (E) des nombres iiaturcls et l'ensemljle (E ) des nombres positifs pairs. A chaque élément de(E), à chaque nombre naturel, on peut faire correspondre son double, qui figure dans (E') ; chaque élément de (E') est le correspondant de sa moitié, qui figure dans (E) ; on voit de suite que la correspondance ainsi établie entre les deux ensembles est parfaite : l'ensemble des nombres naturels a la même puissance que l'ensemble des nombres pairs positifs.
On peut établir de même une correspondance parfaite entre les nombres qui appartiennent à l'intervalle (o, i) et les nombres qui appartiennent à l'intervalle {//, h), en supposant a différent de h : il suffira de faire correspondre au nombre x du premier ensemble le nombre x' = a -h (h — n) x du second. Par exemple, on peut établir une correspondance parfaite entre l'ensemble des nombres qui appartiennent à l'intervalle (o, i) et l'ensemble des nombres qui appartiennent à l'intervalle (o, 2) ; il suffit de regarder comme se correspondant un nombre du premier ensemble, et le double de ce nombre, dans le second ensemble.
Si l'on peut établir une correspondance parfaite entre les ensembles (E) et (E") d'une part, entre les ensembles (E') et (E") d'autre part, on peut établir une correspondance parfaite entre les ensembles (E), (E') qui, ainsi, ont une même puissance : il suffira de faire se correspondre dans (E) et dans (E) deux éléments qui correspondent à un même élément de (E"). Par exemple, l'ensemble des nombres qui aj)partiennentà l'intervalle (a, h) et l'ensemble des nombres qui appartiennent à l'intervalle (a', h') ont même puissance que l'ensemble des nombres qui appartiennent à l'intervalle (o, 1) ; les deux premiers ensembles ont même puissance.
cii.vrmu; ii. — knsemisi.ks DLNoMitn.vnLCS f).:)
On dit qu'un ensemble (l*],) est contenu dans l'cnseniMc (K), ou que l'enscnihlc (!•]) conlionl l'enscniMo {V.,^, si lont éléiucntdc (K,) est un ('lénionl tic (I! : celle laroii de [)ail(M- (]ui. [njur les enseml)lcs de nombres a déjà été inlroduilc au n" 46. n'exchit pas l'identité entre les ensembles ( I"]), (I'],) ; l'idenlilé a lieu lorsque chacun des ensembles est conlenu dans l'autre.
On dit que l'ensemble (E,) est xmc pnrlic de l'ensemble (E) lorsque rensend)le (E,) est contenu dans l'ensemble (E) et que certains cléments de (E i n'appartiennent pas à (Ej) ; ainsi l'ensemble des nombres im[)airs ou des nombres pairs, ou des nombres premiers, est une [)artie de l'cnsendjlc des nond)res entiers. L'ensendjle des nomI)res qui appartiennent à l'intervalle (o, i) est une partie des nombres qui appartiennent à rintcr\alie (o, 2). Les notions de contenu ou de contenant, et de partie, ne supposent pas que les éléments des ensembles considérés soient des nombres.
L'ensemble des nombres positifs pairs est une partie de l'ensemble des nombres naturels ; on a montré [)lus haut f[ue les deux ensembles ont même puissance : on voit donc qu'un ensemble infini peut avoir la u'.ème [)uissancc qu'une de ses parties.
De même l'ensendjle des nombres qui appartiennent à linterlervalle (0,2) a la même puissance que l'ensemble des nombres qui appartiennent à l'intervalle (0,1), lequel est une partie du premier intervalle. Ceci ne peut avoir lieu que pour un ensemble infini et le fait de ne pouvoir avoir même puissance qu'une de ses parties est ce qui caractérise les ensembles finis, les collections, au sens de l'arithmétique élémentaire.
68. — On dit ([u'un ensemble (E) est dénombrable lorsqu'il a la même puissance que l'ensendjle des nombres naturels : dire que l'ensemble (E) est dénombrable, c'est dire qu'on peut établir une correspondance parfaite entre les éléments de (E) et les nombres naturels : celle correspondance étant établie, représentons chaque élément de (E) par une même lettre aiTecléc d'un indice égal au nombre naturel qui correspond à cet élément, et rappelons-nous qu'à chaque nombre naturel correspond un élément de (l-^j : les cléments de (E) pourront être représentés par la suite infinie
f) I INTRODICTION A LA TIII-OUIE DE? FONCTIONS
Chaque élément de {]•]) occupera un certain rang dans cette suite et le /?" ternie de cette suite sera rélcmcnt de (E) qui correspond au nombre naturel n. Inversement il est clair que si les éléments de (E) peuvent èlre rangés dans une (elle suite infuiie, Tensemble (E) est dénombrable.
69. — Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il sufiil qu'on puisseassigner aux éléments de (E), supposés en nombre infini, un ordre de succession qui satisfasse aux conditions suivantes, évidemment réalisées pour un ensemble dont les éléments correspondent à lasuite des nombres naturels.
i" La loi d'après laquelle on décide qu'un élément a de l'ensemble précède (OU suit) un autre élément h n'implique pas contradiction : c'est-à-dire que si a précède b, h suit a; que si a précède b, et si b précède c, a précède nécessairement c.
2° Enfin, il n'y a qu'un nombre fini d'éléments qui précèdent un élément quelconque a de (E) ; en particulier il y a un élément de (E) qui n'est précédé d'aucun autre, qui est le premier. Le nombre d'éléments qui piécèdent a, augmenté d'une unité, est le nombre naturel auquel correspond a. Si ces diverses conditions, qui n'impliquent en aucune façon la supposition que les éléments de (E) soient des nombres, sont vérifiées, l'ensemble est dénombrable : l'ensemble étant infini, la seconde condition implique qu'il n'y a pas dans (E) de dernier élément, d'élément qui ne soit suivi' d'aucun autre.
D'après cela il est clair que si (E) est dénondjrable, tout ensemble (E,) contenu dans (E) est fini ou dénombrable. Si, en elfet,. l'ensemble (E,) est infini, on pourra regarder un élément a de (EJ comme suivant ou précédant un autre élément h selon que a considéré comme appartenant à (E) suit ou précède b considéré aussi comme appartenant à (E) ; il est clair que les conditions i° et 2" qui, par hypothèse, sont vérifiées pour l'ordre adopté dans (E) le seront encore dans (E,).
70. — Si (E) est un ensemble dénombrable, et si l'on y introduit un nombre fini /) d'éléments qui n'y figuraient pas, le nouvel ensemble (E') ainsi formé sera dénombrable.
Il suffira de faire correspondre les p nouveaux éléments aux.
ciiAi'iTui: II. — i;Nsi:Miti.i s dknonkuamlks ().">
nombres i, 2,..., /) et de faiio rorrospoiulrc au iioiiibro n -{-}». rélénionl de il']') qui, en tant ([iril faisait partie de l'cnscmblo (E), correspondail un nombre n.
Si (E), (K') sont deux enscnd)les dénoml)rab!es, l'ensemble (E ) des éléments distincts qui appartiennent soit à (El, soit ù (l']') est aussi dénombrable : je représenterai cet enscndjle [)ar le symbole (')
Supposons d'abord que les ensembles (E), (1']') n'aient pas d'élément conmiun : on pourra l'aire correspondre au nombre 2/1 l'élément de l'ensemble (1^]) -i- (E') (pii, en tant ([u'il aj)j)nrlonai( à (E), correspondait au nombre n, et au nomijrc -.'p — 1 l'élément de l'ensemble (E) -\- [¥/) qui, en tant qu'il appartenait à (E'), correspondait au nombre p.
Si (E) et (E) ont des éléments comnuins, l'ensemble des éléments de (E') qui ne figurent pas dans (E) est une partie (Eî) de (E') : l'ensemble (E',) est fini ou dénombrable ; dans les deux cas l'ensemble (E) -+- (E^) qui ne dill'ère })as de Icnsenible dénombrable (El -+- (E'), est lui-même dénombrable..
Cette proposition s'étend évidemment à trois, quatre,... ensembles dénombrables : en général si (E), (E'),... (E(^'~ ')) sont des ensembles dénombrables, il en est de même de renscnible
(E)-r-(E')-h...-h[EO'-^)|.
Par exemple, l'ensemble des nombres entiers positifs, nuls ou négatifs est dénombrable ; au surplus, on peut ranger cet ensemble dans la suite
et faire correspondre cbaquc terme à son rang, c'est-à-dire le nombre entier />, s'il est nul ou positif, au nombre naturel 2/> -+- i, et, s'il est négatif, au nombre naturel — nj). Inversement cliaque nombre
(1) Celte iiolation s'étend nalurellcmciil à un noniljre (luolronfiuc d'cnspinhlcs (E). (E'), (E"),... : le symijolc (E) + (E') + (E") + ... représente l'enscmljKdes élémenls qni entrent soit dans (E), soit dans (E'), soit dans (E),..., cliaciiu de ces éléments n'étant pris qu'nnc fois, conforniénient à la con\cnlion fai'.c de ne considérer que des enscni!)lcs dont tous les élémenls soient disliiicls.
f)6 I>TI\»1DUCTI0N A LA TIIKOIUK DES FONCTIONS
natiirol corrospoiul à sa nioilu' changée de signe s'il est pair et. s'il csl impair, à la inoilié du noiuhic entier qui le précède immédiatcnicnt.
