CHAPITRE II. ENSEMULES DE^O:MHnA^LES IO

brique cnliôre à coefficients entiers, ou comme on tlil encore, des nombres al(jéhriijues, est dénombrable.

79. — L'ensemble des nombres qui appartiennent à un intervalle {a, l>) n'est pas dénombrable.

Il suffira (n" 67) de raisonner sur l'ensemble des nombres qui appartiennent à l'intervalle (o, i) ; et même sur l'ensemble (E) des nombres, autres que i, qui appartiennent à cet intervalle. Si en effet l'c^nsemblc (E) était dénombrable. il en serait de même de l'ensemble des nombres qui appartiennent à l'intervalle (o, i).

Cliacim des nombres de (E) est déterminé par sa reprcsenlation décimale,

la partie entière est o, et la mantisse est formée au moyen des cliillVes o, I, 2, ..., 9 avec cette seule condition que tous les cbiiïres qui suivent un ibilTre donné ne soient pas des 9 (n" 18).

Admettons que l'ensemble (E) soit dénombrable, c'est-à-dire qu'on puisse faire correspondre cbacun de ses éléments à l'un des nombres naturels i, 2, 3, ... : Soit a,,,^ le if chiffre de la mantisse de celui de ces éléments qui correspond au nombre naturel p.

Le n'' chiffre de l'élément qui correspond au nombre naturel n devra donc être a„„ ; si la correspondance entre les éléments de(E) et l'ensemble des nombres naturels est réalisée, le chiffre a„,,j est, par cela même, déterminé dès que l'on se donne n, en d'autres termes la suite ai^i, a.,^.,^ ..., a„^„,... est déterminée. Or, un nombre dont la partie entière serait o, et dans lequel le premier chifl're décimal serait autre que ai, j, le second autre que a.,,.,, ..., le n" autre que a,,,,,,... appartiendrait à l'ensemble (E) et ne pourrait correspondre à aucun nombre naturel n, puisque son n" chiffre n'est pas a„.„. La contradiction est manifeste.

A fortiori, l'ensemble des nond^res réels, dont l'intervalle (o, i) est une partie, n'est pas dénombrable. Il y a donc (n" 78), deS nombres qui ne sont pas algébriques ; ces nombres sont dits transcendants.

On dit lie tout ensemble qui a la même puissance que l'ensemble des nombres qui appartiennent à l'intervalle ("o, 1) qu'il a la puissance du continu.

80. — In ensemble infini de nombres ou de points auquel n'appartient aucun de ses points d'accumulation est dénombrable.

Supposons d'abord que l'ensemble considéré (E) soit borné en bas et en baut, et soient m, M ses bornes inférieure et supérieure.

Puisqu'aucun point de (E) n'est point d'accumulation, on peut faire correspondre à chaque point a de cet ensemble un nombre a, que j'appellerai le rayon trisolcment de ce point, tel qu'il n'y ait aucun point de (E), autre que a, qui appartienne à l'intervalle (a — a, a -f- a) ('). J'imagine qu'on ait établi une telle correspondance. Il est clair que la distance mutuelle de deux points de l'ensemble déj)assc le plus grand des deux rayons d'isolement qui leur correspondent. Considérons maintenant les points de (E) pour lesquels le rayon d'isolement dépasse un nombre positif donné o ; leurs distances mutuelles dépassent p : leur nombre est donc fini, puisque, si l'on divise l'intervalle (m, M) en intervalles partiels

tels que l'écart de chacun d'eux soit moindre que o, il ne pourra y avoir, dans chacun de ces intervalles, qu'un seul des points considérés.

Ceci posé, considérons une suite de nombres positifs décroissants

Pi» Po' •••> ?ll> •••)

tels que l'on ait lim. ^,i = o ; on pourra, si l'on veut, prendre

On peut affirmer d'un rayon d'isolement quelconque qu'il est supérieur à i^,, ou bien qu'il appartient à l'un des intervalles (o^, fj^), (O3, oj, ... Soit (Ej) l'ensemble des points de (E) pour lesquels le rayon d'isolement est supérieur à o^ ; (E^) l'ensemble des points de (E) pour lesquel le rayon d'isolement est égal ou inférieur à o^, mais supérieur à 0.^ ; (E3) l'ensemble des points de (E) pour lesquels le rayon d'isolement est égal ou inférieur à p.,,

(') Le choix de ce nombre a, correspondant à a, est arbitraire pourvu que a soit moindre que la distance de a à n'importe quel point de (E^ et à n'importe quel point d'accumulation de (E).

