Que faut-il entendre quand on dit que les deux suites
(") «,. «0 Il, ,
sont identiques sauf l'ordre des termes, ou encore que la seconde suite n'est autre que la première, dans laquelle on a changé l'ordre des termes ?
La réponse est immédiate si la suite («) n'a que des termes distincts; on entend qu'il en est de même dans la suite (i'), et que tout terme qui figure dans une suite figure aussi dans l'autre. Elle serait aussi facile si la suite (u), tout en comportant des termes égaux, n'en comportait jamais qu'un nombre fini. Chaque terme devrait figurer le même nombre de fois dans les deux suites.
D'une façon générale, soit
une suite identique, sauf l'ordre des termes, à la suite des nombres naturels, c'est-à-dire, comme on vient de l'expliquer, que ses termes, tous différents, sont des nombres naturels et que chaque nombre naturel y trouve sa place, soit 'b (p) le rang qu'occupe dans cette suite le nombre naturel p, en sorte que l'une quelconque des
égalités
oîi n et /) sont des nombres naturels, entraîne l'autre. Ceci posé, on dira que les deux suites
OÙ il est bien entendu que w^in) a le même sens que u,, si o{n) est égal à /), sont identiques, sauf l'ordre des termes, ou encore que la seconde n'est autre chose que la première dans laquelle on a changé cet ordre; le terme qui, dans la première, occupe le rang/) ^^ o{n)
lÛO INTRODUCTION A LA. THEORIE DES FONCTIONS
occupe le ratifr n ='i)(p) dans la seconde; dire que la suite (u) csl identique à la suite [a), sauf l'ordre des termes, c'est dire ' qu'il existe une suite (o) telle que l'on ait r„ = "^pK» pour toutes les valeurs du nombre naturel n.
Il convient de remarquer, sur la suite ('j), que l'on a nécessairement
lim. cp(«) = ~j- ce ;
soit en effet p un nombre naturel quelconque, ce nombre occupe le rang '-];(/)) dans la suite (ç) ; soit q le plus grand des nombres di(i), à {2), ..., '\>{p), ou, si l'on veut, le rang le plus élevé que puissent avoir dans la suite (ç) les nombres i, 2, ..., p; les termes de la suite (ç;) qui ont un rang supérieur à rj seront sûrement plus grands queyj; ainsi à chaque nombre naturel p on peut faire correspondre un nombre naturel q tel que l'inégalité m ^ q entraîne o{m) >> />; il en résulte qu'on a bien lim. c;{/i) = -+- 00 . Cette
n^ ce
remarque suffirait à prouver, indépendamment de ce qui a été dit dans le numéro précédent que, si la suite [u) a une limite A, il en est de même de la suite dont le n" terme est «^(n). Grossièrement, on peut dire que les termes qui sont très loin dans une suite, sont aussi très loin dans l'autre. Si les premiers diffèrent très peu d'un nombre A (leur limite), il en est de même des seconds.
75. — L'ensemble (E) dont les éléments sont les différents systèmes (a, ,j, ..., /) que l'on peut former en prenant pour a, •'5, ..., ). des nombres entiers positifs, nuls ou négatifs est dénombrable.
Il convient d'expliquer d'abord le sens de ce théorème.
1° Si l'on considère p nombres entiers, (positifs, nuls, ou négatifs) et qu'on les range dans un ordre déterminé, on obtient un élément de (E).
2" Tout élément de (E) est un pareil système de p nombres entiers,
30 Deux systèmes (a, j3, , ).), (a', -îi' , À') de p nombres
entiers sont regardés comme identiques si l'on aa=:a', j6 = jS',..., ). = ).' et seulement dans ce cas. On suppose qu'il n'y ait pas dans (E) deux éléments identiques.
CHAl'lTUE II. ENSEMBLES DKNOMBRABLES lOI
Je vais prouver que l'on peut assigner aux ék'nionls (a, -s, .... À) de (E) un ordre qui satisfasse aux conditions du n" 69. On conviendra par exemple de ranger rélément (a, I^j, ..., /) avant l'élémcnt (a', fj, ..., '/!) si la somme des valeurs absolues des entiers a, (S, ..., À est inférieure à la somme des valeurs absolues des entiers a', j3', ..., ).' et lorsque les deux sommes sont égales, si l'on a a < a', ou dans le cas où a = a', si l'on a |'3 < p, ou dans le cas où l'on a à la fois a = a', p = fl>', si l'on a y < 7' etc.. Avant un élément (a, fj, ..., ).) il n'y a qu'un nombre fmi d'éléments, puisqu'il n'y a qu'un nombre fini de systèmes de p nombres entiers, positifs nuls ou négatifs, tels que la somme de leurs valeurs absolues soit inférieure ou égale à | a | -h ||3 | -t- ... -i- | / 1. Dans cet ordre, fixé d'ailleurs 1res arbitrairement, le premier élément est le système (0,0, ..., o), le second (0,0, ..., — 1), le troisième (0,0, ..., i), etc —
Toute partie de l'ensemble (E) est finie ou dénombrable : par conséquent, tout ensemble infini dont les éléments seraient certains des systèmes de p nombres entiers (a, fj, ..., ).) est certainement dénombrable ; par exemple on constituerait un système dénombrable avec les éléments (a, [j, ..., /.) où tous les entiers a, 5, ..., / seraient positifs.
Celte proposition, dont on va tirer des conséquences assez singulières, va permettre d'abord d'expliquer la signification de quelques expressions usuelles.
