il

ente ( Si l'on prend

est convergente et sa somme est égale à i

il est clair que s,,, pour les grandes valeurs de n, sera voisin de

7 ou de — 7 suivant que // sera pair ou impair ; dans la série dont

le n' terme est

c'est-à-dire dans la série

I — I. 2 1-4-2.3 1—3.4 I +(— i)"n(nH- i) ,

la somme des n premiers termes, pour les grandes valeurs de n, est

voisine tantôt de - , tantôt de : la série est divergente.

En partant d'une suite s^, s^, ..., pour laquelle on aurait lim. s„ = H- X , on formerait une série divergente, dans laquelle

la somme des n premiers termes grandirait indéfmiment avec n. Considérons encore l'identité

lorsque n augmente indéfiniment, le second membre (n" 62) a

pour liiiiile — ^^ quand ./; est plus petit que i en valeur absolue,

et augmente indéfiniment, en valeur absolue, quand x est, en valeur absolue, plus grand que i. On en conclut que la série

est convergente et a pour somme —

quand on a | .t| <C i.

qu'elle est divergente quand on a Lrl Z> i • on voit encore, directement, qu'elle est divergente pour .v = i, puisque la somme de ses n premiers termes est égale à // ; pour x = — i la série se réduit à

la somme de ses n premiers termes est alternativement i et o.

elle est divergente.