Il va, d'après cela, une véritable identité entre une

TANNr.iiT I. — Inlroiluclion à la théorie ili'S fonctions 7

g8 INTRODUCTION A L\ THlÔOmF. DES FONCTIONS

suite infinie Je nombres tous distincts

qui admet une limite, et un ensemble borné (U) n'ayant qu'un point d'accumulation. Les termes de la suite (u) forment un tel ensemble, qui a pour point d accumulation la limite de la suite. Inversement les éléments d'un ensemble borné n'ayant qu'un point d'accumulation peuvent être rangés dans une suite telle que [u), laquelle aura nécessairement le point d'accumulation pour limite. On voit ainsi clairement que la limite d'une telle suite ne dépend pas de l'ordre de ses termes, mais seulement de leurs valeurs. On voit aussi qu'on peut sans altérer la limite de la suite (u), à supposer qu'elle en ait une, supprimer im nombre fini ou infini de termes, pourvu qu'il en reste une infinité. Leur ensemble, toujours dénombrable, aura en elTet un point d'accumulation, qui ne pourra être distinct du point d'accumulation de l'ensemble (U) des termes de la suite (u), dans lequel il est contenu (n" 51).

Cette identité entre la suite et l'ensemble de ses termes n'est plus aussi complète quand tous les termes de la suite ne sont pas distincts. Puisqu'on s'est interdit (n° 43), de parler d'ensembles dont tous les éléments ne sont pas distincts (') c'est de l'ensemble (U) des termes distincts de la suite

qu'il peut alors être question et le lecteur n'a pas manqué de remarquer que c'est toujours sur des ensembles ainsi constitués qu'ont porté les raisonnements antérieurs ; c'est pour pouvoir donner un énoncé unique qu'on a introduit l'expression « point d'accumulation de la suite » dans un sens qui peut êlre différent de l'expression « point d'accumulation de l'ensemble ». Le fait que l'on peut, d'une suite infinie qui a une limite A, supprimer une infinité de termes sans altérer la limite pourvu qu'il en reste une infinité est général, ainsi qu'il résulte immédiatement de la définition même du mot limite; mais la proposition, qui concerne la possibilité de changer l'ordre des termes d'une suite sans en changer

(') On verra au n'' 102 comment on peut, dans une certaine mesure, s'affranchir de cette restriction.

CHAPixnr; ii. — ensembles denomrrables 99

la limite, i)r('scnf(! quelque obscurité quand celle suite c()m[)orlc une infinité d'élénionls égaux et, comme c'est un [)oint qui reviendra plus tard, il est bon de l'éclaircir immédiatement.