Soit

une suite infinie de nombres ; on désigne sous le nom de série un symbole tel que

On dit que cette série est convergente si la somme

S„ = «,-+- «o -+-... + Un

de ses n premiers termes (') tend vers une limite, quand n augmente indéfiniment. Cette limite s'appelle la somme de la série ; en la désignant par S, on pose (^)

n ^ GO S = Uj H- l^, -I- ... -h u„ -h ... = ^ H„,

(') Pour la généralité de l'écriture, on regardera Si, comme étant égal à Uj.

(') Le signe t est employé couramment jiour désigner la somme de termes

affectés d'un indice, ou, si l'on veut, dont chacun dépend d'un certain nombre entier, et l'on indique de différentes façons les valeurs que doit prendre ce nombre entier. Ainsi les symboles n = p

ont la même signification que S;. = ui + U2 + •.. + "f

CnVPlTUK m. DIOriMTIONS. CONVERGENCE AUSOI.li: lïO

Si la somme s„ ne tend pas vers une limite, quand n augmente indi'dtiiincnt, on dit que la série est (Urergcnte ; il n'y a [)lus lieu

Le symbole

signifiera u^ -\- u^^., 4- u,,j.^ -\- ... + u^^,, ; si <j était nul, on lui donnerait la

signification Up.

Les symboles

n z^ i ont la mùmc signifiration, à savoir

L'écriture ^ u„ a la niùme signification que

Si l'on s'arrêtait k cette signification précise, il ne serait pas permis de parler de la convergence et surtout de la d'werfjence de la série

puisque l'écriture précédente signifierait une limite déterminée.

Toutefois il est commode de regarder aussi cette faron d'écrire comme un pur symbole, où l'attention est surtout portée sur la succession des éléments U\, Uj ,u.3, ..., et de dire, de ce symbole, qu'il est une série convergente ou une série divergente.

Cette double signification, qui facilite le langage, ne crée aucune confusion

n = se

pourvu qu'on n'introduise dans les calculs le symbole ^ u,> que dans le cas

n = I d'une série convergente, avec le sens de somme. Ces observations s'ap[)liqucront

aux syinliolcs tels que ^ u,. qui seront définis plus loin, n :^ — 00 Enlin, (piand le sens n'est pas douteux, on peut se dispenser de spécifier les

Il6 IMUOnCCTION' A L.A. TIIKOUIE DES FONCTIONS

de parler tic la somme de la série, et les symboles

"l -+- ",, 4- ••• -t- U„ -+-..., ^ Un

n'ont plus de sens (').