CHAPITRE II. ENSEMBLES DÉNOMBRABLES Io

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semble des nombres naturels est rendue \isible ('). Si maintenant on dcsij^Mie par u„ le même noml)ro que i'^ o. lorsque n corpond à (a, fj). on voit comment un tableau à double entrée formé par les nombres v^ ^ peut être transformé en une suite linéaire »j, «j, ..., n„. ..., ou réciproquement.

On pourrait aussi bien réaliser d'une façon concrète la correspondance entre l'ensemble des systèmes de deux nombres entiers positifs, nuls ou négatifs et l'ensemble des nombres naturels. La figure de la page précédente, dont il me suffira de dire que, à gaucbe, les cases ont été numérotées en tournant, éclaircit un des modes de correspondance que l'on peut imaginer.

D'ailleurs rien n'empêcbe, tout en conservant les mêmes images, d'exclure certains des systèmes (a, jS) ; les cases correspondantes devraient rester vides. Par exemple, dans le premier mode de représentalion, qui se rapportait au cas oîi a, ^j étaient des nombres naturels, on peut supposer que le nombre a ne prenne que les valeurs i, 2, ..•,/>; le tableau se composera alors de p rangées horizontales et d'une infinité de rangées verticales limitées.

Quelque soit le mode de correspondance que l'on imagine, entre l'ensendjle des systèmes (a. ^v) de nombres entiers et l'ensemble des nombres naturels /?, il est aisé de voir que si l'un des nombres a, |3 augmente indéfiniment en valeur absolue, n augmente aussi indéfiniment ; réciproquement si n augmente indéfiniment, l'un au moins des nombres a, ^j augmente indéfiniment en valeur absolue. En d'autres termes, et d'une façon grossière, si on suppose les nombres c^ o rangés d'une part dans un tableau à double entrée et d'autre part dans une suite linéaire w,, u.,, ..., u„, ..., les éléments qui seront à l'infini dans le tableau sont les mêmes que ceux qui sont à l'infini dans la suite. C'est une généralisation de la proposition établie au n° 74, généralisation sur laquelle je crois inutile d'insister. Je me bornerai à remarquer encore que si la suite li,, 1I2, ..., ii,„ ... a une limite A, les nombres v^ o seront très voisins de A, lorsque l'un des nombres a, lî> sera très grand en

(') Le lecteur pourra s'amuser à démontrer que le couple de nombres naturels (a, ^) et le nombre naturel n se correspondent si l'on a

(a + p;2 3p — a + 2 = an.