CH.Vl'IÏUE M. KNSEMP.I.rS DENOMItnAltLES lOQ

mais pupc'riour à o.,, de D'après ce qu'on vient do dire, chacun

des ensembles (p],), (E,,), (E,), ... ne contient qu'un nombre (ini de points ('), et reiisomblc (K^ peut être regarde comme fdrmépar la réunion de Ions les ensembles (E,), (E,), (E.,), ,..; il est donc dénonibrablc (n" 75).

Supposons maintenant que l'ensemble (E) ne soit pas borné; il peut être constitue par la réunion des ensembles formés respectivement par les points de (E) qui appartiennent aux intervalles bornés par deux nombres entiers consécutifs. Chacun des ensembles partiels est encore tel qu'aucun de ses points ne soit un point d'accumulation ; il est borné el par conséquenl fini ou dénombrable. 11 en est de même de l'ensemble (E) formé par la réunion de tous les ensembles partiels, puisque l'ensemble des intervalles considérés est dénombrable.

81- — Soit (E) un ensemble infini quelconque et (A) un ensemble fini ou dénombrable, l'ensemble (E) -h (A) des éléments distincts qui appartiennent soit à l'ensemble (E), soit à l'ensemble (A) a la même puissance que l'ensemble (E).

Je supposerai d'abord que les ensembles (E) et (A) n ont pas d'élément commun. Jusqu'à ce qu'on lève celte restriction, il en sera de même des ensembles dont on aura, dans le cours de la démonstration, à faire la somme symbolique (n" 70), c'est-à-dire dont on réunira les éléments dans un même ensemble.

La proposition énoncée a déjà été établie quand l'ensemble (E) est dénombrable, puisque, alors, l'ensemble (E) -+- (A) est aussi dénombrable (n" 70) : je suppose, dans ce qui suit, que l'ensemble (E) ne soit pas dénombrable. J'admettrai comme évident qu'il existe un ensemble dénombrable (D) dont tous les éléments appartiennent à (E) (2). Soit alors (E ) l'ensemble des éléments de (E)

(') Quelques-uns des ensembles (E,), (E^), (E^),... peuvent ne pas exister; on n'aura qu'à les supprimer; la conclusion reste évidemment la même.

(■^) Lorsque (E) est un ensemble de points, cette alfirmalion résulte de ce que l'ensemble (E) admet nécessairement un point d'accumulation, et de la remarque du n" 63 ; pour un ensemble quelconque (E), il est clair qu'on ne sera jamais arrêté dans la formation de l'ensemble (U), en [irenant successivement un premier élément dans (E*, puis un second, puis un troisième,... quant à une définition pluî précise de l'ensemble (D), il ne parait pas y avoir lieu de la cbcrcber si l'on ne définit pas l'ensemble (E) lui-même.

IlO INTRODUCTION A LA TIIEOUIE DES FONCTIONS

qui ne figurent pas dans (D), en sorte qu'on puisse poser (K) = (E') -H (D). L'ensemble (E) existe sûrement, puisque, autrement, l'ensemble (E) serait dénombrable; on peut même observer que l'ensemble (E') ne peut être dénombrable. sans quoi l'ensemble (E) l'orme de la réunion de deux ensembles dénombrables (E') et

(D) serait encore dénombrable. Conqoarons les deux ensembles

(E) -+- (A) et (E) -h (D). Le premier peut être regardé comme formé par la réunion des ensembles (E), (D) et (A) ou encore, comme formé par la réunion des deux ensembles (E') et (D ), en désignant par (D ) l'ensemble dénombrable (D) -t- (A) des éléments qui a[)parlienncnt soit à l'ensemble dénombrable (D), soit à l'ensemble dénombrable (A).

