CHAPITRE II. ENSEMBLES DÉNOMUnAlU.ES lOJ
valeur ahsoliio. Le lecleur n'aura aucune peine ù énoncer celle proposition sous une forme précise.
Yoiri niaintenanl quelrpies conséquences du théorème fondamental du n" 75.
77. — L'enscml)le des systèmes {y.. ■>), où a désigne un nombre entier positif, nul ou né^^^tifet où ^j désij^'ne \\n nombre naturel premier à a, étant une partie du système de deux nombres entiers quelconques, est dénombrable, comme ce dernier système. Si l'on
remplace alors le symbole (a, fj) par le symbole r , on a le théo-
rème suivant : l'ensemble (11) des nombres rationnels est dénombrable.
Cet ensemble (R) est d'une nature très dilTérente de ceux des ensembles dénombrables (de points ou de nombres) que l'on a considérés aux n"' 55. 72. 73 : en elTet tout nombre, ou tout point est un point d'accumulation de l'ensemble (R) puisqu'il y a des nombres rationnels qui approchent autant qu'on le veut de n'importe quel nombre, rationnel ou non.
Il en est de même de l'ensemble des nombres ou des points ax -+- ^v que l'on a considéré au n° 30 ; je rappelle que a et 6 sont des nombres dont le rapport est irrationnel et que les éléments de l'ensemble considéré s'obtenaient en remplaçant x, y par tous les systèmes de nombres entiers positifs, nuls, ou négatifs. Les explications données au n" 31 montrent que tout point de l'axe peut être regardé comme un point d'accumulation de cet ensemble qui, lui aussi, est dénombrable, puisqu'il est manifestement en correspondance [)arfaite avec l'ensemble des systèmes de deux nombres entiers, positifs ou négatifs.
78. — Voici maintenant une extension du théorème du n" 70. Considérons ime suite infinie d'ensembles déterminés
tous finis ou dénombrables : l'ensemble (E) des éléments distincts qui appartiennent soit à l'un, soit à l'autre, des ensembles (E,), (Ej), ... est fini ou dénombrable.
Supposons d'aboi cl que deux ensembles pris dans la suite n'aient jamais d'élément commun.
Chaque ensemble {V„) élant dénombrable (ou fini), on peut faire correspondre chacun de ses éléments à un nombre naturel ; convenons, afin de garder la trace de l'indice /!, de faire correspondre au syslèmc des deux nombres naturels {n, p) celui des éléments <le (E„) qui correspond au nombre />. Dans le cas où l'ensemble (E„) serait fini, le nombre/) ne pourrait prendre qu'un nombre fini de valeurs. Dans tous les cats, il est clair que l'ensemble (E) correspond parfaitement à l'ensemble (dénombrable) des systèmes de deux nombres naturels {n, p), d^^Ll l'on aurait exclu les éléments pour lesquels p dépasserait le nombre des éléments de (E,,), si ce dernier enseudjle était fini. Or tout ensemble qui fait partie d'un ensemble dénombrable est dénombrable.
S'il y avait des éléments communs aux ensembles (E„), on pourrait raisonner de la même façon, quitte à ne garder jamais que l'un des systèmes (n, p) qui correspondent à des éléments qui se trouvent dans plusieurs ensembles.
Le théorème qu'on vient de démontrer peut s'énoncer sous la forme suivante : Considérons un ensemble fini ou dénombrable (g) dont les éléments soient eux-mêmes des ensembles finis ou dénombrables (E) et l'ensemble (8') dont tous les éléments sont les éléments distincts qui appartiennent à quelqu'un des ensembles (E) l'ensemble (8') est dénombrable. En effet, dire que l'ensemble (8) est dénombrable, c'est dire que les ensembles (Ë) peuvent être rangés dans une suite telle que celle qu'on vient de considérer ; on est ramené au cas précédent.
Il serait aisé de déduire de ce théorème les suivants : Considérons l'ensemble (E„) des nombres qui vérifient l'équation
ou a^ est un nombre naturel et a,, a,^. ..., n„ des entiers positifs, nuls ou négatifs : cet ensemble est dénombrable ; l'ensemble des nombres distincts qui appartiennent à quelqu'un des ensembles (Ej), (E,), . . . , (E„) c'est-à-dire des nombres (*) qui vérifient une équation algé-
(') Il n'est question ici que des nombres rcrls, puisque les nomlDres imaginaires ne sont pas encore définis : toutefois le théorème subsiste sans cette restriction.
