Si l'on se donne la suite

on peut former une série

dans laquelle la somme des n premiers termes sera s„ : il suffit, en regardant les quantités s,, comme données, de déterminer les u„ par les équations

Sn — 1

OU

On voit par là comment, en partant d'une suite qui a une limite, on peut former une série convergente qui a cette limite pour somme, comment, en partant au contraire d'une suite qui n'a pas de limite, on peut former une série divergente : et il est manifeste que l'on pourra former des séries, dans lesquelles la somme des n premiers termes présentera, quand n augmente indéfiniment les diverses circonstances décrites aux n"^ 52, 60, 63. Cette somme pourra grandir indéfiniment, osciller entre certaines limites, etc.

Si, par exemple, on prend 5„ = i —

il est clair qu'on a

valeurs que doit prendre n ; ainsi, il m'arrivera fréquemment de dire (( la série ^ Un » au lieu de « la série dont le n° terme est Un ».

Cette façon do parler doit être évitée avec soin quand il peut y avoir quelque ambiguïté.

(') Des travaux récents, dont il ne sera pas question ici, ont montré qu'on pouvait leur attribuer une signification dans certains cas et les utiliser, avec certaines précautions, dans les raisonnements et les calcids. Voir en particulier les Leçons sur les séries diverrjentes de M. Borel.