71. — Cetlo rcniarcpic va nous pcrmcttic de mcllie sous une ^ulre forme les conditions nécessaires et suffisantes données au n'' 69 pour ([u'uu ensemble inlini soit dénombrable. Pour cpi'un ensemble (tl) soit dénondiral^le, il faut d'abord qu'on puisse imposer à SCS éléments un ordre de succession, c'est-à-dire que deux éléments d et /' (V^ rcnsend)le élant donnés, on puisse dire lequel précède (ou suit l'autre) : bien entendu, la loi de succession ne doit pas être contradictoire ; c'est la condition i° du n" 69. 11 faut €n outre, que quels que soient les éléments d, U de l'ensemble, le nombre des éléments de l'ensemble, qui, d'après l'ordre de succession imposé, sont entre a et h, soit fini. (Un élément qui est entre ti et h est, si l'élément a précède l'élément h, un élément qui suit u €t qui précède h ; les notions du plus grand ou du plus petit n'ont rien à faire ici).
Sous ces conditions, l'ensemble est fini ou dénombrable. Mn efTct on pourra faire correspondre un élément a quelconque au nombre o, puis ; si h est un autre élément quelconque de l'ensemble, on le fera correspondre à un entier positif ou négatif suivant que b suivra ou précédera a, entier dont la valeur absolue sera le nombre d'éléments de l'ensemble qui sont entre a et h. augmenté d'une unité. On aura fait ainsi se correspondre d'une façon parfaite l'ensemble considéré d'une part, et l'ensemble des nombres entiers ou une partie de cet ensemble. Ecartons le cas où l'ensemble (E) serait fini. Alors, ou bien l'élément a auquel on fait correspondre le nombre o sera précédé d'un nombre fini d'éléments et suivi d'une infinité, ou bien précédé d'une infinité et suivi d'un nombre fini d'éléments, ou bien précédé et suivi d'une infinilé d'éléments, en sorte que, si l'on désigne chaque élément de l'ensemble par la lettre u affectée d'un indice positif, nul, ou négatif, les éléments de l'ensemble pourront cire rangés dans une suite appartenant à l'un des trois types suivants
(II) ...., «,. ",, »o' "i' «2 '•••> «i^; {iii) ...., «—2' "— 1' f'o' "i' "i' ••• ;
CirAPITUn II. ENSi;MItI,ES DÉNOMHU.VIILI.S 97
la siiifc (I) a un premier terme (u—,,), cl n'a pas de dernier terme ; la suite (II) n'a pas de premier terme et a un dernier terme («,,) ; la suite (ÏII) n'a ni premier, ni dernier terme. Dans tous les cas l'ensemble (El est dénombrablc, puisqu'il correspond parfaitement soit à l'ensemble des nombres entiers, soit à une partie de cet ensemble.
72. — Un ensemble infini de nombres (ou de points) qui n'a pas de point d'accumulation est drnombrable.
II suffit, pour le voir, de regarder l'éh'menl '/ comme précédant l'clémcnt h s'il est plus petit ; il n'y a qu'un nombre (ini d'éléments entre (t et b, puis qu'il n'y a pas de point d'accumulation entre a et h.
Un ensemble infini de nombres ou de points qui n'a pas d'autres points d'accumulation que ses bornes est dénombrable.
On peut supposer c[ue l'ensemble (E) ait une borne inférieure, ou une borne supérieure, ou encore qu'il soit borné en baut et en bas. Si l'une ou l'autre borne font partie de (E), commençons par les en ôter et soit (Ej) l'ensemble ainsi modifié, dont les bornes ne font plus partie. On regardera encore l'élément n comme précédant l'élément h s'il est plus pelil ; il n'y a qu'un nombre fini d'éléments entre a et />, donc (E/j est dénond)rable ; il en sera de même de l'ensemble (E) obtenu en introduisant dans (E,) un ou deux nombres (les bornes) qui n'y figuraient pas.
Un ensemble infini de nombres ou de points qui n'a qu'un nombre fini de points d'accumulation est dénombrable.
Soienta^, a,,...,a^, les points d'accumulation de l'ensemble considéré (E) : supposons a, < (Zo, ..., <a^, et soit (E,) l'ensemble des nombres de (E) qui sont plus petits que a,, (E.) l'ensemble des nombres de (E) qui appartiennent à l'intervalle (a,, a^), •••, (E,,) l'ensemble des nombres de (E) (pii appartiennent à riiitervallc (a,,,. 7.,), (E^, a. 1) l'ensemble des nombres de (E) qui sont plus grands que a,, ; chacun des ensembles (E,), (E.), ..., (E,, 4-i~). d'après ce qui précède, est fini ou dénombrable ; l'ensemble (E) formé des éléments distincts qui appartiennent à l'un ou à l'autre est dénombrable.
