D'après la proposilion du n" 56, pour qu une série

(S) «1 H- », -1- ... -+- Un -+- ...

soit convergente il faut et il suffit qu'à chaque nombre positif z corresponde un nombre naturel /• tel que l'on ail, en désignant par n et /;? des nombres naturels

SOUS la seule condition n > r. En particulier, si la série est couver-

122 IMUODUCTION A LA THEORIE DtS FONCTIONS

gcnlc,//,, ^ , =: .s-„^ j — s„ doit tendre vers zéro, quand n augmente indéfiniment : cette dernière condition ne suffit pas d'ailleurs à la convergence, comme on le verra plus tard. Do la proposition générale résultent inmiédiatemcnt celles-ci :

Quand une série est convergente et a tous ses termes iiositifs, elle reste convergente quand on modifie le signe de tel terme que l'on veut, ou quand on remplace un ou plusieurs termes par des nombres plus petits, en valeur absolue ; en efTet, dans la série modifiée, la somme | »„^i -+- «„^> -+-... 11,, + m I est au plus égale à la somme analogue dans la série proposée.

Quand une série a tous ses termes positifs et qu'elle est convergente, il en est de même de toute série qui s'en déduit par la suppression d'un nombre fini on infini de termes, de tous les termes de rang pair par exemple. On retrouvera plus tard ces propositions en suivant une autre voie.

Considérons le produit infini

(P) Ul«o ... U„ ...,

dont je suppose qu'aucun facteur ne soit nul ; jo désignerai par p„ le produit des n premiers facteurs. Pour que ce produit/),, ait une limite quand n augmente indéfiniment, il faut et il suffit qu'à chaque nombre positif 1 réponde un nombre naturel /' tel que l'on ait, quels que soient les nombres naturels n >> r et jn.

(l) \ P» + m~ P>, \ = \ Pn\ \i — H„-fiU„ + 2 •■• «n+m I < -■

Or, si le produit P est convergent, la limite de/>„, pour n infini, est différente deo ; par conséquent les termes de la suite />,, p^, ..., p„, ... seront, à partir d'un certain rang 0^ supérieurs en valeur absolue, à un nombre positif a ; si Ion désigne par ^'S le plus petit des nombres |/), |, | />2 |, •>■,] Pd, ^-' dont aucun n'est nul, l'inégalité (i) entraînera l'inégalité

I I — Un , U„ 0 ... U„ 4. „, I < ;- '

et cela, quel que soit le nombre naturel m ; en remplaçant - par (j/;, on peut dire encore que, si le produit infini (P) est convergent, au sens dun°91, à chaque nombre positif y; doit correspondre un

CHAPirnE III. DKFIMTIONS, CONVERGENCE AnSOLUE 12.)

nombre nahirel /• loi (ju'un ail, (|iiel.s que suit'iil les nombres naturels n >- /• et ni.

= I 1 — U„ 4- iU„ 4. . ... Un^m \ < ^i •

Inversement, si à chaque nombre positif r, correspond un nombr(> naturel /• tel .que l'inégalité (-j) soit vérifiée quels que soient les nombres naturels n >> r et //?, le produit infini (P) sera converjient au sens du n" 91.

Tout d'abord, si cette condition est vérifiée, les nombres /),, p.,, ... sont tous inférieurs, en valeur absolue, à un nombre positif fixe A. En eflet si, le nombre r, étant cboisi arbitrairement, on lui fait correspondre le nombre naturel r de manière que l'inégalité (2) soit vérifiée, on aura, quel que soit le nombre naturel n >■ /■,

(^) |--,£rTl<-

cette inégalité est évidente [)our /? =1 /• h- i ; elle résulte pour les valeurs de n supérieures à r -h i, de l'inégalité (2) où l'on remplace n par r -i- i et n -+- m par n. Or l'inégalité (3) entraîne \ Pn I < (i -+ '^i) I 7^4 i I' ^^ vertu de la note du n" 54: tous les nombres p^, p.^, ... seront donc inférieurs ou égaux au plus grand A des nombres j />, |, )/)^ |, ..., | />, J, (i -+-•/;) |/v,.^i |.

Dès lors, il suffira, dans l'inégalité (2) de remplacer y; par ^

pour voir qu'à chaque nombre positif 1 correspond un nombre naturel /• tel que l'on ait | /:»„,„ — P« | < ^j quels que soient les nombres naturels « >. r et m. Il en résulte (n° 56) que/;,, a une limite pour n infini ; celte limite n'est pas nulle, car l'inégalité (3) entraine aussi ] /;„ \ >■ (i — r,) \ p^ ^ i |, en supposant que y; ait été pris plus petit que i ,

En particulier, pour que le produit infini (P) soit convergent, il faut que la quantité ] 1 — ii„ | tende vers o quand n augmente indéfiniment ; cette dernière condition, toutefois, n'est pas suffisante.