Puisque l'ensemble (E) -f- (A) est la même chose que l'ensemble (E') -h (D'), tout revient donc à démontrer qu'on peut établir une correspondance parfaite entre les ensembles (E') H- (D') et (E) = (E') -+- (Dj : il suffira pour cela de regarder, dans ces deux ensembles, comme se correspondant deux éléments (identiques) qui appartiennent à (E) et deux éléments appartenant l'un à l'ensemble dénombrable (D'), l'autre à l'ensemble dénombrable (D), s'ils correspondent au même nombre naturel.

Si maintenant (E) et (A) ont des éléments communs, et si l'on désigne par (A,) l'ensemble des éléments de (A) qui n'appartiennent pas à (E), il est clair que l'ensemble (A,) qui est une partie de l'ensemble fini ou dénombrable (A) est lui-même fini ou dénombrable ; l'ensemble (E) H- (A) est alors identique à (E) + (A,) et l'on sait, par la démonstration précédente, que cet ensemble a même puissance que (E).

Si, par exemple, on prend pour (E) l'ensemble des nombres qui constituent l'intervalle (o, i) on pourra prendre pour (D) l'ensemble des nombres rationnels qui appartiennent à cet intervalle : l'ensemble (E') sera l'ensemble des nombres irrationnels qui appartiennent à l'intervalle (o, i) : il a la puissance du continu (n° 77).

On peut exprimer la proposition qui précède en disant qu'un ensemble infini (E) garde la même puissance quand on supprime de cet ensemble des éléments en nombre fini ou formant un ensemble dénombrable, pourvu que l'ensemble restant soit infini. Cette dernière restriction ne concerne d'ailleurs que le cas ou l'ensemble (E) serait dénombrable.

CHAPITUi: 11. i;>SEMHLES nrxjMnu.viiMcs III

11 Cbl aisé de conclure de là (|uc reusciiiblc des iiùiubrcs réels a la puissance du continu (n° 79).

En cHct, l'ensemble (P) des nombres positifs et du nombre G a la niénie puissance que l'ensemble des nombres, autres que i, qui appartiennent à l'intervalle (o, i), comme on le voit en faisant correspondre à cbaque nombre x du premier ensemble le

nombre — ^ — du second ensemble.

L'ensemble (N) des nombres négatifs a la même puissance que

rcnscmble des nombres, autres que o et — i, qui appartiennent à

l'intervalle ( — i, o), comme on le voit en faisant correspondre à

chaque nombrex du premier ensemble le nombre __ ,. du second.

Donc l'ensemble des nombres réels a la même puissance que l'ensemble des nombres, autres que — i et i, qui appartiennent à l'intervalle ( — i, i), la même puissance encore que rensemblc, sans restriction, des nombres qui appartiennent à l'intervalle ( — i, i), ou (n" 67) à l'intervalle (o, i).

82. — Les n"' 50, 55, 63, 72,... laissent prévoir l'importance du rôle que jouent les points d'accumulation d'un enseinl)lc. Soit (E) un ensemble infini ; l'ensemble de ses points d'accumulation est ce qu'on appelle l'ensemble dérivé de (E) ; je le désignerai par (E'). Si l'ensemble (E') n'e.vistait pas, si l'ensemble (E) n'avait pas de points d'accumulation, on pourrait affirmer que l'ensemble (E) est dénombrable. Si l'ensemble (E') est infini et admet des points d'accumulation, ceux-ci forment un ensemble (E"), l'ensemble dérivé de (E') ou le second dérivé de (E), etc..

Si l'ensemble dérivé E) de l'ensemble (E) est fini ou dc'ncm brable, l'ensemble (E) est lui-même dénombrable.

Celte j)roposition a déjà été établie au n° 72 dans le cas oii (E') est fini ; dans le cas ou (E') est infini, il sufiit de se rappeler que si l'on supprime de (E) les points de (E'), l'ensemble restant (Ej) est dénombrable (n° 80) : on en conclut que l'ensemble (E), réunion de deux, ensembles dénombrables est lui-môme dénombrable (n" 70). En remontant de proche en proche, on voit que si l'un des ensembles dérivés (E'), (E"), ... est fini ou dénombrable, (E) est forcément dénombrable.

