Si

1 la série

est convergente, on peut grouper ensemble des termes qui se suivent, par exemple les c/.^ premiers termes, puis les a^ termes suivants, puis les «3 termes suivants, ...; la série

011 l'on supposera

;i=:ao -|-

sera convergente et aura même somme que la proposée ; en effet la somme de ses p premiers termes sera s^ ^ a, ^ ^ j, ,' en désignant par Sn la somme des n premiers termes de la série (u) : or si la suite Si, Sn, .S3, ... a une limite, on sait que cette limite est la même que celle de la suite s„ , «„ , ... s,, , ... dans laquelle n^, /i,, ... n^,, ... est une suite quelconque d'entiers qui croissent indéfiniment (n° 73). Réciproquement si l'on part d'une série (u) dont les termes soient chacun des sommes de termes mis entre parenthèses, on peut supprimer ces parenthèses et transformer la série (y) en une série telle que (u), pourvu que cette dernière soit convergente. Cela résulte du théorème direct (').

(*) La convergence de la série (u), si on la suppose, n'implique pas la convergence de la série (u) ; on verra plus tard, toutefois, que la convergence de l'une quelconque des deux séries implique celle do l'autre, si elles sont toutes deux formées de termes positifs ou nuls.

CHArnUE III. DÉFINITIONS, CONVERGENCE ABSOLUE II9

91. — Il serait naturel tic ilirc, par analo^'ie avec les séries, que le prothùt infini

ou (')

est convergent quand la suite infinie

(/') Pi^ P2 P> '

dans laquelle on suppose

Pi = "l' Pi = "l"2 /)„= u, «2 ...»„, ....

a une limite et d'appeler valeur du produit infini la limite de /)„, pour n infini ; toutefois, pour le moment, je ne regarderai un tel produit comme convergent que si cette limite est différente de o ; ainsi le produit infini

III I I 2 3 n

pour lequel on a

tend et qui vers o quand n augmente indéfiniment, ne doit

(') Le signe 1 I s'emploie pour les produits de la même façon que le signe ^ pour les sommes (note du n" 88) '■ ainsi n = r

J^ j^ Un, 11"" ^" ~ '' ^' •■■ '"^'

ont même signification que UiUi .., «,. ; le symbole

a la même signification que UjUp-f 1 ... Up + ,,; si q était nul, on lui donnerait le même sens qu'à (i,., etc.,.

I20 INTUODICTION A LA THEORIE IIES FONCTIONS

pas ôtre roj^ardô comme convcr^rcnt ; un produit infini convergent, dans le sens restreint du mot, ne peut admettre aucun facteur nul. L'identité

montre que le produit infini 1 ! (i -t- a^*") est convergent, (etcpiesa

valeur est —^ — j, quand la valeur absolue de x est plus petite

que I. Le même produit est divergent pour les autres valeurs de X.

Au reste, on peut faire sur les produits infinis une remarque toute pareille à celle que l'on a faite sur les suites : Si Ton part de la suite infinie/?,, p^, ..., p„, .,., dans laquelle on supposera seulement qu'aucun terme ne soit nul, le produit infini fiiMo, ... Un, ..., où l'on a posé

Pi Pn—l

sera tel que le produit de ses n premiers facteurs soit p,, ; les conclusions sont pareilles à celles du n" 89.