Il est clair que les deux séries

(S') Un'i -+- U,;

hi + p

sont convergentes ou divergentes en même temps, car si l'on désigne par 5„ la somme des n premiers termes de la première, par y'r la somme des /• premiers de la seconde, on aura Sn + r = Sn-f- s,., quel que soit le nombre naturel /■ ; puisque s,, en fixe, il est clair que si, pour /• infini, l'une des sommes s',., s,ij^,. a une limite, Il en est de même de l'autre ; il est clair aussi que la différence entre leurs limites, si elles existent, est égale à s„. Les séries sont convergentes ou divergentes en même temps. Dans le cas de

CIIAPITHF. III. DEFIMTIONS. r.ONVERr.F.NCr AUSOLUE IOI

la convcr^'cncc, la somme de la série S' s'appelle le reste de la série S, limitée an n" terme.

De même, si l'un des deux [iroduits infinis

"l"j •■• lln"„ + l "n + 2 •••' ";i -1 1 "il ~ -J. ••• "/i + ], •--,

est convergent (au sens du n'^ 91), il on est de même de laulrc, et, dans ce cas, la valeur du premier produit infini est égale à celle du second mulli[)liée i)ar jî,a, ..., ii„.

Cette remarque est ulile lorscpi'on a à décider de la convergence ou de la divergence d'une série ou d'un produit infini dont les premiers termes présentent quelque irrégularité.

93. — En se reportant au n° 54, on aperçoit immédiatement la vérité des propositions suivantes.

Si les séries

sont convergentes et admettent pour sommes les nombres S

et T, les séries

rtUi -1- au. -f- ... H- an,, -h ...,

sont aussi convergentes et admettent pour sommes aS, S -4- T, S — T ; le lecteur trouvera sans peine 'des énoncés analogues pour les produits infinis. Il est clair que la proposition concernant la somme de deu\ séries s'étend à un nombre fini quelconque de séries.