83. — Un ensemble (E) est dit clos (ou ferme) s'il est borne (en bas et en liant) et s'il contient tous ses points d'accumulation, si, en d'autres termes, l'ensemble dérivé (E') de (E) est contenu dans (E).

L'ensemble (E) est isolé s'il ne contient aucun de ses points d'accumulation; il est alors dénombrablc (n^SO).

Il n'est ni clos ni isolé, s'il contient qnolqacs-uns de ses points d'accumulation sans les contenir tous. Dans tous les cas, pourvu que l'ensemble (E) soit borné (en bas et en baut) l'ensemble (E) -+- (E') des points qui appartiennent soit à (E) soit à son dérivé /E') est clos. Si, d'un ensemble infini, clos ou non, on supprime tous les points d'accumulation, l'ensemble isolé qui subsiste est fini ou dénombrablc.

L'ensemble (L ) des nombres distincts qui appartiennent à la suite «,, ii.,f •••, "„» ...j pour laquelle je suppose qu'on ait lim. Un = A, est, en le supposant infini, clos ou non, suivant qu'il

y a, ou qu'il n'y a pas, de terme de la suite qui soit égal à A. L'ensemble des nombres réels plus grands que o et plus petits que I n'est pas clos, puisque o et i sont des points d'accumulation de cet ensemble, qui ne lui appartiennent pas.

?oit (E) un ensemble clos : si la suite

a ime limite a et si tous les termes de cette suite appartiennent à (E), en sorte que l'ensemble (A) des termes distincts de celte suite soit contenu dans (E) on peut affirmer que a appartient à (E).

Si, en effet, l'ensemble (A) est infini, a est un point d'accumulation de l'ensemble (A) contenu dans l'ensemble (E), c'est donc un point d'accumulation de (E), donc un point de (E) puisque (E) est clos. Si l'ensemble (A) est fini, c'est qu'il y a dans la suite une infinité de termes égaux à a, a est donc un point de (E), puisque tous les termes de la suite appartiennent à \E).

85. — Soit (E) un ensemble infini borné. Son dérivé (E') est aussi borné; (n° 51). Je dis qu'il est clos, s'il est infini.

Soit en effet, dans cette hypothèse, a un point d'accumulation de (E); il y a des points de (E') [c'est-à-dire des points d'accumula-

CIIAl'ITIU; II. KNSEMIlLi:S DKNOMUUAHLES Il3

tioa lie (E)| qui sont aussi voisins qu'on le veut de à; il y a donc des points de (E) aussi voisins qu'on le veut do a, en d'autres termes a' est un point irarcuniulaliDii de (E), donc a appartient à

L'ensemble (E) est donc clos.

86. — Un ensemble (E) borné en haut et en bas, est d'il parfait lorsqu'il est identique à son dérive. En d'autres termes (E) est parlait, s'il est clos, et si chacun de ses points est un point d'accumulation. Par exemple l'ensemble des nombres réels qui appartiennent à un intervalle (a, b) est parfait.

L'ensemble des nombres rationnels qui appartiennent à l'intervalle (o, i) est bien tel que chacun de ses points soit un point d'accumulation ; mais tout nombre irrationnel qui appartient à ce même intervalle est évidemment un point d'accumulation de l'ensemblo des nombres rationnels qui, ainsi, n'est ni clos, ni parlait.

87. — Un ensemble (E) est dit dense dans un intervalle [a, b) si tout point de cet intervalle est un point d'accumulation pour l'enscudile. Par exemple l'ensemble des nombres rationnels, ou l'ensemble des nombres irrationnels, est dense dans tout intervalle.

Un ensemble dense dans tout intervalle peut être dénombrablc.

Un ensemble (E) est non-dcnsc dans vm intervalle (a, b), s'il n' a aucun intervalle (a! , b) (non nul), contenu dans (a, b), tel que renscmble (E) soit dense dans (a', b').

(') (>etlc proposition a déjà été élal)lie au n" 64, mais dans un sens un peu dilTérent, puisqu'il s'agissait alors des points d'accumulation d'une suite, non d'un ensemble.

TA!«!«Env I. — Inlroiluctlon à la tlicorle ile< fonoUona