On a l'habitude, qui sera suivie désormais, d'écrire un produit infini sous la forme

la^l INTRODUCTION A I.A TIlÉORir DES FONCTIONS

alors, si lo produit Infini est convcrgont. les quantités r„ tendent vers o qnand n augmente Indéliniment. J'appellerai r„ le n" terme, I -+- Vn le /r facteur du produit Infini.

93. — SI la série u^ -\- u,, -+-...+ u,, -f- ... a tous ses termes ou posltlis ou nuls, les termes de la suite

s^=ll^, s^ = n, -i- H,. s.^ = u^ -^ il., -+- u,, ....

vont constamment en croissant, ou plutôt ne décroissent jamais. Par conséquent, ou bien s„ tend vers une limite qui est alors (n° S7) la borne supérieure de l'ensemble des nombres distincts de la suites,, S2, .Çj, ..., ou bien s„ croît indéfiniment avec n. On est dans le premier cas, et la série est convergente, si s,, reste, quelque soit, n, inférieur à un nombre fixe A ; alors la somme de la série est au plus égale à A, et il en est de même de la somme d'autant de termes que l'on voudra, pris dans la suite u^, u.,, ..., puisque l'on peut prendre n assez grand pour que la sommes,, enveloppe tous ces termes. On est dans le second cas, et la série est divergente lorsque, quelque soit le nombre positif A, on peut prendre dans cette suite assez de termes pour que leur somme dépasse A.

Une série à termes positifs ou nuls est donc convergente ou divergente suivant que l'ensemble (E) des nombres distincts que l'on obtient en faisant la somme de tels termes de la série que l'on voudra est borné en liant, ou ne l'est pas. Soit S la somme de la série supposée convergente. Tout élément de (E) est Inférieur ou égal à S.

D'ailleurs, si a est un nombre plus petit que S, 11 y a dans la suite 5,, s^, ..., s,„ ..., et par suite dans (E) un terme plus grand que a. En d'autres termes, S, que Ton savait être la borne supérieure de l'ensemble des nombres distincts contenus dans la suite s^, s,, ..., s„, ... est aussi bien la borne supérieure do l'ensemble (E). S ne peut d'ailleurs appartenir à (E) que dans le cas où tous les termes de la série, à partir d'un certain rang, sont nuls.

Puisque l'ensemble (E) ne dépend pas de l'ordre des termes de la série, la convergence ou la divergence d'une série à termes positifs

CUAPlTRi: III. DKriMTIO^S. CONVERGENCK AUSOLUE I2J

OU nuls, la somme triinc telle série supposée convergente, ne peuvent non plus dépendre de cet ordre (').

On voit aussi rpie si une série à termes positifs ou nuls est convergente, il en est de même de toute série déduite tic la i)rcmière en ne conservant qu'une partie de ses termes, ou en remplaçant certains de ses termes par des nombres, toujours positifs ou nuls. qui leur soient respectivement inférieurs ou égaux. La somme de la seconde série est inférieure ou égale à la somme delà première. En particulier, la somme d'autant de termes qu'on voudra, pris après le n^j est au plus égale au reste.

Considérons par exemple la série

où a est un nombre posilil" (juelconque ; si l'on sui)pose n égal ou supérieur à la partie entière de a, les termes qui suivent le dernier de ceux qu'on a écrits sont respectivement égaux ou inférieurs à

i. 2 ... Il n -\- i I. 2 ... /t \/i -h 1/ i. 2 ... n \ii -^ i

lesquels forment une série convergente dont la somme est

en sorte que les termes qui suivent le (n H- i)" dans la série pro[)osée forment une série convergente; la série proposée est donc ellemême convergente et son reste, quand on la limite au (n H- i'^" terme, est moindre que la quantité qu'on vient de calculer.

Les propriétés évidentes des séries à termes positifs ou nuls sur lesquelles on vient d'appeler l'attention suffisent à établir l'importante proposition que voici.

(') Oa a (lôlitii ;iii n' 74 ce f[iic c'est que Jeux suites composi'cs dos mêmes termes rangés dans un ordre diir>':rcnt : cette définition s'applique immédiatement à deux séries.

126 INTnODUCTIOX A LA TUÉORIE DES FO>CTIO:»S